相似理論課程

相似理論課程第1頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一量綱分析理論

（DimensionalAnalysisTheorems）量綱齊次理論（DimensionalHomogeneityTheorem）：任何物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)表達(dá)式中變量量綱是齊次的。第2頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一白金漢定理

（BuckinghamPiTheorem）如果一個(gè)系統(tǒng)有k個(gè)物理量，其中含有r個(gè)獨(dú)立量綱，那么可以導(dǎo)出（k-r）個(gè)獨(dú)立Pi項(xiàng)p1,p2,…,pk-r.。這個(gè)系統(tǒng)的行為可以用如下無量綱方程描述。

F(p1,p2,…,pk-r)=0第3頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個(gè)變量互為函數(shù)關(guān)系，

f(a1,a2,…an)=0而這些變量含有m個(gè)基本因次，可把這n個(gè)變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i個(gè)無因次量的函數(shù)關(guān)系式

F(1,2,…n-m)=0這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的因次關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個(gè)，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。第4頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、量綱方程的作用一個(gè)現(xiàn)象，當(dāng)它具有自身物理方程時(shí)，量綱方程并不難建立，但是當(dāng)現(xiàn)象不具備這種物理方程，同時(shí)又想解決問題時(shí)，量綱方程有時(shí)就起到一定作用。只是要注意：（1）現(xiàn)象物理量的選擇必須是正確的，并且沒有重要遺漏;（2）對(duì)于所探索現(xiàn)象的物理方程，在未建立前應(yīng)首先設(shè)想它的量綱也是齊次的。第5頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第6頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第7頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第8頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動(dòng)的壓降p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長(zhǎng)l、管壁粗糙度、管內(nèi)流體密度、流體的動(dòng)力粘度，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用定理推出壓降p的表達(dá)形式。解：所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為f(p,d,l,,,,v)=0有量綱的物理量個(gè)數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M、T三個(gè)，m=3，按定理，這n個(gè)變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個(gè)無量綱量的函數(shù)關(guān)系式F(1,2,3,4)=0從7個(gè)物理量中選出基本物理量3個(gè)，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示

第9頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為f(p,d,l,,,,v)=0有量綱的物理量個(gè)數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M、T三個(gè)，m=3，按定理，這n個(gè)變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個(gè)無量綱量的函數(shù)關(guān)系式F(1,2,3,4)=0從7個(gè)物理量中選出基本物理量3個(gè)，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示。

第10頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一表達(dá)式1=l1v1d12=2v2d23=3v3d34=p4v4d4第11頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將上述表達(dá)式寫成量綱形式[1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T

（1）

[2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0（2）

[3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0（3）

[4]=ML-1T-2(ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0(4）

第12頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求解方程（1）M:1=0T:1=0L:-31+1+1+1=0→1=-1所以1=l/d求解方程（2）M:2=0T:2=0L:1-32+2+2=0→2=-1所以2=/d第13頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求解方程（3）M:1+3=0→3=-1T:-1-3=0→3=-1L:-1-33+3+3=0→3=-1所以3=/vd=1/Re求解方程（4）M:1+4=0→4=-1T:-2-4=0→4=-2L:-1-34+4+4=0→4=0所以4=p/v2因此，所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為F(l/d,/d,1/Re,p/v2)=0第14頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一至此，問題求解結(jié)束，進(jìn)一步對(duì)上式整理規(guī)范。由上式可知p/v2與其余三個(gè)無量綱數(shù)有關(guān)，那么p/v2=F1(l/d,/d,1/Re)=(l/d)F2(/d,1/Re)

p/g=p/=(l/d)(v2/2g)F2(/d,1/Re)令=

F2(/d,1/Re)p/=(l/d)(v2/2g)這就是達(dá)西公式，為沿程阻力系數(shù)，表示了等直圓管中流動(dòng)流體的壓降與沿程阻力系數(shù)、管長(zhǎng)、速度水頭成正比，與管徑成反比。第15頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

從該例題看出，利用定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下，求出表達(dá)該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。用量綱分析法所歸納出的式子往往還帶有待定的系數(shù)，這個(gè)系數(shù)要通過實(shí)驗(yàn)來確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實(shí)驗(yàn)來確定這個(gè)系數(shù)。第16頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、例題我們現(xiàn)在研究水槽下端卸水口的水流速度u。第17頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

第18頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第19頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第20頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第21頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第22頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1原子彈爆炸

（Atomicbombblast）

Averyfamousexample:whentheatomicbombwastestedatAlamagordo,NMin1945,anumberofhighspeedphotographsweretaken.Afterthewar,thesepicturesappearedina1947issueofLifeMagazine.Atthistime,theyieldofthebombwasstillclassified.However,basedonthesepictures,BritishandSovietscientistswereabletocomeupwithaverygoodestimateforthebombyield!Let’sgivethisatry….第23頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一G.I.Taylor’s1947Analysis第24頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)原子彈的特征尺寸為l，爆炸時(shí)釋放的極大能量E，突然壓縮周圍的空氣，形成沖擊波，向四周傳播。假設(shè)空氣的初始?jí)毫閜0，初始密度為ρ0；而空氣的可壓縮性能由絕熱指數(shù)γ所表征。如果把原子彈的爆炸中心當(dāng)作原點(diǎn)，那么爆炸沖擊波的陣面可以近似看成隨時(shí)間的增加而不斷擴(kuò)展的球面。第25頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以沖擊波陣面的位置（或半徑）rs將是時(shí)間的t的函數(shù)，而控制參數(shù)則是上面提到的參數(shù)，則有rs=f（t；l；E；p0，ρ0；γ）第26頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可取t、E為基本點(diǎn)，上式可化為以下無量綱的形式：rs/（E/ρ0）1/5t2/5=f（l/（（E/ρ0

）1/5t2/5），p0/（E2/5

ρ0

3/5t-6/5），

γ

）?？梢詫⑸鲜街星懊鎯蓚€(gè)無量綱自變量，經(jīng)過變換，形成兩個(gè)新的獨(dú)立的無量綱自變量。方法是，把它們和上式左端的無量綱量以相除或相乘的方式分別形成組合量，結(jié)果得到：[l/（（E/ρ0

）1/5t2/5]/[rs/（E/ρ0）1/5t2/5]=l/rs，和[p0/(E2/5

ρ0

3/5t-6/5)]·[l/((E/ρ0

）1/5t2/5]3=p0/(E/rs3

）。第27頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由此形成新的函數(shù)關(guān)系：[l/（（E/ρ0

）1/5t2/5]=f(l/rs，p0/(E/rs3),γ)。在這段過程中，傳播距離rs遠(yuǎn)比原子彈的尺寸l大得多；而被沖擊波壓縮過的空氣的平均壓力E/rs3也比反壓p0大得多。因此，自變量l/（（E/ρ0

）1/5t2/5和p0/(E2/5

ρ0

3/5t-6/5)基本上不影響無量綱的傳播距離rs/（E/ρ0）1/5t2/5。第28頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一既然我們有興趣的是在空中爆炸波的強(qiáng)度足夠高的范圍內(nèi)，基于上述分析，我們可以從一開始，就不必將l和p0當(dāng)作控制參數(shù)，而認(rèn)為，rs=f(t,E,ρ0,γ)仍取為基本量，則有：rs/((E/ρ0）1/5t2/5)=f(γ).第29頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第30頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一PublishedU.S.AtomicBombwas18kilotondevice!第31頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一核爆炸沖擊波核爆炸沖擊波傳播與下列因素有關(guān)：:E,r,r,andt.n=4 No.ofvariablesr=3 No.ofdimensionsn–r=1No.ofdimensionlessparameters選擇獨(dú)立變量:

E,t,andr與其余變量結(jié)合:RErRtML2T-2ML-3LT第32頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一r=1kg/m3R=(E/r)1/5

t2/5logR=0.4logt+0.2log(E/r)0.2log(E/r)=1.56E=7.9x1013J=19.8kilotonsTNT第33頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第34頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2肥皂泡的直徑顯然是泡的內(nèi)外壓力差和表面張力的函數(shù)，因此，有如下變量：

第35頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第36頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第37頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3多米若骨牌的倒塌速度第38頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第39頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第40頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4CantileverBeamLPbh

Notetheleadingconstantisof“order1,”thisistypicalforrelationshipsexpressedintermsofdimensionlessparametersE表征材料抵抗彈性變形的能力，其數(shù)值大小反映該材料彈性變形的難易程度。

第41頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CantileverBeamLPbhDimensions:Buckingham’sTheorem:7-2=5pi’s第42頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CantileverBeamLPbhBuckingham’sTheorem:第43頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例5DeadMan’sDiveThedivecoachclaimsthatamanwhoholdshimselfrigidashetopplesfroma3-meterdivingboardwillexecuteasuccessfuldive.Howisthisresultchangedforasmallboy?第44頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一DeadMan’sDivelhgRotation=Npgandmcannotappearinpi’s,thus3-1=2pi’s第45頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一DeadMan’sDivelhgRotation=Np

Thus,forthesmallboytomakeaperfectdive,theboardheightmustbereducedCoachsaysforN=1,h/l=0.6,i.eforl=3m,h=5ft-10in.第46頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一DeadMan’sDivelhgRotation=q=Np

Rigidbodydynamicsanalysis-pivotthenfreefall7ft,6inmanexecutesperfectdive,massdistributionoff第47頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例7AnalysisofRowingRecordsMcMahon(1979)hasshownthat,usingdimensionalanalysis,thatthespeedofaracingshellvariesasthe1/9powerofthenumberofoarsmen.Thisisinexcellentagreementwithchampionshiptimesfor1,2,4,and8manboats.Showthisassumingthefollowing:allboatsandtheirpositionsinthewateraregeometricallysimilar,theboatweightperoarsmenwbisconstant,eachoarsmancontributespowerPoandweightwo,theonlydragisduetoskinfriction,whichisproportionaltothewettedareaandthesquareofthespeed第48頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AnalysisofRowingRecordsLh~Lh~Lb~Lsideviewendview第49頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AnalysisofRowingRecordsArchimedes'sPrincipleEnergyBalance第50頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AnalysisofRowingRecords

(datafrom’64and’68Olympicsandtwootherevents)McMahon,T.A.,Rowing:aSimilarityAnalysis,Science,173,pgs.349-351.第51頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例8SplatteringRaindropWhenadropofinkstrikesapieceofpaperatsufficientlylowspeed,surfacetensionkeepsitround,soitmakesacircularspot.Astheimpactspeedisincreased,dynamicforcesovercomethesmoothingeffectofsurfacetension,thesplatteringdropbecomesunstable,anditformsaspikedstarshape.第52頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AnalysisofWeightLiftingRecordsIna2003Stanfordseminaron“Mathematicsappliedtoathletics,”J.B.Kellerpointedoutthatthereisnoneedtodivideweightliftersintoclasses.Assumingthatthestrengthofamusclevariesasitcrosssectionalarea,hededucedthattheweightamancanliftvariesasafractionalpowerofhisownweightClassWeight(lbs)Lifted(lbs)Bantam123?

740Featherweight132?795Lightweight148?820Light-heavyweight181?1025Middle-heavyweight198?1055242-lb2421135Heavyweight---1280第53頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AnalysisofWeightLiftingRecordsAH第54頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一AnalysisofWeightLiftingRecordsClassWeight(lbs)Lifted(lbs)S=71.15W1/2%DiffBantam123?

7407906.8Featherweight132?7958182.9Lightweight148?8208675.7Light-heavyweight181?10259596.4Middle-heavyweight198?105510015.8242-lb242113511062.6Heavyweight---1280---

Cavg=71.15Howmuchdidheavyweightweigh?323lbs.第55頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第56頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第57頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第58頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第59頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第60頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第61頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第62頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

一個(gè)寬度為w、高度為h的木板在流體上運(yùn)動(dòng)。流體的動(dòng)力粘度為μ,流體的密度為ρ，與木板接觸的流體的流速為V。用量綱分析方法研究確定木板受到拉力為D。Step1:確定所有影響流動(dòng)的參數(shù)（變量）。這里有D,w,h,μ,ρ,V.量綱總數(shù)為6，即n=6.其中拉力D因變變量（dependentvariable）.第63頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Step2:列出n個(gè)變量的的基本量綱表達(dá)式Step3：確定基本量綱數(shù)量.這些變量包括L,T和M三個(gè)基本量綱，因此，m=3.第64頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Step4:選擇m個(gè)獨(dú)立參數(shù)（repeatingparameters）。所選擇獨(dú)立參數(shù)時(shí)至少應(yīng)包括1個(gè)幾何變量、1個(gè)運(yùn)動(dòng)變量和1個(gè)動(dòng)力變量。并且因變量不能選做獨(dú)立參數(shù)。在這個(gè)問題中，我們選w,V和ρ為獨(dú)立參數(shù).Step5:確定無量綱Pi項(xiàng)數(shù)目r=n-m=3.第65頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Step6:建立Pi項(xiàng)（無量綱數(shù)群，nondimensionalgroups。根據(jù)量綱齊次原理，將獨(dú)立參數(shù)與其余變量聯(lián)合起來。第66頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Step7：計(jì)算Pi項(xiàng)（無量綱數(shù)群）中的變量的量綱未知指數(shù)。

第67頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Step8:獲得Pi項(xiàng)間的函數(shù)間的關(guān)系。Step9:分析Π1項(xiàng)比率與Π2項(xiàng)的相互關(guān)系。第68頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第69頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第70頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第71頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第72頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重背景與問題

研究四足動(dòng)物軀干的長(zhǎng)度與體重的關(guān)系.

家畜收購(gòu)站(屠宰場(chǎng))希望從軀干長(zhǎng)度估計(jì)體重.

不陷入各種動(dòng)物生理結(jié)構(gòu)的研究.問題分析

將動(dòng)物軀干類比為圓柱形的彈性梁，四肢為支架，借助彈性力學(xué)的已有結(jié)果進(jìn)行分析.第73頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)與建模1.軀干為圓柱體，長(zhǎng)度l,直徑d,斷面面積s.2.圓柱體為彈性梁，四肢為支架.3.動(dòng)物在自身體重f作用下，軀干最大下垂為b(梁的最大彎曲).4.彈性力學(xué)的已有結(jié)果：dlbf

5.由f

sl,得b/l是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度.第74頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在長(zhǎng)期進(jìn)化過程中每種動(dòng)物的b/l已經(jīng)達(dá)到最合適的數(shù)值，即b/l=常數(shù)(與動(dòng)物尺寸無關(guān)).b/l太大，四肢無法支撐；b/l太小，四肢的尺寸超過支撐軀干的需要，不合乎生物進(jìn)化論.對(duì)于一種四足動(dòng)物(如生豬)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定系數(shù)k.l3

d2f

sl,sd2,l3

d2軀干的相對(duì)下垂度b/l

l

3/d2dlbf假設(shè)與建模f

l4f=kl4可以從軀干長(zhǎng)度l估計(jì)動(dòng)物體重f.第75頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重將動(dòng)物軀干類比為彈性梁——充滿想象力的大膽假設(shè)!轉(zhuǎn)化為有確切研究成果的彈性梁在自重下的撓曲問題.類比法是數(shù)學(xué)建模的一種常用方法.第76頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一量綱分析與無量綱化物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無量綱量，[]=1(=L0M0T0)1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2第77頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式對(duì)比第78頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)x,y,z的兩組量測(cè)值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式?設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為量綱齊次原則單擺運(yùn)動(dòng)第79頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無量綱量第80頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定.Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量,且則第81頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g.m=6,n=3第82頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個(gè)無量綱量量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力第83頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

F(1,2,3)=0與(g,l,,v,s,f)=0等價(jià)為得到阻力f的顯式表達(dá)式F=0未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià)量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力第84頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一量綱分析法的評(píng)注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解.

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識(shí).第85頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用例:航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力~模型船的參數(shù)(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知)注意：二者的相同第86頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

按一定尺寸比例造模型船，量測(cè)f，可算出f1~物理模擬第87頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.10.3無量綱化例：火箭發(fā)射m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射火箭。初速v,星球半徑r,星球表面重力加速度g.研究火箭高度x隨時(shí)間t

的變化規(guī)律.t=0時(shí)x=0,火箭質(zhì)量m1,星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬有引力定律——3個(gè)獨(dú)立參數(shù)第88頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨(dú)立參數(shù)r,v,g的量綱用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無量綱變量如利用新變量將被簡(jiǎn)化令第89頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

xc,tc的不同構(gòu)造1）令為無量綱量用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)的不同簡(jiǎn)化結(jié)果第90頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3）令為無量綱量2）令為無量綱量用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)第91頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1)2)3)的共同點(diǎn)只含1個(gè)參數(shù)——無量綱量解1)2)3)的重要差別考察無量綱量在1)2)3)中能否忽略以為因子的項(xiàng)？1)忽略項(xiàng)無解不能忽略項(xiàng)無量綱化方法第92頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2)3)忽略項(xiàng)不能忽略項(xiàng)忽略項(xiàng)1)2)3)的重要差別無量綱化方法第93頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一火箭發(fā)射過程中引力m1g不變即x+rr原問題可以忽略項(xiàng)是原問題的近似解1)2)3)的重要差別無量綱化方法第94頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為什么3)能忽略項(xiàng)，得到原問題近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為v/g,高度為v2/2g,大體上具有單位尺度項(xiàng)可以忽略項(xiàng)不能忽略無量綱化方法第95頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

選擇特征尺度的一般討論見：林家翹著《自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)》無量綱化

無量綱化是研究物理問題常用的數(shù)學(xué)方法.

選擇特征尺度主要依賴于物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn).

恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素.第96頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.10

量綱分析與無量綱化物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無量綱量，[]=1(=L0M0T0)2.10.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2第97頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式對(duì)比第98頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)x,y,z的兩組量測(cè)值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式?設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為量綱齊次原則單擺運(yùn)動(dòng)第99頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無量綱量第100頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定.Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量,且則第101頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g.m=6,n=3第102頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個(gè)無量綱量量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力第103頁(yè)，共116頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

F(1,2,