信號(hào)與系統(tǒng)教案第4章183XX電子科技大學(xué)

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信號(hào)與線性系統(tǒng)分析第4章XX電子科技大學(xué)

信號(hào)與系統(tǒng)電子教案4.14.24.34.44.54.64.74.8

第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

信號(hào)分解為正交函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換傅里葉變換的性質(zhì)周期信號(hào)的傅里葉變換LTI系統(tǒng)的頻域分析取樣定理

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信號(hào)與系統(tǒng)電子教案

第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。

4.1

信號(hào)分解為正交函數(shù)

一、矢量正交與正交分解矢量Vx=(1,2,3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即3TVxVyivyi0i1

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4.1

信號(hào)分解為正交函數(shù)

由兩兩正交的矢量組成的矢量集合稱為正交矢量集如三維空間中，以矢量=(2,0,0)、vy=(0,2,0)、vz=(0,0,2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A=(2,5,8),可以用一個(gè)三維正交矢量集{,vy,vz}分量的線性組合表示。即A=+2.5vy+4vz矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。第4-3頁■

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4.1

信號(hào)分解為正交函數(shù)

二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1.定義：定義在(t1,t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)1(t)和2(t),若滿足

t2

t1

1(t)2*(t)dt0(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)

則稱1(t)和2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：若n個(gè)函數(shù)1(t),2(t),…,n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足

第4-4頁

t2t1

ij0,i(t)j(t)dtKi0,ij*

則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1,t2)的正交函數(shù)集?！?/p>

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信號(hào)與系統(tǒng)電子教案3.完備正交函數(shù)集：

4.1

信號(hào)分解為正交函數(shù)

假使在正交函數(shù)集{1(t),2(t),…,n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0)滿足

t2t1

(t)i(t)dt0

(i=1,2,…,n)

則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt,n=0,1,2,…}是兩組典型的在區(qū)間(t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正

交函數(shù)集。

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4.1

信號(hào)分解為正交函數(shù)

三、信號(hào)的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)1(t),2(t),…,n(t)在區(qū)間(t1,t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為f(t)≈C11+C22+…+Cnn

如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)為最小。尋常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為12t2t1第4-6頁

t2t1

[f(t)Cjj(t)]2dtj1

n

■

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信號(hào)與系統(tǒng)電子教案為使上式最小2CiCi

4.1

信號(hào)分解為正交函數(shù)

t2t1

[f(t)Cjj(t)]2dt0j1

n

展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0,寫為t2[2Cif(t)i(t)Ci2i2(t)]dt0Cit12f(t)i(t)dt2Cii2(t)dt0即t1t1t2t2

所以系數(shù)

Ci

t2t1

f(t)i(t)dtt2t1

i2(t)dt■

1Ki

t2t1

f(t)i(t)dt

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4.1

信號(hào)分解為正交函數(shù)

代入，得最小均方誤差(推導(dǎo)過程見教材)nt212[f2(t)dtC2Kj]0jt1t2t1j1

在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)(為完備正交函數(shù)集),均方誤差為零。此時(shí)有

t2t1

f2(t)dtC2Kjjj1

上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，說明：在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和f(t)Cjj(t)j1

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4.2

傅里葉級(jí)數(shù)

4.2

傅里葉級(jí)數(shù)

一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)f(t),其周期為T,角頻率=2/T,當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)a0f(t)ancos(nt)bnsin(nt)2n1n1

系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)T2T2

22anf(t)cos(nt)dtbnf(t)sin(nt)dtTT可見，an是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。第4-9頁■

T2T2

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4.2

傅里葉級(jí)數(shù)

將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為A0f(t)Ancos(ntn)2n1

式中，A0=a0

Anab2n

2n

bnnarctanan

可見An是n的偶函數(shù)，n

是n的奇函數(shù)。an=Ancosn,bn=–Ansinn,n=1,2,…上式說明，周期信號(hào)可分解為直流和大量余弦分量。其中，A0/2為直流分量；A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)一致；A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。第4-10頁■

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4.2

傅里葉級(jí)數(shù)

二、波形的對(duì)稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對(duì)稱縱坐標(biāo)2anTT2T2

f(t)cos(nt)dt

2bnT

T2T2

f(t)sin(nt)dt

bn=0,展開為余弦級(jí)數(shù)。

2.f(t)為奇函數(shù)——對(duì)稱于原點(diǎn)an=0,展開為正弦級(jí)數(shù)。實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以第4-11頁■

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信號(hào)與系統(tǒng)電子教案f(t)f(t)fod(t)2

4.2

傅里葉級(jí)數(shù)

f(t)f(t)fev(t)2f(t)0

3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(tT/2)此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0

T/2

T

t

三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪胏osx=(ejx+e–jx)/2第4-12頁■

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信號(hào)與系統(tǒng)電子教案A0f(t)Ancos(ntn)2n1

4.2

傅里葉級(jí)數(shù)

A0Anj(ntn)j(ntn)[ee]2n12A011AnejejntAnejejnt22n12n1上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An,–n=–n,則上式寫為A11nn

0

2

2n1

Anejnejnt

2n1

Anejnejnt

令A(yù)0=A0ej0ej0t,0=0

所以第4-13頁■

1jnjntf(t)Anee2nXX電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心

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4.2

傅里葉級(jí)數(shù)

令復(fù)數(shù)1AejnFenFnnn2稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。111jnFnAne(AncosnjAnsinn)(anjbn)222

1T

T2T2

1f(t)cos(nt)dtjTn

T2T2

1f(t)sin(nt)dtf(t)ejntdtTT

T2T2

f(t)

F

n

e

jnt

n=0,1,2,…說明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為大量不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。F0=A0/2為直流分量。第4-14頁■

12jntFnTf(t)edtT2

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心

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4.2

傅里葉級(jí)數(shù)

四、周期信號(hào)的功率——Parseval等式周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為A02121T2f(t)dt()An|Fn|2T02n12n

直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。n≥0時(shí)，|Fn|=An/2。

第4-15頁

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4.3

周期信號(hào)的頻譜

4.3

周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)

一、信號(hào)頻譜的概念從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。由于n≥0,所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn。第4-16頁■

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4.3

周期信號(hào)的頻譜

例：周期信號(hào)f(t)=試求該周期信號(hào)的基波周期T,基波角頻率Ω,畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率。解首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即121f(t)1costcost2362443

1211costsint234364

顯然1是該信號(hào)的直流分量。1cost234

的周期T1=8

12cos433

的周期T2=6

所以f(t)的周期T=24,基波角頻率Ω=2π/T=π/12221111根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為P=1372224第4-17頁■

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