精選拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程講解講義

（優(yōu)選）拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程ppt講解現(xiàn)在是1頁\一共有56頁\編輯于星期二問題探究：當(dāng)e=1時，即|MF|=|MH|，點M的軌跡是什么？探究？

可以發(fā)現(xiàn),點M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.M·Fl·e=1幾何畫板觀察現(xiàn)在是2頁\一共有56頁\編輯于星期二現(xiàn)在是3頁\一共有56頁\編輯于星期二拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)在是4頁\一共有56頁\編輯于星期二M·Fl·e=1在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(不在直線上）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫拋物線的準(zhǔn)線|MF|=dd為M到l的距離準(zhǔn)線焦點d一、拋物線的定義:現(xiàn)在是5頁\一共有56頁\編輯于星期二M·Fl·e=1二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)思考：拋物線是軸對稱圖形嗎？怎樣建立坐標(biāo)系,才能使焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程更簡捷?現(xiàn)在是6頁\一共有56頁\編輯于星期二1.建系2.設(shè)點3.列式4.化簡l解：以過F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F依題意得5.檢驗這就是所求的軌跡方程.y如圖，若以準(zhǔn)線所在直線為y軸，則焦點F(P,0),準(zhǔn)線L:x=0

由拋物線的定義，可導(dǎo)出拋物線方程為y2=2p(x-)(p＞0）p2現(xiàn)在是7頁\一共有56頁\編輯于星期二三、標(biāo)準(zhǔn)方程

把方程

y2=2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中

p為正常數(shù),表示焦點在x軸正半軸上.且

p的幾何意義是:右焦點是：左準(zhǔn)線方程為:一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.lxKyoM(x,y)F焦點到準(zhǔn)線的距離現(xiàn)在是8頁\一共有56頁\編輯于星期二yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒圖形焦點準(zhǔn)線標(biāo)準(zhǔn)方程第一:一次項的變量為x(或y),則x軸(或y軸)為拋物線的對稱軸,焦點就在對稱軸上.第二:一次項的系數(shù)的正負決定了開口方向.

不容易錯的最好方法是看看x(或y)的取值范圍即：焦點與一次項變量相同；正負決定開口方向！

現(xiàn)在是9頁\一共有56頁\編輯于星期二例11）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求焦點和準(zhǔn)線方程；2）拋物線的方程是y=－6x2,求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；3）拋物線的焦點坐標(biāo)是F（0，-2）,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解:因焦點在y軸的負半軸上,且p=4,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為:x=-8y232解：因為ｐ＝３，故焦點坐標(biāo)為（－,０）32準(zhǔn)線方程為x=-－.解:方程可化為:故焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為現(xiàn)在是10頁\一共有56頁\編輯于星期二焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2練習(xí)1求下列拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程（1）y2=20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0注意：求拋物線的焦點一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式現(xiàn)在是11頁\一共有56頁\編輯于星期二練習(xí)2拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，根據(jù)下列條件，分別寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準(zhǔn)線方程是x=；（3）焦點到準(zhǔn)線的距離是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y反思：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點和準(zhǔn)線方程先定位，后定量現(xiàn)在是12頁\一共有56頁\編輯于星期二．AOyx解:(1)當(dāng)焦點在y軸正半軸上時，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=

(2)當(dāng)焦點在x軸負半軸上時,把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y或y2=x。練習(xí)3拋物線經(jīng)過點P(4,－2)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。提示：注意到P為第四象限的點，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px或x2=-2py例2.求頂點是坐標(biāo)原點,且過A(-3,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.現(xiàn)在是13頁\一共有56頁\編輯于星期二4a1∴焦點坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是：x=4a1例3已知拋物線方程為x=ay2（a≠0)，討論拋物線的開口方向、焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？解：拋物線的方程化為：y2=x1a即2p=1

a②當(dāng)a<0時,,拋物線的開口向左p2=14a∴焦點坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是：x=4a114a①當(dāng)a>0時,,拋物線的開口向右p2=14a現(xiàn)在是14頁\一共有56頁\編輯于星期二

思考:M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點，若點M的橫坐標(biāo)為x0，則x0+—2pOyxFM這就是拋物線的焦半徑公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p現(xiàn)在是15頁\一共有56頁\編輯于星期二例4拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的橫坐標(biāo)為3的點M到焦點的距離等于6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2=2px(p>0)由拋物線的定義知3-(-)=6,即p=6.數(shù)形結(jié)合,用定義轉(zhuǎn)化條件,解:因為是焦點在x

軸上且過M點的拋物線,所以設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x變式：拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(3,m)到焦點的距離等于6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.OyxFMx0–(–—)2p現(xiàn)在是16頁\一共有56頁\編輯于星期二過拋物線的焦點F作x軸的垂線交拋物線與Ａ、Ｂ兩點，且。34頁作業(yè)9現(xiàn)在是17頁\一共有56頁\編輯于星期二變式2平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式3點M與點F(2，0)的距離比它到直線l:x+4=0的距離小2,求點M的軌跡方程?例5平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式1平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓OyxFM35頁作業(yè)11現(xiàn)在是18頁\一共有56頁\編輯于星期二第2課時現(xiàn)在是19頁\一共有56頁\編輯于星期二準(zhǔn)線方程焦點坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置圖

形不同位置的拋物線

x軸的正方向

x軸的負方向

y軸的正方向

y軸的負方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒現(xiàn)在是20頁\一共有56頁\編輯于星期二OyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p拋物線的焦半徑公式現(xiàn)在是21頁\一共有56頁\編輯于星期二例1拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的橫坐標(biāo)為-3的點M到焦點的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2=-8x變式１：拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求m的值.OyxFM—–x0

2p變式２：在拋物線y2=-8x上，到焦點的距離等于5的點的坐標(biāo).35頁作業(yè)10現(xiàn)在是22頁\一共有56頁\編輯于星期二現(xiàn)在是23頁\一共有56頁\編輯于星期二36頁作業(yè)8(改)35頁作業(yè)5（改）現(xiàn)在是24頁\一共有56頁\編輯于星期二37頁作業(yè)7（改）練習(xí)現(xiàn)在是25頁\一共有56頁\編輯于星期二后備練習(xí).已知拋物線x2=4y的焦點F和點A(-1，8)，P為拋物線上一點，則|PA|+|PF|的最小值是()(A)16(B)6(C)12(D)9D現(xiàn)在是26頁\一共有56頁\編輯于星期二第3課時現(xiàn)在是27頁\一共有56頁\編輯于星期二直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離:2、相切:3、相交:（一個交點，兩個交點）（一個交點）（沒有交點）現(xiàn)在是28頁\一共有56頁\編輯于星期二(0,1)現(xiàn)在是29頁\一共有56頁\編輯于星期二判斷直線是否與拋物線的對稱軸平行不平行直線與拋物線相交(一個交點)平行計算判別式>0=0<0相交相切相離(0,1)現(xiàn)在是30頁\一共有56頁\編輯于星期二K=1/2K=0K=-1若直線l與拋物線有公共點,l在y軸上截距的最小值?現(xiàn)在是31頁\一共有56頁\編輯于星期二變式1:已知實數(shù)x,y滿足方程y2=4x,求函數(shù)的最值變式3:點(x,y)在拋物線y2=4x上運動,求函數(shù)z=x-y的最值.本題轉(zhuǎn)化為過定點(-2,1)的直線與拋物線有公共點時斜率的最值問題.本題轉(zhuǎn)化為直線y=x-z與拋物線有公共點時z的最值問題.無最大值變式2:點(x,y)在橢圓x2/4+y2=1上運動,求點(0,-2)與橢圓上任一點連線的斜率k的范圍.現(xiàn)在是32頁\一共有56頁\編輯于星期二現(xiàn)在是33頁\一共有56頁\編輯于星期二現(xiàn)在是34頁\一共有56頁\編輯于星期二第4課時現(xiàn)在是35頁\一共有56頁\編輯于星期二例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

yxo∴|AB|==8方法(1)解：如圖:由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,拋物線的焦點坐標(biāo)為F(1,0),所以直線AB的方程為即A,B的坐標(biāo)分別為:

(,)(,)

解得,

得①②由代入方程①問題(1)試問還有其他方法或更簡捷一點的解法么?方法(2)

(弦長公式)|AB|=現(xiàn)在是36頁\一共有56頁\編輯于星期二yxo方法(3)由拋物線定義|AB|=|AF|+|BF|問題(1)試問還有其他方法或更簡捷一點的解法么?

=|AA′|+|BB′|==8

A′B′方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

現(xiàn)在是37頁\一共有56頁\編輯于星期二|PF|=x0+p/2FP拋物線的焦半徑公式：FPFPFP|PF|=-x0+p/2|PF|=y0+p/2|PF|=-y0+p/2現(xiàn)在是38頁\一共有56頁\編輯于星期二xyOFABB’A’方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

現(xiàn)在是39頁\一共有56頁\編輯于星期二§

拋物線的焦點弦

問題（2）從方法（4）中你能得到什么結(jié)論？

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A,B兩點則|AB|=問題（3）能否把例（2）推廣到一般性的命題呢？

斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為

x1+x2+p∴|AB|=即:()y2=2px消y得:由現(xiàn)在是40頁\一共有56頁\編輯于星期二斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

|AB|=由此可得,即通徑.問題(4):把上題中的斜率k換成直線的傾斜角呢?(0<<)通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦.xOyFP(分類討論合并，即分斜率存在或不存在)現(xiàn)在是41頁\一共有56頁\編輯于星期二練習(xí).過拋物線y2=4x的焦點，作直線L交拋

物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫

坐標(biāo)為3，則|AB|=______.8焦點弦的長度公式現(xiàn)在是42頁\一共有56頁\編輯于星期二焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

現(xiàn)在是43頁\一共有56頁\編輯于星期二斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

命題:如果過拋物線(p>0)的焦點的一條直線和此拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=p2/4,y1y2=-p2現(xiàn)在是44頁\一共有56頁\編輯于星期二第5課時現(xiàn)在是45頁\一共有56頁\編輯于星期二xy問題(6):過拋物線(p>0)焦點的一條直線與它相交于A,B兩點,經(jīng)過A和拋物線頂點的直線交準(zhǔn)線于點C

(2001高考題－作業(yè)本３９頁第８題)設(shè)拋物線(p>0)的焦點F,經(jīng)過F的直線交拋物線A,B兩點,點C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,證明:AC經(jīng)過原點O.那么BC與拋物線的對稱軸有什么關(guān)系呢?(證KOC=KOA)∴BC平行于對稱軸.(的結(jié)論略證)

當(dāng)時

(x2,y2)(x1,y1)則直線OA的方程證明:設(shè)A(),B(),C()現(xiàn)在是46頁\一共有56頁\編輯于星期二問題(6):有什么幾何意義呢?

(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以A′B′為直徑的圓切AB于F點.

△AQA′與△AQF全等現(xiàn)在是47頁\一共有56頁\編輯于星期二問題(6):有什么幾何意義呢?(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結(jié)論: