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2022-2023學(xué)年山東省德州市高一下學(xué)期3月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.下列各角中,與角終邊相同的角為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】確定與角終邊相同的角為,,再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】與角終邊相同的角為,,對(duì)選項(xiàng)A:取,不是整數(shù)解,排除;對(duì)選項(xiàng)B:取,,正確;對(duì)選項(xiàng)C:取,不是整數(shù)解,排除;對(duì)選項(xiàng)D:取,不是整數(shù)解,排除;故選:B2.已知,是平面內(nèi)所有向量的一組基底,則下列四組向量中,不能作為基底的一組是(
).A.和 B.和C.和 D.和【答案】A【分析】根據(jù)定義由待定系數(shù)法判斷每組向量是否共線,判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)?,則和共線,A選項(xiàng)不滿足條件;對(duì)于B選項(xiàng),設(shè),則,無(wú)解,故和不共線,B選項(xiàng)能作為基底;同理可知和不共線,和也不共線,CD選項(xiàng)均能作為基底.故選:A.3.在中,已知,則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】.故選:A.4.若函數(shù)是奇函數(shù),則可取的一個(gè)值為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】的圖象左右平移仍為奇函數(shù),即可求得.【詳解】的圖象左右平移仍為奇函數(shù),則.故選:A.5.為了得到函數(shù)的圖像,只需把的圖像上的所有點(diǎn)(
)A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移1個(gè)單位 D.向右平移1個(gè)單位【答案】B【分析】由即可比較判斷.【詳解】,故只需把的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位.故選:B6.已知中,的中點(diǎn)為,點(diǎn)O是線段三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)M),則向量(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】用向量共線基本定理可得,結(jié)合向量加減法則即可判斷選項(xiàng).【詳解】解:因?yàn)辄c(diǎn)O是線段三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)M),所以,因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為,所以,即.故選:C7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍為(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】當(dāng)可根據(jù)得出,然后根據(jù)題意得出,同理研究情況得解.【詳解】當(dāng)時(shí),由,可得,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以,解得,當(dāng)時(shí),由,可得,又單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞減,由正弦函數(shù)單調(diào)性知不存在,即時(shí)無(wú)解,綜上的取值范圍為,故選:B8.已知非零向量,滿足=2,則向量的模是(
)A.4 B. C.2 D.【答案】D【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】由已知得,故,所以,故選:D二、多選題9.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(
)A.單位向量都相等B.向量與是共線向量,則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上C.若為非零向量,則表示為與同方向的單位向量D.若,,則【答案】ABD【分析】根據(jù)單位向量概念判斷A,根據(jù)共線向量關(guān)系判斷B,由向量的模及方向判斷C,由特例可判斷D.【詳解】對(duì)A,單位向量方向不一定相同,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,向量與是共線向量,A、B、C、D不一定在一條直線上,故B錯(cuò)誤;對(duì)C,為非零向量,則模長(zhǎng)為1,方向與同向,故C正確;對(duì)D,若時(shí),,,但推不出,故D錯(cuò)誤.故選:ABD10.已知,,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】對(duì)于AC,利用完全平方公式與三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得所求,從而得以判斷;對(duì)于B,結(jié)合選項(xiàng)A中結(jié)論,判斷得,從而求得的取值范圍,由此判斷即可;對(duì)于D,利用選項(xiàng)C中的結(jié)論求得,進(jìn)而求得,據(jù)此解答即可.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?,所以,所以,故A正確;對(duì)于B,由選項(xiàng)A知,因?yàn)椋?,故,所以,即,故B正確;對(duì)于C,由選項(xiàng)B可知,,,所以,因?yàn)椋?,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)椋?,所以,故,故D正確.故選:ABD.11.八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念,如圖1是八卦模型圖,其平面圖形記為圖2的正八邊形ABCDEFGH,其中=2,則下列結(jié)論正確的是(
)A.B.C.D.【答案】AC【分析】根據(jù)共線向量的定義和向量的加減法運(yùn)算法則求解.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)度相等方向相同,所以,A正確;因?yàn)椋还簿€,所以不共線,B錯(cuò)誤;因?yàn)樗?,C正確;因?yàn)椋?,所以,D錯(cuò)誤,故選:AC.12.已知函數(shù)(其中)的部分圖象如圖所示,圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn),關(guān)于直線對(duì)稱,則下列說(shuō)法正確的是(
)A.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.直線與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和最小值可求得,利用函數(shù)的對(duì)稱性,單調(diào)性和圖象性質(zhì)即可求解.【詳解】由圖可知,,因?yàn)榻獾茫?,又因?yàn)?,所?解得,因?yàn)?,所以,所以,,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,A正確;解得,所以當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,B正確;,所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱,C錯(cuò)誤;令即,所以或,即或,因?yàn)?,所以滿足條件的所有的值為所以所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,D正確,故選:ABD.三、填空題13.已知,,,且,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),將各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入中,計(jì)算結(jié)果.【詳解】解:由題意得,所以.設(shè),則,所以,解得,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.故答案為:14.函數(shù)()的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長(zhǎng)為,則的值是______.【答案】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)()的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長(zhǎng)為,所以該函數(shù)的最小正周期為,因?yàn)?,所以,即,因此,故答案為?5.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù):__________.①為偶函數(shù);②關(guān)于中心對(duì)稱;③在上的最大值為3.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)題意,選擇三角函數(shù),根據(jù)對(duì)稱性和最值,選擇,答案不唯一.【詳解】由題意,函數(shù)為偶函數(shù),所以關(guān)于y軸對(duì)稱,又關(guān)于中心對(duì)稱,且在上的最大值為3,所以可以取三角函數(shù)(答案不唯一).故答案為:(答案不唯一).16.若函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有最值,則的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào),易知,結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值,∴函數(shù)在區(qū)間單調(diào),∴則.當(dāng)時(shí),,由于在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值,因此或,即或,解得,故答案為:.四、解答題17.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線.(1)若,,求證三點(diǎn)共線.(2)試確定實(shí)數(shù),使和共線.【答案】(1)證明見解析;(2)或.【分析】(1)轉(zhuǎn)化為證明向量,共線,即可證明三點(diǎn)共線;(2)由共線定理可知,存在實(shí)數(shù),使,利用向量相等,即可求解的值.【詳解】(1)因?yàn)?,,,所以所以,共線,又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn),所以三點(diǎn)共線;(2)因?yàn)楹凸簿€,所以存在實(shí)數(shù),使,所以,即.又,是兩個(gè)不共線的非零向量,所以所以,所以或.18.已知函數(shù).(1)求的值;(2)求的單調(diào)增區(qū)間;(3)求在區(qū)間上的值域.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)把直接代入即可;(2)由正弦函數(shù)性質(zhì)知在上遞增,即可求增區(qū)間;(3)應(yīng)用整體法求的區(qū)間,再由正弦函數(shù)性質(zhì)求值域.【詳解】(1)(2)由得,,的單調(diào)增區(qū)間為.(3)當(dāng)時(shí),,,,
故在區(qū)間上的值域?yàn)?19.已知函數(shù).(1)化簡(jiǎn);(2)若銳角滿足,求的值.【答案】(1)(2)1【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可;(2)由正余弦的平方關(guān)系化為正余弦的齊次式,再化為正切即可得解.【詳解】(1).(2),則.20.平面內(nèi)給定三個(gè)向量,,.(1)求(2)若滿足,且,求的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或.【分析】(1)先求得的坐標(biāo),再根據(jù)模的坐標(biāo)公式即可求解;(2)解法1:設(shè),根據(jù)題意建立方程求解即可;解法2:設(shè),再根據(jù)求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】(1),,(2)解法1:設(shè),則,,因?yàn)?,,所以,解得或,所以?解法2:設(shè),...所以或.21.如圖,一個(gè)大風(fēng)車的半徑為旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)離地面,它的右側(cè)有一點(diǎn)且距離地面.風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)從開始計(jì)時(shí),按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).(1)試寫出點(diǎn)距離地面的高度關(guān)于時(shí)刻(min)的函數(shù)關(guān)系式;(2)在點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間內(nèi),有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)距離地面不超過(guò)?【答案】(1)(2)分鐘.【分析】(1)以圓環(huán)的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)圓心且平行于地面的直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,先求出為終邊的角為,接著利用三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)縱坐標(biāo),即可求解;(2)解法一:用三角函數(shù)的性質(zhì)求解,可得到距離地面超過(guò)持續(xù)時(shí)間,即可求解;解法二:用三角函數(shù)的性質(zhì)求解,即可得到距離地面不超過(guò)持續(xù)時(shí)間.【詳解】(1)以圓環(huán)的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)圓心且平行于地面的直線為軸,過(guò)圓心且垂直于地面的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.以軸非負(fù)半軸為始邊,設(shè)為終邊的角為,則,故;點(diǎn)時(shí)刻所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為:,若時(shí)刻時(shí)螞蟻爬到圓環(huán)點(diǎn)處,那么以軸非負(fù)半軸為始邊,為終邊的角為,則點(diǎn)縱坐標(biāo)為,所以(2)解法1:令,即所以,解得,所以在一周時(shí)間范圍內(nèi),距離地面超過(guò)持續(xù)時(shí)間為:分鐘,所以不超過(guò)8m的時(shí)間是分鐘..解法二:即所以,解得在一周內(nèi),距離地面不超過(guò)持續(xù)時(shí)間為:分鐘,所以不超過(guò)8m時(shí)間是分鐘.22.已知函數(shù)的最小正周期為,且直線是其圖象的一條對(duì)稱軸.(1)求函數(shù)的解析式;(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作,已知常數(shù),,且函數(shù)在內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn),求常數(shù)與n的值.【答案】(1);(2),.【分析】(1)根據(jù)函數(shù)最小正周期求出ω的值,根據(jù)對(duì)稱軸和φ的范圍可求φ的值,從而可得f(x)的解析式;(2)先求得g(x)解析式,從而求得F(x)解析式,令F(x)=0,令sinx=t,討論關(guān)于t的二次方程的兩個(gè)根的情況即可判斷F(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】(1)由三角函數(shù)的周期公式可得,,令,得,由于直線為函數(shù)的一條對(duì)稱軸,∴,得,由于,,則,因此,.(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù),再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,即.令,可得,令,得,,則關(guān)于t的二次方程必有兩不等實(shí)根、,則,即、異號(hào).當(dāng)且時(shí),則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根,從而方程在也有偶數(shù)個(gè)根,不合題意;當(dāng),則,此時(shí),當(dāng)時(shí),只有一根,有兩根,∴,關(guān)于的方程在上有三個(gè)根,由于,則方程在上有個(gè)根,由于方程在區(qū)間上只有一個(gè)根,在區(qū)間上無(wú)實(shí)解,方程
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