簡諧振動(dòng)振動(dòng)合成

簡諧振動(dòng)振動(dòng)合成現(xiàn)在是1頁\一共有63頁\編輯于星期四振動(dòng)(Oscillation)現(xiàn)在是2頁\一共有63頁\編輯于星期四前言：振動(dòng)和波動(dòng)是物理中的重要領(lǐng)域：一、簡諧振動(dòng)振動(dòng):一個(gè)物理量隨時(shí)間作周期性變化簡諧振動(dòng)是最簡單的振動(dòng),任何復(fù)雜的振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)的線性迭加。定義：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移（或角位移）隨時(shí)間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化，這類運(yùn)動(dòng)稱簡諧振動(dòng)。現(xiàn)在是3頁\一共有63頁\編輯于星期四速度與加速度也都是周期變化的。二、簡諧振動(dòng)的速度、加速度現(xiàn)在是4頁\一共有63頁\編輯于星期四1、振幅A物體離開平衡位置的最大距離。2、周期T單位：米，m物體完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間。單位：秒，s頻率v1秒內(nèi)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)。單位：赫茲，Hz或曰,物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全重復(fù)一次所用的時(shí)間。三、諧振動(dòng)的振幅、周期、（頻率）和相位現(xiàn)在是5頁\一共有63頁\編輯于星期四3、圓頻率ω每隔周期T物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)原:2秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)(單位：1/S或rad./S)

現(xiàn)在是6頁\一共有63頁\編輯于星期四4、相位與初相φ(t+

)是t時(shí)刻的相位t時(shí)刻的相位反映t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)

由x=Acos(t+)

t+

0/2

3/22

x(t)

A0-A0A

(t)0-A0

A0

a(t)-2A02A0-2A現(xiàn)在是7頁\一共有63頁\編輯于星期四初相(initialphase)是t=0時(shí)刻的相位

(t=0稱時(shí)間零點(diǎn)，是開始計(jì)時(shí)的時(shí)刻，不一定是開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻)

反映t=0時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)(x0，0

)

要熟記典型

值所對應(yīng)的振動(dòng)情況和振動(dòng)曲線(如圖)

現(xiàn)在是8頁\一共有63頁\編輯于星期四oA-Atx=0T(a)Ax0=AxmooA-Atx=/2x0=0T(b)xmoxoA-At

=xmo-Ax0=-AT(c)oA-At=3/2(或-/2)

Txx0=0xmo(d)

0

/2

3/22

x0A0-A0A

00-A0

A0彈簧振子的幾個(gè)特殊的初始狀態(tài)及相應(yīng)的振動(dòng)曲線

現(xiàn)在是9頁\一共有63頁\編輯于星期四5、振幅與初相的確定初始條件：①②②/①有①2+(②/)2有現(xiàn)在是10頁\一共有63頁\編輯于星期四五、相位差相位差---相位之差

對兩同頻率的簡諧振動(dòng)，相位差等于初相差

=(t+2)-(t+1)

=2

-1

1.相位差和初相差2.同相和反相

當(dāng)=2k，(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相同，稱同相現(xiàn)在是11頁\一共有63頁\編輯于星期四當(dāng)=(2k+1)，(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相反，稱反相

x2TxoA1-A1A2-

A2x1t反相xoA1-A1A2-

A2x1x2Tt同相(a)兩同相振動(dòng)的振動(dòng)曲線

(b)兩反相振動(dòng)的振動(dòng)曲線

現(xiàn)在是12頁\一共有63頁\編輯于星期四3.領(lǐng)先和落后若=2-1>0,則x2比x1較早達(dá)到正最大，稱x2比x1領(lǐng)先(或x1比x2落后)

領(lǐng)先、落后以<的相位角(或以<T/2的時(shí)間間隔)來判斷

xx2ToA1-A1A2-

A2x1t振動(dòng)的領(lǐng)先與落后

思考：在上圖中，x1與x2兩振動(dòng)誰領(lǐng)先?現(xiàn)在是13頁\一共有63頁\編輯于星期四1.在平衡位置附近來回振動(dòng)。2.受回復(fù)力作用。特點(diǎn)：1.彈簧質(zhì)量不計(jì)。1.符合簡諧振動(dòng)的條件2.彈簧的振動(dòng)2.所有彈力都集中在彈簧上。3.質(zhì)量集中于物體上。4.不計(jì)摩擦。彈簧振子現(xiàn)在是14頁\一共有63頁\編輯于星期四振動(dòng)位移：從o點(diǎn)指向物體所在位置的矢量?；貜?fù)力：3.振動(dòng)位移建立坐標(biāo)系，o點(diǎn)選在彈簧平衡位置處。一維振動(dòng)現(xiàn)在是15頁\一共有63頁\編輯于星期四令有簡諧振動(dòng)微分方程其中A為振幅，為圓頻率，為初相位。圓頻率只與彈簧振子性質(zhì)有關(guān)。單位：rad/s解微分方程現(xiàn)在是16頁\一共有63頁\編輯于星期四1.圓頻率2.周期3.頻率現(xiàn)在是17頁\一共有63頁\編輯于星期四均是作簡諧振動(dòng)的物理量頻率相同振幅的關(guān)系相位差超前落后現(xiàn)在是18頁\一共有63頁\編輯于星期四6.振動(dòng)曲線現(xiàn)在是19頁\一共有63頁\編輯于星期四質(zhì)量集中于小球上，不計(jì)懸線質(zhì)量。取逆時(shí)針為

張角正向，以懸點(diǎn)為軸，只有重力產(chǎn)生力矩?！?/p>

–

”表示力矩與張角方向相反。單擺現(xiàn)在是20頁\一共有63頁\編輯于星期四當(dāng)時(shí)現(xiàn)在是21頁\一共有63頁\編輯于星期四令諧振動(dòng)微分方程現(xiàn)在是22頁\一共有63頁\編輯于星期四周期頻率與質(zhì)量無關(guān)。圓頻率現(xiàn)在是23頁\一共有63頁\編輯于星期四簡諧振動(dòng)的能量現(xiàn)在是24頁\一共有63頁\編輯于星期四

簡諧振動(dòng)過程即有動(dòng)能又有勢能，Ek、Ep交替變化。一、諧振動(dòng)的動(dòng)能現(xiàn)在是25頁\一共有63頁\編輯于星期四現(xiàn)在是26頁\一共有63頁\編輯于星期四Ek最大時(shí)，Ep最小，Ek、Ep交替變化.二、諧振動(dòng)的勢能現(xiàn)在是27頁\一共有63頁\編輯于星期四機(jī)械能守恒，諧振過程保守力作功。諧振能量與振幅的平方成正比。三、諧振動(dòng)的能量現(xiàn)在是28頁\一共有63頁\編輯于星期四旋轉(zhuǎn)矢量現(xiàn)在是29頁\一共有63頁\編輯于星期四將物理模型轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型。矢量A以角速度逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，研究端點(diǎn)M在x軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，初相用勻速圓周運(yùn)動(dòng)幾何地描述SHV一、旋轉(zhuǎn)矢量現(xiàn)在是30頁\一共有63頁\編輯于星期四1.M點(diǎn)在x軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。2.M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度在x軸上投影速度現(xiàn)在是31頁\一共有63頁\編輯于星期四3.M點(diǎn)的加速度在x軸上投影加速度M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在x軸投影，為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。M點(diǎn)速度在x軸投影，為諧振動(dòng)的速度。M點(diǎn)加速度在x軸投影，為諧振動(dòng)的加速度。結(jié)論：現(xiàn)在是32頁\一共有63頁\編輯于星期四A諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量t+T振幅初相相位圓頻率諧振動(dòng)周期半徑初始角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度圓周運(yùn)動(dòng)周期二、物理模型與數(shù)學(xué)模型比較現(xiàn)在是33頁\一共有63頁\編輯于星期四1.初始條件三、用旋轉(zhuǎn)矢量表示彈簧、單擺運(yùn)動(dòng)初相現(xiàn)在是34頁\一共有63頁\編輯于星期四2.初始條件取現(xiàn)在是35頁\一共有63頁\編輯于星期四3.初始條件現(xiàn)在是36頁\一共有63頁\編輯于星期四4.初始條件取現(xiàn)在是37頁\一共有63頁\編輯于星期四1、直觀地表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)優(yōu)點(diǎn)當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)確定了振幅以后表述振動(dòng)的關(guān)鍵就是相位即表達(dá)式中的余弦函數(shù)的綜量而旋轉(zhuǎn)矢量圖可直觀地顯示該綜量分析解析式可知用圖代替了文字的敘述現(xiàn)在是38頁\一共有63頁\編輯于星期四如文字?jǐn)⑹稣ft時(shí)刻彈簧振子質(zhì)點(diǎn)

在正的端點(diǎn)旋矢與軸夾角為零質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)意味意味<現(xiàn)在是39頁\一共有63頁\編輯于星期四質(zhì)點(diǎn)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)同樣<0向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)<0<0注意到：現(xiàn)在是40頁\一共有63頁\編輯于星期四向正方向運(yùn)動(dòng)或>0>0或>0>向正向運(yùn)動(dòng)現(xiàn)在是41頁\一共有63頁\編輯于星期四由圖看出：速度超前位移加速度超前速度稱兩振動(dòng)同相2、方便地比較振動(dòng)步調(diào)位移與加速度稱兩振動(dòng)反相若現(xiàn)在是42頁\一共有63頁\編輯于星期四3、方便計(jì)算用熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)代替三角函數(shù)的運(yùn)算例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和勁度系數(shù)為k的彈簧組成的彈簧諧振子

t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)過平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)求：物體運(yùn)動(dòng)到負(fù)的二分之一振幅處時(shí)所用的最短時(shí)間現(xiàn)在是43頁\一共有63頁\編輯于星期四解：設(shè)t時(shí)刻到達(dá)末態(tài)由已知畫出t=

0時(shí)刻的旋矢圖再畫出末態(tài)的旋矢圖由題意選藍(lán)實(shí)線所示的位矢設(shè)始末態(tài)位矢夾角為因?yàn)榈梅睆?fù)的三角函數(shù)的運(yùn)算用勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)系求得現(xiàn)在是44頁\一共有63頁\編輯于星期四簡諧振動(dòng)的合成（SuperpositionofHarmonicOscillation)現(xiàn)在是45頁\一共有63頁\編輯于星期四引：-現(xiàn)在是46頁\一共有63頁\編輯于星期四質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)，研究兩個(gè)同方向同頻率的振動(dòng)合成。振動(dòng)合成分振動(dòng)合成后仍為諧振動(dòng)，角速度不變。一、同（振動(dòng)）方向、同頻率有恒定相位差的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成現(xiàn)在是47頁\一共有63頁\編輯于星期四tx結(jié)論：兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)合成后仍為同頻率的簡諧振動(dòng)。Yx１、旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動(dòng)現(xiàn)在是48頁\一共有63頁\編輯于星期四１、當(dāng)時(shí)（同相）,合振動(dòng)振幅最大。注意現(xiàn)在是49頁\一共有63頁\編輯于星期四２、當(dāng)時(shí)（反相）,合振動(dòng)振幅最小。若合振動(dòng)初相隨振幅大者。現(xiàn)在是50頁\一共有63頁\編輯于星期四適用于：兩個(gè)分振動(dòng)等振幅時(shí)。分振動(dòng)合振動(dòng)例:２、和差化積求合振動(dòng)３、由分振動(dòng)曲線求合振動(dòng)現(xiàn)在是51頁\一共有63頁\編輯于星期四例：兩同方向、同頻率諧振動(dòng)合成，求：合成諧振動(dòng)方程解：合成后不變，合振動(dòng)方程現(xiàn)在是52頁\一共有63頁\編輯于星期四

1、解析法：先將x1,x2合成，再與x3合成?！铣珊笕詾橹C振動(dòng)。

2、矢量合成法：x1,x2，x3……首尾相接。foA二、多個(gè)同方向、同頻率諧振動(dòng)合成現(xiàn)在是53頁\一共有63頁\編輯于星期四三、在垂直方向上的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成現(xiàn)在是54頁\一共有63頁\編輯于星期四3256圖(a)、(b)、(c)為三個(gè)不同的簡諧振動(dòng)系統(tǒng)．組成各系統(tǒng)的各彈簧的原長、各彈簧的勁度系數(shù)及重物質(zhì)量均相同．(a)、(b)、(c)三個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的w2（w為固有角頻率）值之比為(A)2∶1∶．(B)1∶2∶4．(C)2∶2∶1．(D)1∶1∶2．

［B］現(xiàn)在是55頁\一共有63頁\編輯于星期四3557一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動(dòng)，振動(dòng)范圍的中心點(diǎn)為x軸的原點(diǎn)．已知周期為T，振幅為A．(1)

若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)過x=0處且朝x軸正方向運(yùn)動(dòng)，則振動(dòng)方程為

x=_____________________________(2)

若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于處且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則振動(dòng)方程為

x=_____________________________．

現(xiàn)在是56頁\一共有63頁\編輯于星期四3562圖中所畫的是兩個(gè)簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線．若這兩個(gè)簡諧振動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相為．(B)．

(C)．(D)0．

x

tOA/2

-A

x1x2［B］現(xiàn)在是57頁\一共有63頁\編輯于星期四5190一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了三個(gè)簡諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別為

其合成運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為x=_____________．

0現(xiàn)在是58頁\一共有63頁\編輯于星期四3838一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧振動(dòng)，其表達(dá)式分別為

(SI)則其合成振動(dòng)的振幅為___________，初相為___________

1×10-2mp/6現(xiàn)在是59頁\一共有63頁\編輯于星期四3271一簡諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示，則以余弦函數(shù)表示的振動(dòng)方程為

___________