第七講卷積碼初步

第七講卷積碼初步第1頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一回顧：信道編碼的本質(zhì)通過(guò)增加冗余度，即將信息空間映射到更大的信道空間（在信道空間中絕大多數(shù)不是許用碼字），以提高不同碼字的間的差異程度，從而獲得編碼增益。第2頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一回顧：編碼與譯碼一種編碼方案就是從信息空間映射到更大的信道空間的一個(gè)映射可選的編碼方案種類數(shù)極其巨大，但其平均性能在碼長(zhǎng)趨于無(wú)窮時(shí)可以達(dá)到信道容量譯碼就是要根據(jù)接收的符號(hào)序列以最小的代價(jià)判斷原發(fā)送碼字，常用的有最小信息損失、最小差錯(cuò)概率、最大后驗(yàn)概率、最大似然、最小漢明距離等第3頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一回顧：線性分組碼由于編碼方案數(shù)量巨大，完全的最優(yōu)編碼設(shè)計(jì)及任意編碼的有限運(yùn)算量譯碼都是很難做到的，因此引入了一系列的約束線性分組就是要引入的一個(gè)約束，原因是人們對(duì)線性系統(tǒng)的研究比較充分但僅有線性分組的約束還不夠，編碼設(shè)計(jì)和譯碼的規(guī)則性還是不夠強(qiáng)第4頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一回顧：近世代數(shù)補(bǔ)充群、環(huán)、域子群與陪集子環(huán)、理想、多項(xiàng)式剩余代數(shù)、循環(huán)子空間域元素的級(jí)和周期、多項(xiàng)式根、本原多項(xiàng)式。。。素子域與擴(kuò)域、GF(qm)的構(gòu)造第5頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一回顧：利用域分析和設(shè)計(jì)循環(huán)碼通過(guò)域和多項(xiàng)式描述循環(huán)碼循環(huán)子空間是xn-1多項(xiàng)式剩余代數(shù)中的理想生成多項(xiàng)式用生成多項(xiàng)式的根設(shè)計(jì)循環(huán)碼第6頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一回顧：線性分組碼的代數(shù)譯碼伴隨式譯碼大數(shù)邏輯譯碼循環(huán)碼的捕錯(cuò)譯碼BCH碼的譯碼第7頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)信息流編碼的模型輸入輸出符號(hào)可以不同，可以用矢量表示，最常見(jiàn)的是取自同一域上的不同維數(shù)的矢量。例如信息符號(hào)流{Ai}映射到編碼符號(hào)流{Bi}，其中Ai為k維矢量，Bi為n維矢量，這樣就是一個(gè)效率為k/n的編碼通常，輸入符號(hào)流是經(jīng)過(guò)信源編碼的結(jié)果，已經(jīng)變成二進(jìn)制流或較小的域符號(hào)。因此k維輸入矢量和n維輸出矢量往往是人為地一種分割。第8頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用分組碼對(duì)信息流編碼對(duì)信息序列按一定長(zhǎng)度分段，對(duì)每一段分別進(jìn)行分組編碼：Bi=fi(Ai)當(dāng)采用線性分組碼時(shí)有：Bi=GiAi當(dāng)采用非時(shí)變線性分組碼時(shí)：Bi=Gai分組碼編碼中第i個(gè)輸出編碼碼段只與第i個(gè)輸入信息段有關(guān)，即編碼在段間沒(méi)有記憶性第9頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有記憶的編碼方法從一般的角度講，當(dāng)前的編碼符號(hào)完全可以不僅受當(dāng)前的信息符號(hào)控制，而且還可受控于其它時(shí)刻的輸入信息符號(hào)從因果的角度出發(fā)，可以只考慮受控于當(dāng)前及歷史上的輸入符號(hào)流。換句話說(shuō)，就是編碼器可以是有記憶的因此輸出的編碼符號(hào)流也就具有了一定的相關(guān)性第10頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一編碼器的記憶性這種相關(guān)性是廣義的，一種典型的相關(guān)性就是馬氏鏈過(guò)程編碼器的記憶可以是有限的，也可以是無(wú)限的。有限記憶系統(tǒng)的輸出總可模型化為馬氏過(guò)程，可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖來(lái)描述。無(wú)限記憶系統(tǒng)中可用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖描述的也是馬氏過(guò)程。第11頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有限記憶和無(wú)限記憶對(duì)于線性系統(tǒng)而言，有限記憶和無(wú)限記憶就分別對(duì)應(yīng)于FIR和IIR濾波器。當(dāng)從濾波器角度看時(shí)，輸入輸出要用同一域中的元素。這樣輸入符號(hào)流應(yīng)為GF(p)上的k維矢量。輸出符號(hào)流為GF(p)上的n維矢量。第12頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有限響應(yīng)

Yk=iAiXk-i，其中Ai為n行k列矩陣由于其生成方法與線性信號(hào)系統(tǒng)中的卷積相類似，因而稱為卷積碼。第13頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一無(wú)限記憶Tk=iBiTk-i+Xk，其中Bi為k行k列矩陣Yk=iAiTk-I，其中Ai為n行k列矩陣第14頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一卷積碼的矩陣表示當(dāng)m=2,A0=(11)T，A1=(01)T，A2=(11)T時(shí)，如前3個(gè)輸入為110，則前6個(gè)輸出為111010第15頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一卷積碼的樹形圖表示以m=2，A0=(11)T，A1=(01)T，A2=(11)T為例，如前3個(gè)輸入為110，則前6個(gè)輸出為111010第16頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一卷積碼的網(wǎng)格圖表示以兩個(gè)D觸發(fā)器的組合值為狀態(tài)，如D1D2，描述從當(dāng)前狀態(tài)在不同的輸入時(shí)的輸出及將到達(dá)的狀態(tài)，每個(gè)分支上的標(biāo)注為x/y1y2，分別表示當(dāng)前的輸入和輸出第17頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期一網(wǎng)格圖表示舉