信號與系統(tǒng)教程45講北郵第三章

3.4

連續(xù)時間非周期信號的頻譜非周期信號的概念若周期脈沖信號的T足夠長，在后一個脈沖到來之前,前一個脈沖的作用早已消失，這樣的信號可作為非周期信號來處理.t0T12Fn01/8t0T12T

當T

時0，此時周期信號的離散譜將變成連續(xù)譜，同時|Fn|0,不過這些無窮小量之間仍保持一定的比例關(guān)系，為描述非周期信號的頻譜特性，引入了頻譜密度的概念1/T02Fn1/43.4.1從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換傅里葉正變換(或頻譜密度函數(shù))傅里葉反變換簡寫為

F(j)=?[f(t)]

f(t)

=?-1[F(j)]f(t)

F(j)傅里葉變換存在的充分條件（注：并非必要條件）傅里葉變換的表示方法3.4.2頻譜密度函數(shù)（即傅里葉正變換）一、頻譜密度函數(shù)的特點

非周期信號也是由無窮多個不同頻率的正弦分量組成，不過其基波頻率趨無窮小量，包含了從零到無窮大所有頻率分量，因此頻譜是連續(xù)譜，且各頻率分量的振幅是無窮小量，因此只能用頻譜密度函數(shù)表示。

頻譜密度函數(shù)的幅度譜和相位譜都是連續(xù)譜二、典型信號的頻譜密度函數(shù)F(j)[即傅里葉變換]（1）門函數(shù)(矩形脈沖)的傅里葉變換t01F(j)0E24-2-4矩形脈沖(門函數(shù))頻譜的特點(P92)|F(j)|0E24-2-4F(j)為實函數(shù),幅頻特性和相頻特性可用一條曲線表示F(j)0E24-2-40π26-2-4π（2）單邊指數(shù)信號的傅里葉變換t010F(j)為復函數(shù),幅頻特性和相頻特性不可用一條曲線表示0（3）偶雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換t01F(j)為實函數(shù),幅頻特性和相頻特性可用一條曲線表示00F(j)為虛奇函數(shù)|F(j)|和()可用一條曲線表示t01–1（4）奇雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換3.4.3奇異信號(函數(shù))的傅里葉變換011）沖激函數(shù)(t)的頻譜(即傅里葉變換）t0(1)沖激函數(shù)(t)的頻譜是常數(shù)

1，其頻譜密度在–區(qū)間處處相等，常稱其為“均勻譜”或“白色譜”。2)單位直流信號的頻譜(即傅里葉變換)0(2)t01觀察逆變換公式當F(j)=()時F(j)=()=?[1/2]

1/2

()

?[1]

=

2()

1

2()

3）符號函數(shù)的傅里葉變換t01–11234=041023的奇虛函數(shù)借助奇雙邊指數(shù)函數(shù),求極限幅度譜和相位譜畫在一起04）階躍信號(函數(shù))的頻譜(傅里葉變換)f(t)=(t)t01=+t01/2t01/2–1/20()

?[(t)]=?[1/2]+?[1/2sgn(t)]=()+

(1/j)

=0()+01

2()

sgn(t)

2/j

要求：掌握典型信號的頻譜（附錄B）說明：當F(j)為的實函數(shù)或虛函數(shù)時|F(j)|和()可用一條曲線表示信號的兩種描述方法1）時域描述2）頻域描述（即頻譜密度）

本節(jié)研究在某一域中對信號進行某種運算時在另一域中所引起的效應。3.5

傅里葉變換的性質(zhì)很多信號的頻譜密度函數(shù)直接用定義式不易求出,經(jīng)常利用典型信號的頻譜函數(shù)和性質(zhì)求。1、線性性質(zhì)（齊次性和可加性）（常用）t0122t0111=t0122112、奇偶性a）當f(t)為t

的實偶函數(shù)時t01F(j)02424b）當f(t)為t

的實奇函數(shù)時0t01–13、時移性質(zhì)(常用)

例9：f

(t)如圖所示，求?[f(t)]

t01–1–22t01信號時移前后幅頻特性完全相同，相頻特性滯后或超前見P99例3-124、頻(譜搬)移性質(zhì)(常用)0()()0()()該特性在通信系統(tǒng)中得到廣泛的應用，如調(diào)幅、同步解調(diào)、混頻等過程都是在頻譜搬移原理上實現(xiàn)。頻移性質(zhì)的應用[調(diào)制特性(原理)]

f(t)：調(diào)制信號（含信息）

s(t)：載波信號(單一的高頻頻率)y(t)：已調(diào)信號

可見已調(diào)信號y(t)的頻譜是把f(t)的頻譜F(j)一分為二分別向左和右搬移0調(diào)制特性及已調(diào)信號的頻譜頻分復用（FDM）傳輸信號的一種方式t0100Y(j)0–0t015、尺度變換性質(zhì)t01110=2

022=1010.50.5t當>1時時域壓縮,頻域擴展并幅度變小，頻帶變寬(如錄音機快放)當0<

<1時時域擴展,頻域壓縮并幅度變大，頻帶變窄(如錄音機慢放)當

=–1時f(–t)F(–j）幾種運算同時出現(xiàn)的情況t0(1)010(2)t016、對稱性(互易性)（常用）例如(t)?1

1

?2(-)=2()例14：求?[Sa(t)]01t01t01/2–1

10–11時域有限信號頻域無限時域無限信號頻域有限例15：求?-1

[g4()]例16：求?[1/t

]

表3-1傅里葉變換時域與頻域的對稱關(guān)系

時域?頻域連續(xù)信號?非周期非周期信號?連續(xù)譜周期信號?離散譜離散信號?周期性

7、時域卷積性質(zhì)（常用）

對一個系統(tǒng)而言時域卷積頻域相乘例17：求圖所示三角脈沖信號的FT（即傅里葉變換）t01t0t0=*04/4/×04/4/04/4/=8）頻域卷積性質(zhì)（常用）例18：求?-1

[F(j)]0331101110()()22*時域相乘頻域卷積9、時域微分性質(zhì)10、時域積分性質(zhì)說明:若f(t)導數(shù)的頻譜容易求,則可利用積分性質(zhì)求f(t)的頻譜若

f(t)的波形在時間軸上正、負面積相等,則一定有F(0)=0

f

(t)導數(shù)的頻譜f(t)的頻譜例19：求圖所示三角脈沖信號的FT（即傅里葉變換）t01t0t02(a)(b)t01–1(c)t0(2)說明：用(3–131)公式的條件11、頻域微分性質(zhì)12、頻域積分性質(zhì)

例20：求t(t)的FT（即傅里葉變換）傅里葉變換的性質(zhì)要求熟練掌握(常用性質(zhì))13、能量定理(帕斯瓦爾定理)(1)非周期信號能量與頻譜函數(shù)的關(guān)系若0<E<，P=0f(t)為能量