廣東省高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文

PAGE7-選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程真題試做1．(2023·上海高考，理10)如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l與極軸的夾角α＝eq\f(π,6).假設(shè)將l的極坐標(biāo)方程寫(xiě)成ρ＝f(θ)的形式，那么f(θ)＝__________.2．(2023·廣東高考，文14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝\r(5)sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ為參數(shù)，0≤θ≤\f(π,2)))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝－\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，那么曲線C1和C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．3．(2023·江西高考，理15)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，那么曲線C的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_________．4．(2023·課標(biāo)全國(guó)高考，理23)已知曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝3sinφ))(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2.正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))).(1)求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍．5．(2023·遼寧高考，文23)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓C1，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程．考向分析從近幾年的高考情況看，該局部主要有三個(gè)考點(diǎn)：一是平面坐標(biāo)系的伸縮變換；二是極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；三是極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用．對(duì)于平面坐標(biāo)系的伸縮變換，主要是以平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系為平臺(tái)，考察伸縮變換公式的應(yīng)用，試題設(shè)計(jì)大都是運(yùn)用坐標(biāo)法研究點(diǎn)的位置或研究幾何圖形的形狀．對(duì)于極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，涉及到直線與圓的極坐標(biāo)方程，從點(diǎn)與直線、直線與圓的位置關(guān)系等不同角度考察，研究求距離、最值、軌跡等常規(guī)問(wèn)題．極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用，主要是以直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程為背景，轉(zhuǎn)化為普通方程，從而進(jìn)一步判斷位置關(guān)系或進(jìn)展有關(guān)距離、最值的運(yùn)算．預(yù)計(jì)2023年高考中，本局部?jī)?nèi)容主要考察極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化，考察簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，試題多以填空題、解答題的形式呈現(xiàn)，屬于中檔題．熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一平面坐標(biāo)系的伸縮變換【例1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換．規(guī)律方法1.平面坐標(biāo)系的伸縮變換對(duì)圖形的變化起到了一個(gè)壓縮或拉伸的作用，如三角函數(shù)圖象周期的變化．2．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，(λ>0)，,y′＝μy，(μ>0)))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換．變式訓(xùn)練1在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y))后，曲線C變?yōu)榍€2x′2＋8y′2＝1，那么曲線C的方程為()．A．50x2＋72y2＝1 B．9x2＋100y2＝1C．25x2＋36y2＝1 D．eq\f(2,25)x2＋eq\f(8,9)y2＝1熱點(diǎn)二極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化【例2】在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝2cosθ與直線3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值．規(guī)律方法1.直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，那么x＝ρcosθ，y＝ρsinθ且ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)．這就是直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式．2．曲線的極坐標(biāo)方程的概念：在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)至少有一個(gè)滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0就叫做曲線C的極坐標(biāo)方程．變式訓(xùn)練2圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過(guò)圓O1，圓O2兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．熱點(diǎn)三參數(shù)方程與普通方程的互化【例3】把以下參數(shù)方程化為普通方程：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝2－sinθ；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝5＋\f(\r(3),2)t.))規(guī)律方法1.參數(shù)方程局部，重點(diǎn)還是參數(shù)方程與普通方程的互化，主要是將參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程．2．參數(shù)方程與普通方程的互化：參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消參過(guò)程，常見(jiàn)方法有三種：①代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)；②三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)；③整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的構(gòu)造特征，從整體上消去參數(shù)．化參數(shù)方程為普通方程F(x，y)＝0：在消參過(guò)程中注意變量x，y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)的值域即x，y的取值范圍．變式訓(xùn)練3把以下參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4sinθ＋1，,y＝5cosθ))(θ為參數(shù))．熱點(diǎn)四極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【例4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2).點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．規(guī)律方法如果直接由曲線的極坐標(biāo)方程看不出曲線是什么圖形，往往先將曲線的極坐標(biāo)方程化為相應(yīng)的直角坐標(biāo)方程，再通過(guò)直角坐標(biāo)方程判斷出曲線是什么圖形．變式訓(xùn)練4在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．1．(2023·廣東江門(mén)調(diào)研，文15)已知在極坐標(biāo)系下，點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2π,3)))，O是極點(diǎn)，那么△AOB的面積等于__________．2．設(shè)直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝3＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，那么其斜截式方程為_(kāi)_________．3．(2023·廣東梅州中學(xué)三模，15)在極坐標(biāo)系中，假設(shè)過(guò)點(diǎn)A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cosθ于A，B兩點(diǎn)，那么|AB|＝__________.4．(2023·北京豐臺(tái)三月模擬，11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ2－4ρcosθ＋3＝0.那么圓心到直線的距離是__________．5．(2023·廣東肇慶二模，文14)在極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝2與cosθ＋sinθ＝0(0≤θ≤π)的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_________．6．(2023·廣東深圳第二次調(diào)研，文15)在極坐標(biāo)系中，已知直線l：ρ(sinθ－cosθ)＝a把曲線C：ρ＝2cosθ所圍成的區(qū)域分成面積相等的兩局部，那么常數(shù)a的值是__________．7．(2023·廣東茂名二模，文14)已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，那么曲線C上的點(diǎn)到直線x＋y＋2＝0的距離的最大值為_(kāi)_________．參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1.eq\f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ)))解析：如下圖，根據(jù)正弦定理，有eq\f(ρ,sin\f(5π,6))＝eq\f(2,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－θ－\f(5π,6))))，∴ρ＝eq\f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))).2．(2,1)解析：由C1得x2＋y2＝5①，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(5)，,0≤y≤\r(5)，))由C2得x＝1＋y②，∴由①②聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＝1＋y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))3．ρ＝2cosθ4．解：(1)由已知可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(π,3)，2sin\f(π,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,2)))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,2)))))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋π))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋π))))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(3π,2)))，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(3π,2)))))，即A(1，eq\r(3))，B(－eq\r(3)，1)，C(－1，－eq\r(3))，D(eq\r(3)，－1)．(2)設(shè)P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，那么S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因?yàn)?≤sin2φ≤1，所以S的取值范圍是[32,52]．5．解：(1)圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝2，,ρ＝4cosθ))得ρ＝2，θ＝±eq\f(π,3)，故圓C1與圓C2交點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一．(2)方法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))得圓C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1，eq\r(3))，(1，－eq\r(3))．故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝t，))－eq\r(3)≤t≤eq\r(3).(或參數(shù)方程寫(xiě)成eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝y(tǒng)，))－eq\r(3)≤y≤eq\r(3))方法二：將x＝1代入eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))得ρcosθ＝1，從而ρ＝eq\f(1,cosθ).于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝tanθ，))－eq\f(π,3)≤θ≤eq\f(π,3).精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】解：設(shè)變換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy，))代入第二個(gè)方程，得2λx－μy＝4與x－2y＝2比擬，將其變成2x－4y＝4，比擬系數(shù)得λ＝1，μ＝4.∴伸縮變換公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝4y，))即直線x－2y＝2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍可得到直線2x′－y′＝4.【變式訓(xùn)練1】A解析：將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y，))代入曲線方程2x′2＋8y′2＝1，得：2·(5x)2＋8·(3y)2＝1，即50x2＋72y2＝1.【例2】解：將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直線的方程為3x＋4y＋a＝0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有eq\f(|3×1＋4×0＋a|,\r(32＋42))＝1，解得a＝－8或a＝2.即a的值為－8或2.【變式訓(xùn)練2】解：(1)因?yàn)閳AO1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ，又因?yàn)棣?＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，所以由ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ得，ρ2＝4ρcosθ，ρ2＝－ρsinθ.即x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0.所以圓O1和圓O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0.(2)由(1)易得，經(jīng)過(guò)圓O1和圓O2兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為4x＋y＝0.【例3】解：(1)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x－3，,sinθ＝2－y，))由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，這就是它的普通方程．(2)由已知，得t＝2x－2，代入y＝5＋eq\f(\r(3),2)t中，得y＝5＋eq\f(\r(3),2)(2x－2)，即eq\r(3)x－y＋5－eq\r(3)＝0就是它的普通方程．【變式訓(xùn)練3】解：(1)由x＝1＋eq\f(1,2)t，得t＝2x－2.∴y＝2＋eq\f(\r(3),2)(2x－2)．∴eq\r(3)x－y＋2－eq\r(3)＝0，此方程表示直線．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4sinθ＋1，,y＝5cosθ))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(x－1,4)，,cosθ＝\f(y,5)，))兩式平方相加得eq\f((x－1)2,16)＋eq\f(y2,25)＝1，此方程表示橢圓．【例4】解：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2)化簡(jiǎn)為ρcosθ＋ρsinθ＝4，那么直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝4.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosα，sinα)，得P到直線l的距離d＝eq\f(|2cosα＋sinα－4|,\r(2))，即d＝eq\f(|\r(5)sin(α＋φ)－4|,\r(2))，其中cosφ＝eq\f(1,\r(5))，sinφ＝eq\f(2,\r(5)).當(dāng)sin(α＋φ)＝－1時(shí)，dmax＝2eq\r(2)＋eq\f(\r(10),2).【變式訓(xùn)練4】解：(1)把極坐標(biāo)系中的點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))化為直角坐標(biāo)，得P(0,4)．因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上．(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(eq\r(3)cosα，sinα)，從而點(diǎn)Q到直線l的距離是d＝eq\f(|\r(3)cosα－sinα＋4|,\r(2))＝eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋4,\r(2))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋2eq\r(2)，由此得，當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為eq