第十五電路方程的矩陣形式演示文稿

第十五電路方程的矩陣形式演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有46頁\編輯于星期一優(yōu)選第十五電路方程的矩陣形式現(xiàn)在是2頁\一共有46頁\編輯于星期一第十五章電路方程的矩陣形式§15.1網(wǎng)絡(luò)圖論的概念給定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，如果不考慮元件的特性，可將各元件用一線段表示，由這種線段組成的圖（反映了電路的連接關(guān)系）稱為拓?fù)鋱D或線圖。（各邊稱為支路，各頂點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。）現(xiàn)在是3頁\一共有46頁\編輯于星期一支路電壓和支路電流的正方向與支路方向一致-----有向圖連通圖：是指拓?fù)鋱D中任意兩節(jié)點(diǎn)間都至少有一條通路。子圖：是指原拓?fù)鋱D的一部分，可包括原圖的一些邊和頂點(diǎn)。樹：在連通圖中包含連通圖中的全部節(jié)點(diǎn)和部分支路，不包含回路。現(xiàn)在是4頁\一共有46頁\編輯于星期一如上圖的一些樹：現(xiàn)在是5頁\一共有46頁\編輯于星期一拓?fù)鋱D中屬于樹的各邊稱為樹支，其余稱為連支。

由連支組成的部分稱為余樹。

割集：在連通圖中符合下列條件的邊的集合稱為割集。

(1).去掉該邊集后原來的連通圖不在連通；

(2).如果該邊集中保留一條邊不去掉，則圖仍連通；

如上圖，由（b1,b4,b5）組成的割集。a.去掉b1,b4,b5后，分為兩部分，不在連通；b.如果在b1,b4,b5中保留任意一條邊則圖仍為連通。現(xiàn)在是6頁\一共有46頁\編輯于星期一由（b2,b3,b4,b5）也組成割集；

由（b1,b3,，b5，b6）也組成割集?；靖罴壕褪菃螛渲Ц罴?，即該割集中只含一條樹支，其余為連枝。如上圖選b1,b3,b5為樹，相應(yīng)的基本割集如圖，現(xiàn)在是7頁\一共有46頁\編輯于星期一Q1由（b1,b2,b4,b6）組成，b1是樹支，b2,b4,b6是連支；

Q2由（b3,b4,b6）組成，b3是樹支，b4,b6是連支；

Q3由（b5,b2,b6）組成，b5是樹支，b2,b6是連支。規(guī)定基本割集的方向與其中的樹支方向一致?，F(xiàn)在是8頁\一共有46頁\編輯于星期一若將切割線Q1，Q2，Q3延伸成閉合面則有：基本回路：就是單連支回路。規(guī)定基本回路的方向與其連支的方向一致。------稱為割集電流方程可見割集電流方程可看作廣義的節(jié)點(diǎn)電流方程（KCL）?，F(xiàn)在是9頁\一共有46頁\編輯于星期一圖中由（b2,b3,b6）組成的回路不是基本回路，因?yàn)橛袃蓷l連支。如圖：回路l1：由（b2,b1,b5）組成，b2是連支；回路l2:由（b4,b1,b3）組成，b4是連支；回路l3由（b6,b1,b3,b5）組成，b6是連支。

-----------稱為回路電壓方程現(xiàn)在是10頁\一共有46頁\編輯于星期一§15.2關(guān)聯(lián)矩陣，回路矩陣，割集矩陣1關(guān)聯(lián)矩陣（節(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)系）a.關(guān)聯(lián)矩陣設(shè)電路的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n，支路數(shù)為b，依次給出支路和節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，然后把有向圖結(jié)構(gòu)用一個(gè)nb階矩陣來表示，記為，稱為電路的節(jié)點(diǎn)------支路關(guān)聯(lián)矩陣。簡稱關(guān)聯(lián)矩陣。矩陣的行對(duì)應(yīng)于有向圖的節(jié)點(diǎn)，列對(duì)應(yīng)于有向圖的支路，其元素定義如下：現(xiàn)在是11頁\一共有46頁\編輯于星期一

當(dāng)支路k不連接到節(jié)點(diǎn)j時(shí)；當(dāng)支路k連接到節(jié)點(diǎn)j時(shí)，且方向?yàn)殡x開節(jié)點(diǎn)；當(dāng)支路k連接到節(jié)點(diǎn)j時(shí)，且方向?yàn)橹赶蚬?jié)點(diǎn)；現(xiàn)在是12頁\一共有46頁\編輯于星期一

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行號(hào)如圖的關(guān)聯(lián)矩陣為：列號(hào)②③④現(xiàn)在是13頁\一共有46頁\編輯于星期一特點(diǎn)：

a.每一列的代數(shù)和均為零。其中的行不是彼此獨(dú)立的，其任意一行都與（n-1）行的和的相反的數(shù)相等。

b.去掉以任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的一行后記為（n-1）b階矩陣稱為降階的關(guān)聯(lián)矩陣簡稱關(guān)聯(lián)矩陣。用符號(hào)表示。

在中劃去的行對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)即為參考節(jié)點(diǎn)。如上圖選節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)則有：現(xiàn)在是14頁\一共有46頁\編輯于星期一每一行都是相互獨(dú)立的；且與有向圖是一一對(duì)應(yīng)的。現(xiàn)在是15頁\一共有46頁\編輯于星期一b.關(guān)聯(lián)矩陣與節(jié)點(diǎn)電流定律（KCL）用矩陣形式表示的支路電流列向量為若用關(guān)聯(lián)矩陣左乘支路電流列向量可得一個(gè)n行的列向量矩陣，該列向量中每一行的元素之和恰為離開該節(jié)點(diǎn)的支路電流與流入該節(jié)點(diǎn)的支路電流的代數(shù)和。（離開節(jié)點(diǎn)的電流為正，流入節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)）由KCL可得節(jié)點(diǎn)電流代數(shù)和為零。因此有左乘其值為零的向量即有：稱為矩陣形式的KCL.或（正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)應(yīng)用）現(xiàn)在是16頁\一共有46頁\編輯于星期一如前圖有：為n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)的KCL。c.節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓之間的矩陣形式關(guān)系式設(shè)電路(n-1)節(jié)點(diǎn)電壓的列向量為：支路電壓的列向量為：現(xiàn)在是17頁\一共有46頁\編輯于星期一用關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣左乘節(jié)點(diǎn)電壓列向量可得一個(gè)b行的列矩陣。中的每一列元素反映了支路所連接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)且為一正一負(fù)。因此與乘積的列向量每一行中只包含該支路離開節(jié)點(diǎn)的電壓（為正）與指向節(jié)點(diǎn)的電壓（為負(fù)）之差即為該支路電壓，即有：或如前圖，節(jié)點(diǎn)電壓列向量為現(xiàn)在是18頁\一共有46頁\編輯于星期一矩陣形式的KVL,反映了節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓之間的關(guān)系現(xiàn)在是19頁\一共有46頁\編輯于星期一2.回路矩陣a.回路矩陣獨(dú)立回路可以選取單連支回路，這樣建立的回路矩陣（（b-n+1）b階矩陣）稱為基本回路矩陣，簡稱回路矩陣。用表示，其行對(duì)應(yīng)于某一回路；列對(duì)應(yīng)于某一支路；元素bjk滿足下列關(guān)系：支路k不包含在回路j中；支路k包含在回路j中，且方向與回路j的繞向一致；支路k包含在回路j中，且方向與回路j的繞向相反；J為回路號(hào)也是行號(hào)，k為支路號(hào)也是列號(hào)?，F(xiàn)在是20頁\一共有46頁\編輯于星期一如圖選取支路1、2、3作為樹，則有基本回路矩陣為：回路l1(1,2,3,4)回路l2(1,2,5)組成?；芈穕3(2,3,6)（各回路的繞向與該回路中連支的方向相同）由此可知：ⅰ.若支路編號(hào)采取先樹支后連支，則的右半部分是個(gè)單位矩陣，即有若支路的編號(hào)采取先連支后樹支則有：是由樹支組成的回路子矩陣。現(xiàn)在是21頁\一共有46頁\編輯于星期一ⅱ.回路矩陣的行反映了某一回路與支路的關(guān)系即該回路是由那些支路組成，以及支路與回路的方向是否相同；而回路矩陣的列反映了某一支路與所有回路的關(guān)系即該支路都屬于哪個(gè)回路中，以及該支路與回路的方向是否相同。ⅲ.若選取網(wǎng)孔回路則稱為網(wǎng)孔回路矩陣。通常用表示。b.回路矩陣與回路電流定律支路電壓與回路電壓的關(guān)系：設(shè)支路電壓的參考方向與支路電流的方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)方向，為支路電壓列向量；用回路矩陣左乘支路電壓列向量可得一個(gè)（b-n+1)個(gè)元素的列向量，現(xiàn)在是22頁\一共有46頁\編輯于星期一其每一行都包含了該回路中所有支路電壓的代數(shù)和（支路方向與回路繞向一致為正，反之為負(fù)）由KVL可知，任一閉合回路電壓的代數(shù)和恒為零即有或稱為矩陣形式的KVL。如上圖中，現(xiàn)在是23頁\一共有46頁\編輯于星期一支路電流與回路電流的關(guān)系：設(shè)回路電流列向量為用左乘中所有回路電流的代數(shù)和，且回路電流方向與支路方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)；即為該支路的電流值。則乘積的每一行之和恰為流過該支路則有：或如上圖有：現(xiàn)在是24頁\一共有46頁\編輯于星期一或3.割集矩陣a.割集矩陣（割集與支路的關(guān)系）割集與支路的關(guān)系可以用一個(gè)矩陣來描述，其行號(hào)對(duì)應(yīng)于割集號(hào)，列號(hào)對(duì)應(yīng)于支路號(hào)，則元素：現(xiàn)在是25頁\一共有46頁\編輯于星期一當(dāng)支路k不再割集j內(nèi)；當(dāng)支路k在割集j內(nèi)，且方向與割集j方向一致；當(dāng)支路k在割集j內(nèi)，且方向與割集j方向相反；這樣建立的矩陣稱為割集矩陣。表示。（（n-1）b階矩陣）用選擇單樹支割集作為一組獨(dú)立的割集，對(duì)應(yīng)的矩陣稱為基本割集矩陣?，F(xiàn)在是26頁\一共有46頁\編輯于星期一如圖所示，選支路（1，2，3）為樹，單樹支割集及方向如圖，則有

若支路編號(hào)按照先樹支后連支，而且順次列寫，割集方向?yàn)闃渲Х较騽t中包含一個(gè)（n-1）(n-1)階單位矩陣，表示為：表示由連支組成的割集矩陣.現(xiàn)在是27頁\一共有46頁\編輯于星期一b.割集KCL的矩陣形式用割集矩陣左乘支路電流列向量則其乘積的每一行之和恰好為穿過該割集表面的支路電流的代數(shù)和（KCL）即為零向量。或（為廣義節(jié)點(diǎn)的KCL的矩陣形式）如上圖：則有：現(xiàn)在是28頁\一共有46頁\編輯于星期一c.割集電壓與支路電壓的關(guān)系若選單樹支割集為基本割集，則割集電壓即為樹支電壓，可用（n-1）階列向量表示，用割集矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣左乘割集電壓列向量其乘積為支路電壓列向量即有：或如上圖有：則有現(xiàn)在是29頁\一共有46頁\編輯于星期一§15.3關(guān)聯(lián)矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣的關(guān)系對(duì)于同一個(gè)電路，若各支路、節(jié)點(diǎn)的編號(hào)及方向均相同時(shí)，其關(guān)聯(lián)矩陣基本回路矩陣和基本割集矩陣存在一定的關(guān)系。如圖所示，選1、2、3為樹支，采取單樹支割集和單連支回路矩陣，則有：用左乘可得：現(xiàn)在是30頁\一共有46頁\編輯于星期一即有：或若電路的支路編號(hào)按先樹支后連支則上式可寫為：即有：表示由樹支組成的回路矩陣子矩陣；表示由連支組成的割集矩陣子矩陣?，F(xiàn)在是31頁\一共有46頁\編輯于星期一在上圖中，設(shè)節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)，則關(guān)聯(lián)矩陣為：用左乘可得：即有或現(xiàn)在是32頁\一共有46頁\編輯于星期一若選擇只包圍一個(gè)節(jié)點(diǎn)的割集，且方向?yàn)殡x開節(jié)點(diǎn)，則有割集矩陣就是關(guān)聯(lián)矩陣如果支路編號(hào)按先樹支后連支方式，則關(guān)聯(lián)矩陣兩邊左乘可得：即有：所以基本回路矩陣可寫為：可由關(guān)聯(lián)矩陣求得基本回路矩陣。同樣由和可得：現(xiàn)在是33頁\一共有46頁\編輯于星期一所以有即可由關(guān)聯(lián)矩陣求得基本割集矩陣?！?5.4節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式本節(jié)介紹用系統(tǒng)性的方法來建立矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程組。典型支路結(jié)構(gòu)如圖：由支路元件、獨(dú)立電壓源、獨(dú)立電流源組成，支路電流，支路電壓，其電流電壓的參考方向如圖。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，可得支路電流電壓關(guān)系式：其中，含有b條支路組成的電路有：現(xiàn)在是34頁\一共有46頁\編輯于星期一其矩陣形式為，其中有：支路電壓列向量矩陣；支路電流列向量矩陣；支路電壓源列向量矩陣；支路電流源列向量矩陣；現(xiàn)在是35頁\一共有46頁\編輯于星期一為支路阻抗矩陣，電路不包含受控源時(shí)為一對(duì)角線矩陣，即有與之對(duì)應(yīng)的支路導(dǎo)納矩陣為：且有對(duì)式兩邊左乘支路導(dǎo)納矩陣可得：即有：對(duì)其式兩邊左乘關(guān)聯(lián)矩陣得：即有因?yàn)橹冯妷号c節(jié)點(diǎn)電壓之間有所以上式可以寫成現(xiàn)在是36頁\一共有46頁\編輯于星期一或以上兩式均稱為矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程式。其中稱為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。為節(jié)點(diǎn)電壓列向量矩陣。列矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程的解題步驟：對(duì)各支路及節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，并給出各支路的參考方向；b.做出有向圖；c.選定參考節(jié)點(diǎn)，寫出關(guān)聯(lián)矩陣d.依據(jù)典型支路結(jié)構(gòu)和方向分別寫出：現(xiàn)在是37頁\一共有46頁\編輯于星期一e.代入公式中即可得到節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。例題：如圖所示電路各支路阻抗值、電壓源及電流源均為已知，是建立矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程。解：對(duì)各支路及節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，并給出各支路的參考方向如圖。2.做出有向圖如圖。3.選節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)則有關(guān)聯(lián)矩陣現(xiàn)在是38頁\一共有46頁\編輯于星期一4.5.分別求出：現(xiàn)在是39頁\一共有46頁\編輯于星期一現(xiàn)在是40頁\一共有46頁\編輯于星期一6.代入公式或可得：現(xiàn)在是41頁\一共有46頁\編輯于星期一由此可見，與直接對(duì)電路列寫的節(jié)點(diǎn)電壓方程是一樣的。現(xiàn)在是42