平面與平面平行【高效備課精研+知識(shí)精講提升】 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

問(wèn)題1

如何判斷直線與平面平行?（1）定義法；（2）直線與平面平行的判定定理.1.直線與平面平行的判定定理圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：abα簡(jiǎn)述為：線線平行線面平行2.直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．簡(jiǎn)述為：線面平行線線平行圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：

α

bβa文字語(yǔ)言：

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.α∩β=ba//αb?βa//b問(wèn)題2

平面與平面有幾種位置關(guān)系？分別是什么？定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)就稱這兩個(gè)平面平行問(wèn)題3

平面與平面平行的定義？問(wèn)題4

如何判定平面與平面平行？由于平面的無(wú)限延展，很難去判斷平面與平面是否有公共點(diǎn)，因此很難直接利用定義判斷．那么平面與平面平行的判定，是否有更簡(jiǎn)便的方法？①兩個(gè)平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn)②兩個(gè)平面相交——有一條公共直線αβα//βαβlα∩β=lαl平面與平面平行學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.根據(jù)平面平行的定義，可以發(fā)現(xiàn)：平面與平面平行兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都于另一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面線面平行面面平行若一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面一定平行.如何判定一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面平行呢？有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法？平面內(nèi)的直線有無(wú)數(shù)多條，能否將“一個(gè)平面內(nèi)任意直線平行另一個(gè)平面”中的“任意直線”減少，得到更簡(jiǎn)便的方法？有限無(wú)限轉(zhuǎn)化（3）根據(jù)基本事實(shí)的推論2，3，過(guò)兩條平行直線或兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.（1）

減少到一條可以嗎？（2）

減少到兩條可以嗎？由此可以想到，如果一個(gè)平面內(nèi)兩條平行直線與另一個(gè)平面平行或一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，能否判斷這兩個(gè)平面平行？我們可以借助以下兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行觀察.如圖（1），a和b分別是矩形硬紙片的兩條對(duì)邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎?如圖（2），c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎?

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面不一定平行．如圖，在平面A′ADD′內(nèi)畫(huà)一條與AA′平行的直線EF，顯然AA′與EF都平行于平面D′DCC′，但這兩條平行直線所在平面A′ADD′與平面D′DCC′相交．我們借助長(zhǎng)方體模型來(lái)說(shuō)明．如圖，平面ABCD內(nèi)兩條相交直線AC，BD分別與平面A′B′C′D′內(nèi)兩條相交直線A′C′，B′D′平行．由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC，BD都與平面A′B′C′D′平行．此時(shí)，平面ABCD平行平面A′B′C′D′．直線的條數(shù)不是關(guān)鍵，直線相交才是關(guān)鍵.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面是平行的．

直線相交才是關(guān)鍵.兩條相交直線和兩條平行直線都可以確定一個(gè)平面．為什么兩條相交直線判定兩個(gè)平面平行，而不能利用兩條平行直線呢？你能從向量的角度解釋嗎？平面內(nèi)的兩條相交直線代表兩個(gè)不共線向量，而平面內(nèi)的任意向量都可以以它們?yōu)榛走M(jìn)行線性表示，從而平面內(nèi)的兩條相交直線可以“代表”這個(gè)平面上的任意一條直線；而兩條平行直線所表示的向量是共線的，它們不能作為平面內(nèi)的任意向量的基底，用它們不能“代表”這個(gè)平面上的任意一條直線．1.平面與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.

符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：bPa①在平面內(nèi)，即定理中必需的條件缺一不可②相交，即③平行，即.線不在多，重在相交空間問(wèn)題空間問(wèn)題

線面平行面面平行線線平行證明兩平面平行思路：關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面.在實(shí)際生活中，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的，你能說(shuō)明這么做的道理嗎？m與a,b相交相矛盾假設(shè)α，β相交于m定理證明推論1:平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。推論2:垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。空間問(wèn)題空間問(wèn)題（1）已知平面α，β和直線m，n，若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β.（2）若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一平面β，則α∥β.（3）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行.（4）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.（5）一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交.定理理解××√判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由．√√例4

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．求證：平面AB1D1//平面BC1D．

線線平行線面平行面面平行ABCDA1B1C1D1

定理應(yīng)用：平面與平面平行的證明D1A，D1B1?平面AD1B1，1.面面平行,通?？梢赞D(zhuǎn)化為線面平行來(lái)處理.2、證明的書(shū)寫(xiě)三個(gè)條件“內(nèi)”、“交”、“平行”，缺一不可。線線平行線面平行面面平行基本思路:反思~領(lǐng)悟：解答問(wèn)題時(shí)一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行.證明問(wèn)題時(shí)，使結(jié)論成立的條件一定要敘述完整.

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn).求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；例1∵GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.

如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.跟蹤訓(xùn)練1∵E，G分別是PC，BC的中點(diǎn)，∴EG∥PB，又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.下面我們研究平面與平面平行的性質(zhì),也就是以平面與平面平行為條件，探究可以推出哪些結(jié)論.類(lèi)比直線與平面平行的研究，已知兩個(gè)平面平行，我們可以得到哪些結(jié)論？（1）其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面具有什么樣的的位置關(guān)系？一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面（無(wú)公共點(diǎn)）①兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面

.a簡(jiǎn)述為：面面平行線面平行2.平面與平面平行的性質(zhì)空間問(wèn)題空間問(wèn)題（2）分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線，具有什么樣的位置關(guān)系？abc平行或異面追問(wèn)：分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線什么時(shí)候平行呢？γabαβ于是可以猜想：兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面都相交，所得的兩條交線平行.下面我們來(lái)證明這個(gè)猜想.大膽猜想小心求證證明:abαβγ上述結(jié)論是兩平行平面的一個(gè)性質(zhì).②面面平行的性質(zhì)定理2.平面與平面平行的性質(zhì)文字語(yǔ)言：兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行．

符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：簡(jiǎn)述為：面面平行線線平行作用：判定直線與直線平行的依據(jù).空間問(wèn)題平面問(wèn)題如果直線不在兩個(gè)平行平面內(nèi)，或者第三個(gè)平面不與這兩個(gè)平面相交，以兩個(gè)平面平行為條件，你還能得出那些結(jié)論？例5

求證：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.已知：如圖,α∥β,AB∥CD,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,求證:AB=CD討論:解決這個(gè)問(wèn)題的基本步驟是什么?第一步:結(jié)合圖形，將原題改寫(xiě)成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言;第二步:分析,作出輔助線；βACBDγ第三步:書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程.性質(zhì)3：夾在兩個(gè)平行平面間的所有平行線段相等.證明:過(guò)平行線AB,CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD.∵

α

∥

β，

∴BD

∥

AC.又AB

∥

CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=CD.課本13如圖，a∥b∥g，直線a與b分別相交a

，b，g于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求證:

CFg證法1:連結(jié)AF,交b

于G,再連結(jié)AD、BG、GE、CF,則A、B、C、F、G

共面，∵

b∥g,∴

BG∥CF,同理,AD∥GE,

防止錯(cuò)誤地將直線a、b

看成共面.BEbAabaDG平行平面所分線段成比例課本13如圖，a∥b∥g，直線a與b分別相交a

，b，g于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求證:

CFg證法2:過(guò)點(diǎn)A

作AH

∥b,分別交b，g于G,H,再連接AD，GE，HF，BG，CH，以下與證法1思路相同BEbAabaDGH①兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面

.②面面平行的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行．③夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.④過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面平行.⑤兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2.平面與平面平行的性質(zhì)例2

如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)，M是AB上一點(diǎn)，

連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接NF，求證：NF∥CM.證:因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB.DE?平面ABC同理DF∥平面ABC平面PCM∩平面DEF＝NFDE∩DF＝DDE∥AB.AB?平面ABCDE∥平面ABCDE，DF?平面DEF平面DEF∥平面ABC.平面PCM∩平面ABC＝CMNF∥CM.線面平行的判斷定理面面平行的判斷定理面面平行的性質(zhì)定理反思~領(lǐng)悟：平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用

例3

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.證:過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB交BB1于點(diǎn)G，連接GF，如圖，∴∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，又B1C1∥BC，∴FG∥BC，G又FG?平面ABCD，BC?平面ABCD，∴FG∥平面ABCD，又EG∥AB且EG?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EG∥平面ABCD，∵FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD.∵EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.【要證的線面平行，用到了面面平行（性質(zhì)）】反思感悟(1)證明線面平行的兩種方法：一是由線線平行推出線面平行；二是由面面平行推出線面平行.(2)線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，要注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用.

（1）如圖，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過(guò)點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長(zhǎng).跟蹤訓(xùn)練3baPBDAC變式：已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過(guò)點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長(zhǎng).（2）如圖，已知α∥β，GH，GD，HE分別交α，β于A，B，C，D，E，F(xiàn)且GA＝9，AB＝12，BH＝16，S△AEC＝72，求S△BFD.課本15.

如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面五個(gè)命題:(1)有水的部分始終呈棱柱形;(2)沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形;