向量加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——向量加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)

楊麗軍

一、教材分析

《向量的加法運(yùn)算及其幾何意義》選自人教版《必修4》第2.2.1節(jié)，內(nèi)容包括向量加法的平行四邊形法則、三角形法則及應(yīng)用，向量加法的運(yùn)算律及應(yīng)用。本節(jié)課是學(xué)習(xí)平面向量基本概念之后的一節(jié)比較重要的課,通過類比數(shù)的運(yùn)算，研究向量的運(yùn)算及運(yùn)算律，滲透數(shù)學(xué)類比的思想。向量的加法更是后續(xù)學(xué)習(xí)的鋪墊,由于向量加法運(yùn)算是平面向量的線性運(yùn)算(向量加法、向量減法、向量數(shù)乘運(yùn)算以及它們之間的混合運(yùn)算)中最基本、最重要的運(yùn)算,減法運(yùn)算、數(shù)乘向量運(yùn)算都可以歸結(jié)為加法運(yùn)算。故本節(jié)課在空間向量與立體幾何中起著舉足輕重的地位。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在上節(jié)課中學(xué)習(xí)了向量的定義及表示,相等向量,平行向量等概念,知道向量可以自由移動(dòng),這是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ).學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算了如指掌,但是,對(duì)于向量的加法運(yùn)算,學(xué)生可能不明白向量可以相加的道理.于是便產(chǎn)生了不解：向量既有大小,又有方向,莫非可以相加嗎？為此,我在案例設(shè)計(jì)中,首先回想物理中位移、力的合成,讓學(xué)生體驗(yàn)向量加法的實(shí)際含義,明確向量的加法就是物理中學(xué)過矢量的合成,在此基礎(chǔ)上,歸納總結(jié)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.而向量的運(yùn)算律發(fā)現(xiàn)并不困難,主要任務(wù)是讓學(xué)生對(duì)向量進(jìn)行探究,構(gòu)造圖形進(jìn)行驗(yàn)證.關(guān)于例2的教學(xué),主要是幫助學(xué)生正確理解題意,把問題轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算。三、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能

理解和把握向量加法的運(yùn)算及運(yùn)算律，能夠運(yùn)用向量加法三角形法則和平行四邊形法則求任意兩個(gè)向量的和向量，并初步學(xué)會(huì)用向量方法解決幾何問題及實(shí)際問題。

過程與方法

通過觀測(cè)物理學(xué)中的位移合成和力的合成實(shí)例，類比數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，歸納向量的加法運(yùn)算及其運(yùn)算律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)類比、遷移、分類、歸納等能力。情感態(tài)度價(jià)值觀

從位移的合成、力的合成實(shí)例中得到向量加法運(yùn)算法則,之后用來解決實(shí)際問題（如例2）,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)源于生活,又用于生活的道理。體驗(yàn)摸索的樂趣。四、重點(diǎn)

向量加法的三角形法則、平行四邊形法則及運(yùn)算律。難點(diǎn)

數(shù)的加法對(duì)向量加法的負(fù)遷移，造成向量加法的意義的理解困難。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

同學(xué)們,我們知道,數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,由于有了運(yùn)算而使數(shù)的威力無窮.與數(shù)的運(yùn)算類比,向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？作為既有大小又有方向的一個(gè)矢量,它的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算有什么區(qū)別呢？本節(jié)課我們將一起來探討向量加法運(yùn)算及其幾何意義。

問題1：向量的概念、表示法.什么是平行向量,相等向量？：由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí),又考慮到本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,因此,簡(jiǎn)單地描述一下相關(guān)知識(shí),作這個(gè)介紹,學(xué)生能夠接受。

問題2：坐飛機(jī)從上海到香港，再從香港到臺(tái)北，這倆次飛行的位移是多少？

O上海

臺(tái)北B

A香港

：求位移是學(xué)生在學(xué)習(xí)物理中經(jīng)常遇到的問題,問題的提出可以激發(fā)學(xué)

生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)表達(dá)向量的應(yīng)用價(jià)值,通過學(xué)生所熟悉的位移和的求法,進(jìn)一步明確本節(jié)課的摸索目標(biāo),使得教學(xué)過程自然流暢。

問題3：用二個(gè)相互垂直的力F1,F2把橡皮條拉長(zhǎng)一定的距離OE,再撤去F1,F2,用一個(gè)力F作用在橡皮條上,使橡皮沿著一致的方向伸長(zhǎng)一致的長(zhǎng)度,記錄F的大小和方向。結(jié)論：排除誤差,可以通過試驗(yàn)驗(yàn)證,在取得一致效果的前提下,合力F的方向在以F1,F2的為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線上,且大小等于平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)。

：學(xué)生雖然具備一定的物理知識(shí),不過對(duì)于力的合成和分解,同樣是高

一才開始接觸,有必要通過課件直觀顯示讓學(xué)生再次認(rèn)識(shí)合力的大小和方向,學(xué)生經(jīng)過對(duì)課件的觀測(cè)和分析,很自然地認(rèn)識(shí)平行四邊形法則,為向量的加法做鋪墊?！嫉玫揭恢碌男Ч?

結(jié)論：位移和力都可以看成向量,從物理的角度,力F和位移AC我們把它們稱為合力和合位移,從數(shù)學(xué)的角度可以把它們看成是二個(gè)向量相加.那么根據(jù)以上結(jié)果,我們?nèi)绾味x二個(gè)向量的加法呢？

問題4：讓學(xué)生探討,怎么定義任意二個(gè)向量的和？（教師在黑板上畫出二個(gè)自由向量）,學(xué)生探討以后可能會(huì)出現(xiàn)以下定義方式：

??????????????????AB?a,BC?ba已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作,則向量AC叫做向量,b的

????????????????和．記作：a?b,即a?b?AB?BC?AC。

：對(duì)于此環(huán)節(jié),比較常見的處理方式是直接給出定義,事實(shí)上,學(xué)生通過

引入環(huán)節(jié)的活動(dòng)可以初步認(rèn)識(shí)平行四邊形法則和三角形法則,能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,激發(fā)學(xué)生的思維,同時(shí)也讓學(xué)生在比較探討中進(jìn)一步把握,根據(jù)學(xué)生的回復(fù),教師適當(dāng)提醒，總結(jié)出向量加法的定義。

問題5：我們已經(jīng)定義了向量的加法，那么已知倆個(gè)向量→a、→b,如何求作和向量??a?b呢？

向量加法的法則:1°向量加法的三角形法則

在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則.運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注意“首尾相接〞,即其次個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向其次個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量。

位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型。2°向量加法的平行四邊形法則

如圖,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是a與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。

力的合成可以看作向量加法的物理模型。：此環(huán)節(jié)目的為加強(qiáng)穩(wěn)定以上二個(gè)環(huán)節(jié),系統(tǒng)概括三角形法則和平行四邊形法則本環(huán)節(jié)系統(tǒng)概括、適當(dāng)拓展并且利用適當(dāng)?shù)木毩?xí),幫助學(xué)生找出易錯(cuò)點(diǎn),進(jìn)一步突出重點(diǎn)。

1.向量加法的三角形法則：在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則

教師提醒注意點(diǎn):

(1)要特別注意“首尾相接〞,即其次個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向其次個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量。

(2)位移的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型。

2.向量加法的平行四邊形法則：

教師通過示范平行四邊形的作圖過程,并提醒注意點(diǎn)：(1)從兩個(gè)向量的公共始點(diǎn)出發(fā)作和向量，對(duì)角為和，即三個(gè)向量都共起點(diǎn)。(2)力的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型。

對(duì)于零向量與任一向量我們規(guī)定：+=+=

問題6：那么共線向量的加法應(yīng)當(dāng)怎么進(jìn)行呢？

共線向量的加法

1、方向一致：意義類似于有理數(shù)加法中的“同號(hào)兩數(shù)相加〞，即和向量的長(zhǎng)度等于兩個(gè)向量的長(zhǎng)長(zhǎng)之和，方向與它們一致。

A

B

C=+

2、方向相反：類似于“異號(hào)兩數(shù)相加〞作法運(yùn)用三角形法則，作法仍舊可用三角形法制。

和向量的長(zhǎng)度等于用較長(zhǎng)的模減去較短的模，方向取模較長(zhǎng)的向量的方向。

A

B

C

=－

由此可知，共線向量相加時(shí)，仍舊運(yùn)用三角形法則?？梢娙切畏▌t適用于任意兩個(gè)向量相加，而平行四邊形法則只適用于不共線向量的加法。

：利用向量定義和與數(shù)的加法進(jìn)行對(duì)比得出共線向量的加法，從

而達(dá)到完善向量加法的目的。

問題7：思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關(guān)系？

探討結(jié)果：當(dāng)a,b不共線時(shí),|a+b|

請(qǐng)同學(xué)協(xié)作探討以后寫出證明過程,教師投影學(xué)生習(xí)作,并根據(jù)狀況進(jìn)行歸納點(diǎn)評(píng)。

：通過與數(shù)的加法運(yùn)算律類比，得出向量加法的運(yùn)算律，感受加法運(yùn)算律的共性，感受通過圖形來驗(yàn)證運(yùn)算律的方法。

例題2：長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方,往往通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸,如下圖,一艘船

從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,同時(shí)江水的速度為向東2km/h。

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度（保存兩位有效

數(shù)字）

（2）求船實(shí)際航行的速度大小與方向（用與江水速度間的夾角表示,確切到

度）

：例2的設(shè)計(jì)表達(dá)了數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的思想,使學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法解決有關(guān)問題。

????1.如圖：已知向量ab,用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出a?b

?a

?b?

2.根據(jù)圖示填空：

?????（1）a?b?_____;（2）c?d?______:

????E（3）a?b?d?_______;

（4）c?d?e?________.

3.請(qǐng)選用適合符號(hào)填空：??4.非零向量a,b處于什么位置時(shí)？????(1)a?b?a?b????

(2)a?b?a?b???efgdcC

bA

????a?b____a?b(,?,?,?)aB

???(3)a?b?a????(4)a?b?b??b?a5.根據(jù)圖形填空：

DC???（1）a+d=??（2）b+c=

A???cdO??baB：本節(jié)課采用的是將相應(yīng)的課堂練習(xí)插入相應(yīng)的環(huán)節(jié)之后，而不是最

后進(jìn)行課堂訓(xùn)練，這樣安排是為了及時(shí)穩(wěn)定，更好更快的把握相應(yīng)知識(shí)，加強(qiáng)相

應(yīng)知識(shí)的應(yīng)用能力。

問題9：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

：讓學(xué)生通過小結(jié),反思學(xué)習(xí)過程,加深對(duì)向量加法及兩個(gè)法則的理解,

領(lǐng)會(huì)并能利用數(shù)學(xué)思想和方法解決有關(guān)問題。

作業(yè)：（1）P84：第2題要求用兩種方法做。

???????a（2）選做題：能否在平面內(nèi)構(gòu)造三個(gè)非零向量,b,c使a?b?c?0。

六、板書設(shè)計(jì)

向量的加法及其幾何意義

一、定義二、法則多媒體課件五、運(yùn)算律練習(xí)、分析、例題①三角形法則：②平行四邊形法則三、共線向量的加法四、模的關(guān)系