大一學習物理第十章振動與波動

第十章振動和波動10-1簡諧振動的規(guī)律10-2簡諧振動的描述10-3簡諧振動的合成1、振動學基礎教學基本要求

一、理解簡諧振動的基本特征,了解研究諧振子模型的意義.*二、能建立一維簡諧振動的微分方程,能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡諧振動的運動方程,并理解其物理意義.

三、理解描述簡諧振動的各物理量的物理意義和決定因素.

四、理解旋轉矢量法和相位差的意義,會用旋轉矢量法分析和解決簡諧振動問題,會做振動曲線.

五、理解兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成規(guī)律.*六、了解相互垂直的兩個同頻率簡諧振動的合成.10-1簡諧振動的規(guī)律預習要點注意簡諧振動的規(guī)律和特點.如何判斷一個振動是否為簡諧振動？簡諧振動的能量有什么特點?簡諧振動的周期由什么因素決定？如何計算一簡諧振動的周期？研究諧振子模型的意義何在？一、簡諧振動的定義1.彈簧振子

一個勁度系數(shù)為k的輕質彈簧的一端固定，另一端固結一個可以自由運動的物體，就構成一個彈簧振子.2.彈簧振子振動的微分方程

彈簧振子偏離平衡位置O后，僅因回復力(彈性力)和慣性而自由往返運動.有彈簧振子的振動微分方程(動力學方程)解微分方程得令位移時間關系(振動方程)2.簡諧振動的定義3.簡諧振動的判據(jù)(1)運動的微分方程(定義式).(2)機械振動也可用其受力特征或運動特征判斷.任一物理量x隨時間t的變化關系如果滿足微分方程

其中是系統(tǒng)固有性質決定的常數(shù),則此物理量作簡諧運動.方程解：令：以上4式都是判斷諧振的依據(jù)。固有圓頻率二、簡諧振動的固有周期周期頻率振動往復一次所需時間.圓頻率都表示簡諧運動的周期性，反映振動的快慢.彈簧振子固有周期由例1:質量為m長度為l的均勻細棒，繞O點作小角度擺動.求振動周期.重力矩“

–

”表示力矩與逆時針張角方向相反.解:當時,O令得到振動微分方程由表明棒作角簡諧振動例2：單擺小球質量m，擺長l,求單擺周期T。例3：判斷下列運動是否簡諧運動？不計阻力（1）小球在半徑很大的凹球面底部作短距離滾動時球心的運動？（2）小球在地面上作完全彈性的上下跳動。3、質點作勻加速圓周運動時，質點在直徑上的投影運動。

設質點作逆時針方向運動，t=0時刻，位于圓心角，初始角速度為，角加速度為則t時刻質點所在位置對應圓心角為質點在直徑上的投影為（4）浮在水里、密度小于水的正三菱錐體，錐頂向上，在水中上下浮動。例4：如圖，一塊質量為m的均勻木塊對稱地平放在中心軸線相距2l的兩個相同的轉輪上，兩輪的轉動方向相反，木板與輪面間的摩擦系數(shù)為u,使木板沿水平方向移動一小段距離后釋放，之后木板作簡諧振動么？周期為多少?三、簡諧振動的能量1、彈簧振子簡諧振動方程A—振幅—質點到平衡位置的最大位移。w—圓頻率—2秒內的振動數(shù)。—初相位—t=0時的位相。wt+—相位—反映質點的運動狀態(tài)(x,v)。x—位移—質點對于平衡位置的位移。(2)速度時間關系(4)能量特征(3)加速度時間關系彈簧振子的總的機械能由

彈簧振子在振動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能都隨時間發(fā)生周期性變化，但動能和勢能的總和保持為一個常量，即系統(tǒng)的機械能守恒.4T2T43TE(5)振動曲線

單擺擺動方程10-2簡諧振動的描述預習要點簡諧振動的振幅和初相位由哪些因素決定?如何確定它們的數(shù)值？注意相位在描述振動中的特殊而重要的作用.注意領會旋轉矢量表示及研究諧振動的方法.一、振幅和初相位1.振幅質點在振動過程中離開平衡位置的最大位移的絕對值.表征了系統(tǒng)的能量，由初始條件決定.

由時,有得2.相位在中，稱為振動的相位.（1），存在一一對應的關系；即其決定質點在時刻的t的位置和速度(即時刻t的運動狀態(tài)).（2）初相位描述質點初始時刻的運動狀態(tài)(初位置和初速度.已知初始條件

也可確定初相.

上式可求得在區(qū)間內兩個解，應進一步由的符號判定和的符號后選定其中的一個解.二、相位差

表示兩個相位之差.對于兩個同頻率的簡諧運動，相位差表示它們間步調上的差異.

兩個同頻率的簡諧運動相位差都等于其初相差而與時間無關.1.相位差2.超前和落后

若，則x2比x1較早達到正最大，稱x2比x1超前(或x1比x2落后).3.同相和反相

當

=2k，

(k=0,1,2,…)，兩振動步調相同，稱同相.

當=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，兩振動步調相反，稱反相.

OA1-A1A2-

A2x1x2Tt同相兩同相振動的振動曲線

x2TxOA1-A1A2-

A2x1t反相兩反相振動的振動曲線三、簡諧振動的旋轉矢量表示法MP

可見，旋轉矢量的長度A、角速度和t=0時與x軸的夾角分別代表投影點簡諧振動的三個特征量：振幅、角頻率和初相位.

如圖，一長度為A的矢量繞其始端O以恒角速度沿逆時針方向轉動，其矢端M在Ox軸上的投影點P將以O為平衡位置做簡諧振動.

任一時刻旋轉矢量與x軸的夾角為投影點簡諧振動的相位.規(guī)定沿逆時針方向轉動，則相位便唯一確定了投影點作簡諧振動在時刻t的運動狀態(tài).1.旋轉矢量投影到Y,描述Y方向的諧振投影到X軸,描述X方向的諧振動注意影子xAY投影到任意軸？RotationalvectorandphasexA對應量Awjwt+jx旋轉矢量長度角速度初角夾角投影簡諧振動振幅圓頻率位移初位相位相2.旋轉矢量與振動的對應量思考:在旋轉矢量圖上怎樣表現(xiàn)位相超前或落后、同相、反相？12xo12xo12xo例1.按圖寫振動方程。x(m)t(s)10-5t(s)1021x(m)2已知:旋轉矢量A=0.04m,=4(rad/s)例2.由旋轉矢量畫振動曲線，寫振動方程。/4xot(s)x(m)0.04-0.04方法一：用t=0時旋轉矢量畫x(m)0.02t(s)0.02x(m)例3.由方程畫振動曲線。已知方程：t(s)x(m)方法二：先參考標準式再根據(jù)初相平移例4

一質點沿x軸作簡諧振動，A=0.12mT=2s，x0=0.06m,此時刻質點向x正向運動。求:(1)運動方程(2)t=T/4時x,v,a(3)第一次通過平衡位置的時刻t解：(1)x=Acos(wt+j)=0.12cos(pt-p/3)m(2)

v=Awcos(wt-p/3+p/2)m/s

a=-Aw2cos(wt-p/3)m/s2把t=T/4

代入x,v,aADf=p/3+p/2=5p/6Dt=5/6（s）(3)第一次通過平衡位置的時刻tDft=0(s)t=5/6(s)例題5一質量為0.2kg的質點作諧振動，其振動表達式為:x=0.60cos(5t－π/2)(SI)。求:(1)質點的初速度；(2)質點在正向最大的位移一半處所受的力。解已知A=0.60m,ω=5s-1,

（1）由

（2）由

當

待物體靜止后,再向下拉y0=0.1m后放手,測得T=2s。求：(1)振動方程;OY(2)首次過平衡位置時物體的速度;(3)第二次經過平衡位置上方0.05m處的加速度;(4)物體從平衡位置下方0.05m處向上運動到平衡位置上方0.05m處所需的最短時間。練.解：(1)求振動方程;振動方程：舍OY首次過平衡位置的時刻：t=T/4=1/2(2)首次過平衡位置時物體的速度;OY(3)第二次經過平衡位置上方0.05m處的加速度;OY(4)物體從平衡位置下方0.05m處向上運動到平衡位置上方0.05m處所需的最短時間。OY=書例10.1例10.2課后習題10.110.210.510.710-3簡諧振動的合成預習要點注意兩個同方向同頻率簡諧振動的合振動規(guī)律.分振動之間的相位差與合振動振幅有什么關系？了解兩個互相垂直的簡諧振動的合成.一、兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成

兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為簡諧運動，角速度不變.1.當時,合振動振幅最大.2.當時,合振動振幅最小.3.一般情況*二、兩個互相垂直的同頻率的簡諧振動的合成兩式消去t，合振動分振動為橢圓軌跡方程，順時針運行.為直線方程.

討論1.同相位2.為標準橢圓方程，順時針運行.3.反相位4.為標準橢圓方程，逆時針運行.為直線方程.三、一維不同頻率的簡諧運動的合成x1tOx2tOx

tO同方向兩個不同頻率諧振動的合成一維不同頻率的簡諧運動的合成拍的現(xiàn)象

x2tOxtOx2tO設有兩個同方向的振動，角頻率分別為，只考慮振幅相同，初相都為零的情況。拍頻振幅的頻率

條件：w1與w2都很大，而它們的差很小Ⅱ.振動方程

x=Acos(wt+j)（單位）Ⅰ.諧振特點小結諧振Ⅴ.同方向同頻率的諧振動合成Ⅲ.幾何表示

旋轉矢量，

x-t曲線Ⅳ.機械能守恒briefsummary例1：已知振動曲線，寫振動方程oobbccddxx初相fo=-p/3(1)相位fa=ofb=p/3fc=p/2fd=2p/3aaeefe=4p/35.02.51.02.2T/2=1.2x=5cos(5pt