計(jì)算機(jī)斷層成像原理成像參數(shù)描述

計(jì)算機(jī)斷層成像原理成像參數(shù)描述第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二物質(zhì)對(duì)X射線束的衰減

4.1

物質(zhì)對(duì)X射線束的衰減

衰減的基本概念：就CT所用的X射線而言，入射X射線由于受到康普頓散射(高能端)和光電效應(yīng)(低能端)的影響，沿入射方向的光子數(shù)逐漸減少(伴隨光束硬化)，這種總的效應(yīng)，叫X射線衰減，或稱為物質(zhì)對(duì)X射線產(chǎn)生了廣義的“吸收”。

4.1.1單能X射線的衰減

單能X射線的衰減的衰減規(guī)律：入射X射線強(qiáng)度的減少與入射X射線光子數(shù)(強(qiáng)度)與射程長(zhǎng)度成正比，并與介質(zhì)的特性有關(guān)。其關(guān)系為： -dI=μI0dx或P=-dI/dx=μI0（4-1）

式中P是介質(zhì)中由吸收和散射而吸收掉的X射線光子的吸收比率。I0是入射X射線的光子數(shù)(或近似叫強(qiáng)度)。μ是介質(zhì)的X射線吸收系數(shù)，是反映介質(zhì)特性的物理量。如果將吸收率表示為介質(zhì)中X射線單位射程長(zhǎng)度上的量，則μ的單位就是：1/長(zhǎng)度，因而叫線吸收系數(shù)。

第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二物質(zhì)對(duì)X射線束的衰減對(duì)上式積分可得：（4-3）

I與x的半對(duì)數(shù)關(guān)系是一條直線，如圖4-5所示。

4.1.2多能X射線的衰減在透射CT中，幾乎沒有單能輻射可用，因?yàn)橹挥蟹派湫院怂夭庞锌赡墚a(chǎn)生單能輻射，然而卻難于得到CT所需的強(qiáng)度。因此，必須用X射線管產(chǎn)生X射線束，而這樣產(chǎn)生的X射線的能譜是連續(xù)譜，最大能量為加于X射線的KVP值。多能X射線通過厚為X的介質(zhì)薄片后的透射強(qiáng)度為：（4-4）

第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二物質(zhì)對(duì)X射線束的衰減上式中I0(E1),I0(E2)...等分別表示X射線束中n種不同能量的X射線光子各自的強(qiáng)度。μ(E1)，μ(E2),...等表示各自的線吸收系數(shù)。為簡(jiǎn)化記號(hào)。該表達(dá)式可寫成：

(4-5)式中Σ為求和符號(hào)，K為求和變量從1到n順序取值。μ(Ek)為第K種能量的X射線的吸收系數(shù)。一般說來，Ek越小，μ(Ek)越大。

4.1.3X射線束硬化效應(yīng)在X射線束透過介質(zhì)時(shí)，由于低能X射線被吸收量較多，所以X射線的平均能量隨透入介質(zhì)的深度而增加。能量的逐漸增加使透射X射線與介質(zhì)厚度的關(guān)系的半對(duì)數(shù)圖形偏離直線，如圖4-6。X射線束的能量隨深度的變化產(chǎn)生束硬化，在透射CT圖像中產(chǎn)生硬化膺象。第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二物質(zhì)對(duì)X射線束的衰減4.1.4X射線的有效能量

X射線的有效能量的意思是：如果介質(zhì)對(duì)多能X射線的吸收等效于某單能X射線的吸收時(shí)，就把該單能X射線的能量叫做對(duì)應(yīng)的多能X射線的有效能量。在很多情況下，包括CT圖像重組中，用有效能量來描述多能X射線束是很方便的。為了確定有效能量,①需測(cè)量X射線透過厚為x的薄層介質(zhì)時(shí)的透射比I/I0,②由公式I/I0=e-μX計(jì)算有效線性衰減系數(shù)μ。③測(cè)出對(duì)同一介質(zhì)有相同μ的單能X射線(用放射性核素或衍射分光法從多能X射線獲得)的能量。或通過查表或測(cè)量找出對(duì)同一介質(zhì)有同一μ值的單能X射線的能量。這樣求得的單一的X射線的能量就是對(duì)應(yīng)的多能束的有效能量。一般來說，有效能量約為KVP值的60%左右。對(duì)于在120～140KVP下運(yùn)轉(zhuǎn)的CT掃描機(jī)，有效能量一般為70～80KeV。110KVP時(shí)，有效能量為：66KeV。第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二衰減系數(shù)和CT數(shù)4.2衰減系數(shù)和CT數(shù)

4.2.1CT數(shù)與線衰減系數(shù)的關(guān)系

在圖像重組過程中，對(duì)一種材料計(jì)算的CT數(shù)與X射線束的有效能量在同種材料中的線衰減系數(shù)μ有關(guān)，其關(guān)系為：

式中CTN表示CT數(shù)，μw是同種有效能量的X射線在水中的線衰減系數(shù)。對(duì)于現(xiàn)代CT掃描機(jī)，常數(shù)K的值為1000，如果將CTN表示成豪斯菲爾德單位(HU：HounsfieldUnit),則上式變?yōu)椋?/p>

(4-7)

在HU單位中，空氣的CT數(shù)為-1000HU；水的CT數(shù)為0；致密的骨的CT數(shù)為幾百個(gè)HU；金屬(如外科攝)CT數(shù)為1000HU以上。在較早的掃描機(jī)中，K常數(shù)為另外的值(如早期的EMI掃描機(jī)中K=500)。

(4-6)

第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二衰減系數(shù)和CT數(shù)4.2.2用CT數(shù)表示物質(zhì)對(duì)X射線的吸收的優(yōu)點(diǎn)

1、因?yàn)镃T數(shù)表示被測(cè)材料和水的衰減系數(shù)之比，所以對(duì)不同的管壓KVP值及X射線束的不同的過濾情況都變化不大。

2、對(duì)不同的CT掃描機(jī)都基本上是常數(shù)。

3、乘以比例因子1000，是要將CT數(shù)的數(shù)值放大，以避免像衰減系數(shù)那樣堆積在一起。

4、CT數(shù)主要反映了物質(zhì)的體電子密度(電子數(shù)/cm3)。CT數(shù)與物質(zhì)的體電子密度有線性關(guān)系。

5、對(duì)肌肉和軟組織CT數(shù)主要反映X射線的康普頓散射。

6、骨的CT數(shù)主要反映X射線的光電吸收。骨的CT數(shù)偏離了與體電子密度(電子數(shù)/cm3)的線性關(guān)系。第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二衰減系數(shù)和CT數(shù)

7、對(duì)CT數(shù)的主要影響是吸收材料的物理性質(zhì)，主要是材料的物理密度(g/cm3)。對(duì)CT數(shù)的第二個(gè)影響是質(zhì)量電子密度(電子數(shù)/g)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)相互作用都屬于康普頓散射，這種相互作用主要與介質(zhì)的質(zhì)量電子密度有關(guān)而與介質(zhì)材料的原子序數(shù)無關(guān)，質(zhì)量電子密度與物理密度之積叫介質(zhì)的體電子密度。單位為電子數(shù)/cm3。CT數(shù)與介質(zhì)體積電子密度的線性關(guān)系示于圖4-7。除骨外，所有生物材料都遵從這種線性關(guān)系。在骨中，光電吸收的影響變得顯著起來，介質(zhì)的原子序數(shù)影響相互作用的幾率。因此，骨中CT數(shù)偏離圖4-7中的線性關(guān)系百分之幾。第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二衰減系數(shù)和CT數(shù)4.2.3衰減系數(shù)的進(jìn)一步研究對(duì)受診斷X射線照射的任何材料，線衰減系數(shù)是經(jīng)典散射系數(shù)η，光電吸收系數(shù)τ,及康普頓散射系數(shù)σ之和，即

μ=η+τ+σ（4-8）White及Fitzgerald指出，該式可改寫為：μ=ρe(η1Z-1.69+η2Z-3.8+η3Z-0.03)（4-9）其中：ρe=ρm*d(=質(zhì)量電子密度*物理密度)式中ρe是體積電子密度，η1、η2、及η3分別為經(jīng)典散射、光電吸收及康普頓散射所占的比例，Z表示原子序數(shù)，ρm表示質(zhì)量電子密度，d表示物理密度。在除致密骨外的大多數(shù)生物材料中，η1及η2小到可以忽略且有效原子序數(shù)基本相同。因此線性衰減系數(shù)μ與對(duì)應(yīng)的CT數(shù)僅隨體電子密度變化（圖4-7）。將由White等提出的μ實(shí)際表達(dá)式代入CT數(shù)的表達(dá)式：

式中，可計(jì)算理想的CT數(shù)。表4-1中列出了Fullerton對(duì)幾種材料計(jì)算的CT數(shù)。計(jì)算這些值時(shí)假定：(1)每一種生物材料只有唯一的CT數(shù)存在；(2)對(duì)某種特定組織得到的CT數(shù)可用以識(shí)別這種組織的成分，辨別正?；虿±頎顟B(tài)。第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二衰減系數(shù)和CT數(shù)第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二衰減系數(shù)和CT數(shù)各種軟組織的CT數(shù)與質(zhì)量密度間的關(guān)系第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二第5章斷層圖象重建本章主要內(nèi)容

1、CT成像的一般問題2、幾種典型的圖像重建算法

簡(jiǎn)單反投影法簡(jiǎn)單代數(shù)重組法迭代重組法

濾波反投影法第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二5.1CT成像的一般問題

在研究人體透射的斷面影像重建之前，先了解一些成像問題的背景知識(shí)。為產(chǎn)生物體的圖像，我們必須把物體的信息傳遞給圖像。從實(shí)際應(yīng)用的角度看，成像模式要求保證形成圖像上一點(diǎn)的信息來自于物體上的一個(gè)點(diǎn)，即物體與圖像具有一對(duì)一的關(guān)系。但實(shí)際上，元素的其他鄰近點(diǎn)也會(huì)對(duì)該點(diǎn)的成像產(chǎn)生一定量的信息，且離該元素位置越遠(yuǎn)，此信息量就會(huì)越小，稱之為鄰域原理(neighbourhoodprinciple)。這可以用一個(gè)點(diǎn)源響應(yīng)函數(shù)(point-sourceresponsefunction，PSRF)來進(jìn)行定量描述。對(duì)于成像效果好的系統(tǒng)，其鄰域應(yīng)限制在一個(gè)很小的區(qū)域，因而作用范圍很窄。為了重建圖像，我們就需要建立一個(gè)物體與圖像之間的物理聯(lián)系，在物理成像中，這種聯(lián)系方式可以有多種形式，如γ照相中的γ射線光子，熱成像中的紅外光子以及X射線成像中的X射線光子。第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二CT成像的一般問題

物體平面與影像平面之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)是空間變量點(diǎn)源響應(yīng)函數(shù)(spacevariantpoint-sourceresponsefunction，SVPSRF)，在有些情況下該函數(shù)其實(shí)也是空間不變的．即對(duì)所有的位置值都相同。圖像其實(shí)就是物體分布與PSRF函數(shù)的卷積，它攜帶了從物體平面信息到影像平面的信息，我們期望解卷積過程可以消除信號(hào)的畸變。由于兩信號(hào)的卷積等于其傅里葉變換的乘積，注意在傅里葉空間中，物體可以按其空間頻率分量進(jìn)行分割。清晰圖像所包含的空間頻率比模糊圖像中相應(yīng)的頻率要高。我們的目標(biāo)是要得到人體每一個(gè)切片層面上的影像。為此先將每層切片分割成任意的正方形橫截面區(qū)域或是體積等于切片層厚度的體積單元，簡(jiǎn)稱為體元(voxels)。這是為了給每個(gè)體元賦予一個(gè)對(duì)x射線的線性衰減系數(shù)為μ的值，并用矩陣的形式進(jìn)行顯示，矩陣中的μ值即為最終成像中的各個(gè)像素(pixel)的灰度值。在將這些數(shù)據(jù)送到CRT屏幕顯示以前．通常先將它們重新調(diào)整為CT數(shù)(CTnumber)的形式第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二CT成像的一般問題矩陣中不同的灰度值構(gòu)成一幅圖像第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二CT成像的一般問題

上式表明：任何組織的CT數(shù)都是它相對(duì)于水的線性衰減系數(shù)的差分因子。雖然大部分軟組織的CT數(shù)通常接近于零(這些組織無法通過傳統(tǒng)的x射線成像)，但CT仍可以很容易地將它們區(qū)分開來。此外，從顯示的角度講，CT數(shù)的微小差別可以通過增加顯示的對(duì)比度進(jìn)行光學(xué)放大，即操作者可以改變?cè)O(shè)定的CT數(shù)的亮度范圍。通過這種方法，即使是CT數(shù)相差很小的組織，也可轉(zhuǎn)換為黑和白之間的灰度圖像(圖7.27)。這種方法的重要性在于，它允許比那些由傳統(tǒng)的采用膠片的x射線透視攝影的灰度系數(shù)(Γ)小100倍的目標(biāo)物成像。第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二CT成像的一般問題

當(dāng)X射線束穿過人體時(shí)，它在任意一點(diǎn)的衰減由該點(diǎn)組織特性與射線束的能量分布決定。x射線CT中射線束的能量分布譜是多色譜的，它會(huì)在射線束穿過人體時(shí)改變(硬化)。這種改變的一個(gè)重要結(jié)果是射線束在任一點(diǎn)的衰減取決于射線束的入射方向。顯然對(duì)于單色譜射線束的情況就不會(huì)這么復(fù)雜，我可以給人體每一點(diǎn)賦一個(gè)唯一的衰減值．這樣衰減系數(shù)重建的問題也就解決了。每個(gè)體元的CT值是由組成該體元的組織特性決定的，它與體元在切片中的位置無關(guān)。

假定有一光子能量已知的單色譜X射線源，對(duì)于固定位置的線源和探測(cè)器對(duì)，我們可以測(cè)出由線源到達(dá)探測(cè)器的光子數(shù)，以此作為定標(biāo)測(cè)量，并記此定標(biāo)值為CM。如果對(duì)人體重復(fù)進(jìn)行此測(cè)量，那么到達(dá)探測(cè)器的光子數(shù)目就會(huì)減少．并得到實(shí)際測(cè)量值A(chǔ)M，我們定義單色譜X射線束的總和m為第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二CT成像的一般問題

將所有的線源與探測(cè)器對(duì)在不同位置上的m值的集合作為單色譜x射線投射數(shù)據(jù)的參考值，可以證明在一定能級(jí)范圍內(nèi)，切片內(nèi)的相對(duì)線性衰減系數(shù)可以由單色譜投射的數(shù)據(jù)來準(zhǔn)確估計(jì)。由于實(shí)際x射線源為有色譜的．如同在單色譜線定義方法一樣。我們分別定義有色譜射線總和p、定標(biāo)測(cè)量值CP、實(shí)際測(cè)量值A(chǔ)P，則有：

實(shí)測(cè)中，我們可以得到所有線源與探測(cè)器不同位置上的p值(多色譜投射數(shù)據(jù))的集合。但由于我們需要的是m值，所以問題就在于p值能不能唯一地確定m值，通常情況下答案是不能。換一個(gè)思路是，能否用已知p值來近似m值從而得到滿足臨床需要的CT數(shù)?這個(gè)問題的答案看起來是肯定的，以下部分將說明具體的實(shí)現(xiàn)方法。為實(shí)現(xiàn)圖像重建(reconstruction)，我們首先作以下簡(jiǎn)化的假設(shè)：第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二CT成像的一般問題(1)切片無限薄。(2)對(duì)于每一個(gè)特定的射線源與探測(cè)器位置，所有的x射線光子沿同一直線行進(jìn)，且位于無限薄的切片內(nèi)。實(shí)際上，第一個(gè)假設(shè)是忽略了體素與像素的區(qū)別，因此最終得到的影像是以灰度水平代表了體素與體素之間的相對(duì)線性衰減。參考圖7.28，可以得：第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二CT成像的一般問題

由于μ(x,y)在重建區(qū)域之外的值為零．因此我們可以對(duì)式(7.33)的積分值進(jìn)行任意擴(kuò)展而不會(huì)使等式無效?，F(xiàn)在問題是要簡(jiǎn)化由沿一系列直線的μ(x,y)積分值計(jì)算，即求單色投影數(shù)據(jù)。此問題的算法是基于1917年奧地利數(shù)學(xué)家拉東(Radon)提出的理論及公式。它全部由線性積分值來確定一幅圖像。但我們能夠提供的只是一組有限的投影或線性積分的集合，因此只能是估計(jì)值而不是精確值。此估計(jì)值受很多因素的影響，如X射線束的寬度、線束的硬化、光子統(tǒng)計(jì)分布以及探測(cè)器誤差(即沒有全部記錄所有到達(dá)的光子數(shù)目)等。第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二CT成像的一般問題

如圖7.29所示．由于射線束的有限寬度局部體積效應(yīng)會(huì)使μ(x,y)的估計(jì)產(chǎn)生較大的誤差，假定圖中的x射線為點(diǎn)光源單色譜的，x射線源照射直線段探測(cè)器，并由虛線將其分為兩半。為簡(jiǎn)單說明問題，我們?nèi)∩刃蚊鎴D中單位長(zhǎng)度元素的衰減系數(shù)為2(打點(diǎn)的區(qū)域)，其余部分均為零。如果有等數(shù)量的光子進(jìn)入左右兩側(cè)的扇形區(qū)域，那么由于左側(cè)的光子沒有衰減．因而比值I/I0為l，而右半側(cè)光子穿過單位長(zhǎng)度的物質(zhì)時(shí)．強(qiáng)度降低，比值I/I0=exp(-2)=0.135。雖然m的實(shí)際測(cè)量平均值為l，但用式(7.31)計(jì)算出的值為0.567，因此局部小塊衰減材料的存在使得誤差加大。第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二5.2幾種典型的圖像重建算法5.2.1簡(jiǎn)單反投影法(SimplifiedBackprojection)假設(shè)通過球形物體的X射線透射數(shù)據(jù)是沿由兩個(gè)相互垂直的視圖上的很多條射線進(jìn)行測(cè)量的。在每個(gè)視圖上，這些測(cè)量組成特定角方位上X射線透射的輪廓。X射線透射輪廓示于圖6-3。在獲得X射線透射輪廓后，可用與數(shù)據(jù)積累過程相反的過程，形成球的大概圖像。這個(gè)相反的過程叫反投影，不需很復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法就可完成。例如，可用光學(xué)方法從在各不同的角方位上獲得的光學(xué)圖像完成簡(jiǎn)單反投影。在圖6-3的例子中，如果能從不同的角方位獲得更多的輪廓，則球形的圖像就可得到改善。第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二簡(jiǎn)單反投影法采用上述原理就可以提供CT圖像的灰階顯示。然而，因?yàn)橥队暗乃p系數(shù)是沿整個(gè)射線的平均值，且不限于感興趣的物體，故圖像不滿意。原始物體的周密區(qū)在重組圖像中會(huì)形成輻射狀的圖紋，如圖6-5。若用物體的很多視圖來形成圖像，輻射狀的圖紋就可減少，但隨之而來的是產(chǎn)生圖像的斑狀模糊(星狀偽跡)。這些輻射狀圖紋膺象的模糊限制了簡(jiǎn)單反投影方法在臨床成像中的應(yīng)用。以下用數(shù)學(xué)原理闡述簡(jiǎn)單反投影原理及星狀偽跡產(chǎn)生的原理。第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二投影第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二反投影重建算法的一般步驟：原像取投影反投影重建重建后圖像反投影重建算法第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二投影重建算法的基本內(nèi)容：“斷層平面中某一點(diǎn)的密度值可看作這一平面內(nèi)所有經(jīng)過該點(diǎn)的射線投影之和（的平均值）”。式中xk表示象素的值，pk,i為經(jīng)過象素的第i條射線投影?？梢赃@樣理解：其中f(x,y,z)是身體組織密度。反投影重建算法的物理概念第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二算法舉例123456第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化處理，除以投影線數(shù)目

xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影線數(shù)，平均化斷層平面中某一點(diǎn)的密度值可看作這一平面內(nèi)所有經(jīng)過該點(diǎn)的射線投影之和的平均值123456第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二星狀偽跡反投影重建后，原來為0的點(diǎn)不再為0，形成偽跡00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影線數(shù)，平均化第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二星狀偽跡我們考慮孤立點(diǎn)源反投影重建，中心點(diǎn)A經(jīng)n條投影線投影后，投影值均為1：

p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他點(diǎn)均為1/n這類偽跡成為星狀偽跡1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質(zhì)是把取自有限物體空間的射線投影均勻地回抹(反投影)到射線所及的無限空間的各點(diǎn)之上，包括原先像素值為零的點(diǎn)第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述我們?cè)O(shè)置一旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系統(tǒng)Xr-Yr,它繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)使投影線總是沿著Yr方向。Xr-Yr的原點(diǎn)與X-Y的原點(diǎn)相重。兩者的夾角為φ，不同的φ代表不同的投射方向。投影線的位置可由(Xr,φ)完全確定?？臻g的任一點(diǎn)的位置可用(X,Y),(Xr,Yr)或極坐標(biāo)(r,θ)表出。第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述先設(shè)φ為離散取值，則投影為根據(jù)反投影重建的定義式，點(diǎn)的圖像在所述坐標(biāo)系統(tǒng)表示為式中，,為投影數(shù)第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二若在有限區(qū)間內(nèi)射線增至不相重的無限條，即連續(xù)投影，則式(4.12)過渡到更一般的連續(xù)情況下的反投影表達(dá)式：在輸入圖像為點(diǎn)源的情況下，由式(4.10)及式(4.13)可得反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二可見，反投影重建算法相應(yīng)的系統(tǒng)的擴(kuò)展函數(shù)不是δ函數(shù)，系統(tǒng)不是完美的．式定量地描述了反投影重建算法星狀偉跡的本質(zhì)．要除去反投影算法的星狀偽跡，我們可以在輸出端加一濾波器，使加了濾波器后的反投影重建成像系統(tǒng)PSF＝δ(x,y).使濾波器的PSF為q(x,y),相應(yīng)的傳遞函數(shù)為Q(ξ,η),這里我們要求：反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二＊＊表示二維卷積，對(duì)上式取二維傅立葉變換得或這是一只二維濾波器，實(shí)現(xiàn)起來比較麻煩．若ρ的變換范圍可擴(kuò)至∞，根本不能實(shí)現(xiàn)，但不管怎樣，它提供了去除星狀偽跡的一個(gè)努力方向．反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二簡(jiǎn)單代數(shù)重組法5.2.2簡(jiǎn)單代數(shù)重組法(SimplifiedAlgebraicreconstruction)簡(jiǎn)單代數(shù)重組法是Hounsfield最初所用的方法?；具^程是收集完全的投影數(shù)據(jù)，然后解代數(shù)方程。如果投影數(shù)據(jù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則產(chǎn)生病態(tài)問題。解決的方法是采用迭代法。簡(jiǎn)單代數(shù)重組法的示意圖如圖6-1。圖中，假定每個(gè)體積元(voxel)的邊長(zhǎng)為X的立方體，P1～P6為6個(gè)方向的X射線投影數(shù)據(jù)，P0為X射線的初始值，μ1～μ4為各個(gè)體積元衰減系數(shù)。我們就需求這四個(gè)值。不能由P1～P4的投影數(shù)據(jù)立出4個(gè)方程而求出μ1～μ4，而必須尋求另外的投影，如P5。這樣就可立出聯(lián)立方程如下：圖6-1代數(shù)重組法示意圖

第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二簡(jiǎn)單代數(shù)重組法因?yàn)镻0為定值且可直接測(cè)量，為了方便假定為1。各投影P1～P6也是可測(cè)的。將方程(1)～(4)兩邊取對(duì)數(shù)可得：(lnP1)/x=-(μ1+μ2)(5)(lnP2)/x=-(μ3+μ4)(6)(lnP3)/x=-(μ1+μ3)(7)(lnP5)/x=-(μ1+μ4)(8)令(lnPi)/x=ni,則可得：

n1=-(μ1+μ2)(a)n2=-(μ3+μ4)(b)n3=-(μ1+μ3)(c)n5=-(μ1+μ4)(d)第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二簡(jiǎn)單代數(shù)重組法最后可解得：μ1=(n2-n3-n5)/2(f)μ2=(n3+n5-n2)/2-n1(g)μ3=(n5-n2-n3)/2

(h)μ4=(n3-n2-n5)/2

(i)如果測(cè)量的投影數(shù)據(jù)(經(jīng)變換)為：n1=-3，n2=-7，n3=-6，n5=-5，則可算得：μ1=2，μ2=1，μ3=4，μ4=3。就是說，由測(cè)得的投影數(shù)據(jù)就可重建物體對(duì)X射線的衰減系數(shù)矩陣，這就是圖象。如果體積元取的大，即如果把4個(gè)體積元變成一個(gè)，則衰減系數(shù)為4者的均值：μ=(μ1+μ2+μ3+μ4)/4=2.5，這就模糊了細(xì)節(jié)，稱為“部分體積效應(yīng)”。第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二迭代重組法5.2.3迭代重組法(IterativeReconstructionMethod)

解決反向投影重建缺點(diǎn)的途徑之一是找到一種方法，去除我們所做的沿各X射線路徑上的均勻密度分布或是μ為常量的不合理假設(shè)。早期CT中使用的一種概念上比較簡(jiǎn)單的方法是迭代方法(iterativemethods)，曾在豪斯費(fèi)爾德研制的第一代CT中使用。這種方法盡管在現(xiàn)在的X射線CT中已不再使用，但在放射性同位素?cái)鄬映上裰腥栽谑褂茫摲椒▽?shí)質(zhì)上是用迭代的方法求解方程：

這是一種逐步逼近法，初始值任意給定，然后利用修正值對(duì)每次計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行迭代，直到得出的解值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)值相近為止。由于實(shí)際測(cè)量中空間位置是離散的，而且x射線筆射束的橫斷面是有限的，因此對(duì)式(7.36)中的積分其實(shí)就是求和。如圖7.32所示，圖像層面由像素(pixel)點(diǎn)組成，我們用X射線帶代替X射線束。對(duì)圖7.32中的第J條射線的射線積分可以表示為射線求和的形式：第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二迭代重組法這里，wij為權(quán)重因子，它允許在同一條射線帶上的不同像素對(duì)射線的吸收可以不同，其對(duì)投影圖的貢獻(xiàn)示于圖7.32射線路徑粗線表示的部分高度。事實(shí)上wij為第J束射線穿過第i個(gè)區(qū)域或像素的平均路徑長(zhǎng)度。這些系數(shù)值只需要計(jì)算一次，然后保存下來即可使用。實(shí)際設(shè)計(jì)中，式(7.37)代表約105個(gè)聯(lián)立方程，它的解是在不斷迭代中調(diào)整μi的值直到計(jì)算出的投影值PC與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的投影P非常接近為止。把迭代的μi

值的最終結(jié)果作為解，也即是重構(gòu)圖像的像素值。圖7.32像素矩陣疊加在所要成像的斷面上(在射線j上的第i個(gè)像素對(duì)射線衰減的影響用wij表示，它在投影圖上的貢獻(xiàn)由粗實(shí)線表示在第j條射線帶上測(cè)量的射線之和為投影圖像的高度)第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二迭代重組法這種求解方法得到的解并不唯一，一個(gè)原因就是通常方程數(shù)多于未知量，因而存在多重解。迭代算法中修正值的計(jì)算與應(yīng)用也可采用不同方法，修正值可以以相加或相乘的方法應(yīng)用，它們可以在計(jì)算后立即使用，或存儲(chǔ)起來在每一次迭代后循環(huán)使用。此外，需要回答的一個(gè)問題是，重構(gòu)物體的投影圖像需要全部的視圖還是可以選擇最小數(shù)量的視圖?如果物體只有一個(gè)點(diǎn)組成，那么顯然兩個(gè)視圖或是兩個(gè)角度上的投影即可。如果物體的復(fù)雜度增加，那么情況就不同了，如圖7.33所示。圖中8個(gè)點(diǎn)以不同的形式位于正方形網(wǎng)格中，但若僅從水平和垂直方向上得到完全相同的視圖或投影上來看，這三個(gè)物體似乎完全相同；顯然這時(shí)只需要在對(duì)角線方向增加一個(gè)視圖．就可以將三個(gè)物體分開。因此我們期望在物體的復(fù)雜度與所需要的投影圖數(shù)目之間存在某種關(guān)系，通?？梢宰C明：圖7.33由8個(gè)點(diǎn)組成的三個(gè)物體在不同視解得到的投影圖第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二迭代重組法(1)任何物體可由其投影圖的連續(xù)集合來完整表示。(2)在每個(gè)投影圖中包含有與物體相關(guān)的信息。如果使用平行線束掃描物體的圓截面并進(jìn)行采樣(圖7.22)，則每個(gè)投影圖上的采樣點(diǎn)數(shù)Ns為式中，2a為圓形物體的直徑，d為步進(jìn)間距。這時(shí)考慮視角數(shù)Nφ：

采集時(shí)只需要將探測(cè)器旋轉(zhuǎn)達(dá)到180°即可，大于180°的旋轉(zhuǎn)僅僅是對(duì)原先保存的圖像進(jìn)行復(fù)制。將旋轉(zhuǎn)角△φ調(diào)整到與物體周長(zhǎng)的線性變化一致，即等于d，由式(7.38)和式(7.39)可以得到總的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N：圖7.22第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二迭代重組法=？2=？3=？4=？迭代重組法算法思想目標(biāo)：求解四個(gè)μ值。第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二迭代重組法323243210000432164-22Guess1Guess0Guess2ErrorError迭代重組法算法思想第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二迭代重組法

例：為了說明迭代重建算法，圖7.34(a)畫出了一個(gè)由9個(gè)點(diǎn)像素組成的物體(圓圈內(nèi))，已知它在四個(gè)方向的投影數(shù)(每個(gè)方向3個(gè)數(shù))，而9個(gè)點(diǎn)的實(shí)際線性衰減系數(shù)(待求)盡管已列于小方格內(nèi)，但測(cè)量者并不知道!第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期二迭代重組法

假定權(quán)重因數(shù)wij均為1，按順時(shí)針方向分別進(jìn)行處理，第一組線性衰減系數(shù)值分別由水平方向投影值除以像素點(diǎn)數(shù)3后得到，并將此結(jié)果作為第一個(gè)預(yù)測(cè)值，如圖7.34(b)，但預(yù)測(cè)值在垂直方向上對(duì)各值求和得到的結(jié)果顯然與投影值不符；于是將垂直方向誤差平均(即誤差除以3)后分配到垂直列的各點(diǎn)中即各點(diǎn)加(誤差值偏小列)或減(誤差值偏大列)誤差，使其和投影值相符，這樣就在垂直方向上，做了修正，如圖7.34(c)。在兩對(duì)角線上也重復(fù)此修正過程，從而完成第一次迭代?？梢钥闯觯谝淮蔚Y(jié)束后結(jié)果就已經(jīng)與原線性衰減系數(shù)值非常接