離散隨機變量及分布律

離散隨機變量及分布律第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一離散隨機變量概率分布的表格形式根據(jù)概率的定義，離散隨機變量分布律必須滿足下面兩個條件：

(1)pk

≥

0,k=1,2,3,…(2)∑k≥1

pk

=

1Xx1

x2

x3…xn…pkp1

p2

p3…pn…思考1

對不同的k，隨機事件{X=xk}是什么關(guān)系？第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例2.2.1假設(shè)城市的某條街道有四個路口，汽車在每個路口是否遇到紅燈是獨立的，并且概率都是p，以X

記汽車首次停下時通過的路口數(shù)，求

X的概率分布。解。分析：

X的所有可能取值為：0，1，2，3，4。①③②④第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一因此，如果記q=1–p則有：

P{X=0}=p；P{X=1}=pq

；

P{X=2}=pq2

；P{X=3}=pq3

；

P{X=4}=q4?！醯?頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一二.

常見的離散分布1.兩點分布(也稱0–1分布，或Bernoulli分布)

記為X~B(1,p)，

0＜p

＜1。

如果

X

只取

0，1兩個可能值，分布律為：

P{X=1}=p

，P{X=0}=q=1–p

則稱隨機變量X服從參數(shù)p的兩點分布。

兩點分布用來描述所有只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一2.二項分布

X~B(n,p)

X

全部可能的取值是有限的整數(shù)

0，1，…，n

；分布律為：

pk=Cnkpkqn–k

，0≤

k

≤

n

這里參數(shù)0＜p＜1,q=

1–p。兩點分布就是

n=1時的二項分布這是概率論里最重要的三種分布的第一種思考2

拋擲均勻硬幣10次，正面出現(xiàn)次數(shù)X

的分布？第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一二項分布的背景材料二項分布廣泛應(yīng)用于抽樣調(diào)查的問題中，以及在金融，保險，醫(yī)學(xué)，生物遺傳學(xué)等等都有重要的應(yīng)用。二項分布對應(yīng)于隨機抽樣模型中的有放回抽樣，二項分布也與獨立試驗序列概型有關(guān)，即在n

重

Bernoulli

試驗中，隨機事件

A

發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為

n、p

的二項分布；

第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例2.2.3(金融保險)

根據(jù)生命表知道，在某個年齡段的投保人中一年內(nèi)每個人死亡的概率是0.005，現(xiàn)在有10,000人參加保險，問未來一年中死亡人數(shù)不超過60人的概率。解。分析：以X

記這10,000人中死亡的人數(shù)，則顯然有

X~B(104，0.005)，需要計算P{

X

≤60}。

P{

X

≤60}=∑k6=00

[C10000k0.005k

0.99510000–k]

≈0.9222

。第五章中心極限定理能夠有效計算這類求和□第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一3.超幾何分布從包含

M

件次品的

N

件產(chǎn)品中無放回隨機取出

n

件產(chǎn)品，其中的次品數(shù)

X是一個隨機變量，它的分布稱為超幾何分布。分布律為：超幾何分布對應(yīng)于隨機抽樣模型中的無放回抽樣思考3

從含有3張假鈔的10張紙幣中取出4張，這4張里包含的假鈔張數(shù)X

的分布？第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例2.2.4(抽獎問題)

一場晚會將根據(jù)每個人的入場卷號碼現(xiàn)場隨機抽出幾個幸運號贈送獎品。假設(shè)有100人參與，每個人入場時隨機領(lǐng)取一張入場卷，現(xiàn)場要抽出3個幸運號碼。求在一個5人小團體中至少有一人中獎的概率。解.分析：設(shè)他們中獎的人數(shù)為X

，即求：1–P{X=0}，問題的關(guān)鍵是找出X的分布律。把這5個人的號碼看成是次品，抽出3個幸運號就是從100個產(chǎn)品中隨機無放回抽取3個產(chǎn)品。因此,

X

服從超幾何分布。第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一因此至少有一個人中獎的概率是：思考4

現(xiàn)在有N

個觀眾，要抽出k

個幸運號，則單獨一個人他的號碼中獎的概率？(k/N)□根據(jù)超幾何分布的分布律，這5個人恰好有

k

個人中獎的概率就是：p=1–———≈0.1440

C953C1003P{X=k}=—————，0≤k≤3

C5k

C953–

kC1003第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一4.幾何分布X~G(p)

X可能的取值是一切正整數(shù)：1，2，…；分布律為：

P{X=k}=pqk－1

,k≥1。這里參數(shù)0＜p＜1,q=

1

–p。在獨立重復(fù)試驗中，直到事件A

發(fā)生時所需要的試驗次數(shù)。Remark

由于幾何分布滿足P{X

≤m}=1–qm

，因此具有一種“無記憶性”：P{X=k}=P{X=m+k|X＞m}第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例2.2.5(離散隨機等待時間)

每張彩票中獎概率0.01，某人每次只買一張。(1)他買到第5張才中獎的概率，(2)買了8張都沒有中獎的概率，(3)買到第13張才中獎的概率。解.買到第一張中獎彩票需要的次數(shù)X~G(0.01)，

(1)即，P{X=5}=0.01×0.994≈0.0096；

(2)即，P{X

＞8

}=0.998≈0.9227；

(3)即，P{X=13}=0.01×0.9912≈0.0088。□練習(xí)2.2.6要以90%的概率至少中獎一次，他需要買多少張彩票？第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一5.Poisson(泊松)分布：

X~()

X可能取值是所有非負整數(shù)0，1，2，…；分布律為：

P{X=k}=——e

–

，k

≥0

這里泊松分布的參數(shù)

＞0。這是最重要的離散分布。

k

k!第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一泊松分布的背景材料大量重復(fù)試驗中，稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)；

(定理2.2.2的泊松逼近定理)隨機質(zhì)點流(事件流)。意外事故，非常見病，大的自然災(zāi)害，害蟲的數(shù)量，草原動物的種群等。平穩(wěn)性，稀有性，無記憶性通訊的呼叫次數(shù)，顧客數(shù)，衰變產(chǎn)生的粒子數(shù)，容器中微生物的數(shù)量等。第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例2.2.7(網(wǎng)絡(luò)安全)

假定服務(wù)器在長度t

分鐘的時間內(nèi)受到攻擊的次數(shù)近似服從

(2t)，問3分鐘內(nèi)至少受到一次攻擊的可能是否比5分鐘內(nèi)至少受到兩次攻擊的可能大？解。3分鐘內(nèi)受到攻擊的次數(shù)X~(6)，因此P{

X

≥1}=1–P{

X=

0}≈0.9975，

5分鐘內(nèi)受到攻擊的次數(shù)Y~(10)，因此P{

Y

≥2}=1–P{

Y=

0}–P{

Y=

1}

≈0.9995

5分鐘里至少兩次被攻擊的可能更大?！醯?6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一三.超幾何、二項、泊松分布之間的近似關(guān)系定理2.2.1超幾何分布的極限分布是二項分布即，在超幾何分布中對于固定的

n，k

，如果

lim

N→+∞—=p

則有極限關(guān)系：

lim

N→+∞——————=Cnkpk

(1–p)n–k

對所有的0≤

k

≤

n都成立。一般當(dāng)

n

≤0.1N

時可以用這個近似的計算公式

M

N

CMk

CN–M

n–kCNn第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一定理2.2.2

(泊松定理)

二項分布的極限分布是泊松分布一般當(dāng)

n

≥20，p

≤0.05時可以近似計算設(shè)隨機變量序列Xn~B(n,pn),n≥1，如果滿足極限lim

n→+∞

npn

=

＞0；則有

lim

n→+∞P{Xn=k}=lim

n→+∞Cnkpnk

(1–pn)n–k=——e

–

，

對所有固定的k≥

0

都成立.

k

k!第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一解.這個人擊中的次數(shù)X顯然~

B(2500,0.001)，根據(jù)泊松定理，X

近似服從

(2.5)

。查泊松分布表，參數(shù)2.5的泊松分布等于0的概率是0.0820，因此直接得到：

P{

X

≥1}≈0.9180。

(已經(jīng)計算出的精確值是0.9180)例2.2.8利用泊松定理計算例題1.6.7中的概率。某人每次射擊的命中率是0.001，他在2500次獨立重復(fù)射擊中至少打中一次目標(biāo)的概率。□第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例2.2.9(優(yōu)化問題)

有同類型的機器300臺，它們獨立工作，發(fā)生故障的概率都是0.01。假設(shè)一臺機器的故障可由一個人單獨處理，現(xiàn)在有兩種維修方案：(1)配備6名維修人員共同負責(zé)全部300臺機器；(2)配備10名維修人員，每人各只負責(zé)30臺機器。問這兩種方案哪一種更加有效？解。