新教材人教a版選擇性必修第二冊(cè)4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2課時(shí)課件

第2課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化

【目標(biāo)認(rèn)知】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能在具體問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,抽象出等比數(shù)列模型,并應(yīng)用該模型解決相關(guān)問題(1)判斷、建立數(shù)列模型①變化“量”是同一個(gè)常數(shù):等差數(shù)列;②變化“率”是同一個(gè)常數(shù):等比數(shù)列.(2)提取基本量從條件中提取相應(yīng)數(shù)列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,(3)根據(jù)要求解的問題,利用公式或列出方程(組)求解.知識(shí)點(diǎn)

解答數(shù)列應(yīng)用問題的方法課前預(yù)習(xí)【診斷分析】

判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)一個(gè)乒乓球從1米高的高度自由落下,反彈后的高度是原來(lái)的60%,求六次著地后的總的行程是一個(gè)等比數(shù)列求和問題.(

)(2)某工廠1月份生產(chǎn)產(chǎn)品10000件,合格率為90%,以后的六個(gè)月內(nèi),每個(gè)月比上月產(chǎn)量增加10%,合格率提高1%,則這七個(gè)月的產(chǎn)量和合格率都構(gòu)成等比數(shù)列.(

)課前預(yù)習(xí)×[解析]第一次著地是單行程,后五次著地是上下雙行程,不構(gòu)成等比數(shù)列.×[解析]各月的產(chǎn)量構(gòu)成等比數(shù)列,合格率構(gòu)成等差數(shù)列.

課前預(yù)習(xí)√

[探索]什么是復(fù)利?復(fù)利計(jì)算屬于哪種數(shù)列模型?探究點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用課中探究解:復(fù)利是指把前一期的本金與利息的和(簡(jiǎn)稱本利和)作為下一期的本金的一種計(jì)算利息的方法.在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額都不同,以符號(hào)P代表最初的本金,n代表存期,r代表利率,Sn代表第n期結(jié)束時(shí)的本利和,那么Sn=P(1+r)n.復(fù)利計(jì)算屬于等比數(shù)列模型.例1(1)某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒,計(jì)劃改建五個(gè)實(shí)驗(yàn)室,每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi).設(shè)備費(fèi)從第一到第五實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列,已知第三實(shí)驗(yàn)室比第一實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高9萬(wàn)元,第五實(shí)驗(yàn)室比第三實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高36萬(wàn)元,則該研究所改建這五個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的設(shè)備費(fèi)用為 (

)A.93萬(wàn)元 B.45萬(wàn)元

C.189萬(wàn)元 D.96萬(wàn)元課中探究

A(2)某家庭打算以一年定期的方式向銀行存款,計(jì)劃從2021年起,每年年初向銀行存入a元,年利率p保持不變,并按復(fù)利計(jì)算,到2031年年初不再存款,直接將所有存款和利息全部取出,共取出多少元?課中探究

變式

某企業(yè)在第1年年初購(gòu)買了一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M,M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少.第2年到第6年,每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬(wàn)元;從第7年開始,每年年初M的價(jià)值為上年年初價(jià)值的75%.(1)求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式;(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求Sn(n≥7).課中探究

[素養(yǎng)小結(jié)]求解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟:(1)認(rèn)真審題,準(zhǔn)確理解題意.①明確問題屬于哪類應(yīng)用問題,即明確是等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題,還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題,是求an,還是求Sn,特別要注意準(zhǔn)確弄清項(xiàng)數(shù)是多少.②明確題目中主要的已知量和關(guān)系.(2)抓住數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量,將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá),將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.(3)求解數(shù)學(xué)問題,檢驗(yàn)所得結(jié)果,并將符合要求的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的結(jié)論.課中探究拓展

據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),2019年年底全國(guó)已開通5G基站13萬(wàn)個(gè),部分省市的政府工作報(bào)告中將“推進(jìn)5G通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點(diǎn)工作,2020年1月份全國(guó)共建5G基站3萬(wàn)個(gè).(1)如果從2020年2月份起,以后的每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)2000個(gè)5G基站,那么,2020年年底全國(guó)共有5G基站多少萬(wàn)個(gè)?(精確到0.1萬(wàn)個(gè))(2)如果2020年新建5G基站60萬(wàn)個(gè),到2022年年底全國(guó)至少需要800萬(wàn)個(gè),并且,今后新建的數(shù)量每年比上一年以等比遞增,問2021年和2022年至少各建多少萬(wàn)個(gè)才能完成計(jì)劃?(精確到1萬(wàn)個(gè))課中探究

拓展

據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),2019年年底全國(guó)已開通5G基站13萬(wàn)個(gè),部分省市的政府工作報(bào)告中將“推進(jìn)5G通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點(diǎn)工作,2020年1月份全國(guó)共建5G基站3萬(wàn)個(gè).(1)如果從2020年2月份起,以后的每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)2000個(gè)5G基站,那么,2020年年底全國(guó)共有5G基站多少萬(wàn)個(gè)?(精確到0.1萬(wàn)個(gè))(2)如果2020年新建5G基站60萬(wàn)個(gè),到2022年年底全國(guó)至少需要800萬(wàn)個(gè),并且,今后新建的數(shù)量每年比上一年以等比遞增,問2021年和2022年至少各建多少萬(wàn)個(gè)才能完成計(jì)劃?(精確到1萬(wàn)個(gè))課中探究

探究點(diǎn)二等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合問題課中探究例2

[2021·北京豐臺(tái)區(qū)高二期末]已知等差數(shù)列{an}滿足a2=4,a3+a4=17.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,再?gòu)蘑賐n+1=2bn,②2bn+1=bn,③bn+1=-bn這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.

探究點(diǎn)二等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合問題課中探究例2

[2021·北京豐臺(tái)區(qū)高二期末]已知等差數(shù)列{an}滿足a2=4,a3+a4=17.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,再?gòu)蘑賐n+1=2bn,②2bn+1=bn,③bn+1=-bn這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.

探究點(diǎn)二等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合問題課中探究例2

[2021·北京豐臺(tái)區(qū)高二期末]已知等差數(shù)列{an}滿足a2=4,a3+a4=17.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,再?gòu)蘑賐n+1=2bn,②2bn+1=bn,③bn+1=-bn這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.

課中探究解:(1)由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),∵a1=1,∴a1+1=2,∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an+1=2n,即an=2n-1.若選①,則當(dāng)n=1時(shí),b1=B1=20,當(dāng)n≥2時(shí),bn=Bn-Bn-1=22-2n,又b1=20滿足上式,∴bn=22-2n.若選②,則由Bn+1-bn=Bn-2得bn+1-bn=-2,又b1=20,∴數(shù)列{bn}是以20為首項(xiàng),-2為公差的等差數(shù)列,∴bn=22-2n.若選③,則bn=22-2log2(an+1)=22-2n.

課中探究

課中探究1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且a1=b1=1,b4=2a4=8,則S5+T5= (

)A.22 B.34 C.46 D.50課堂評(píng)價(jià)C

2.[2021·天津河?xùn)|區(qū)高二期末]已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若a1,S3,S4成等差數(shù)列,則q2-q= (

)A.-1 B.1 C.-2 D.2課堂評(píng)價(jià)B[解析]由a1,S3,S4成等差數(shù)列,得S4-S3=S3-a1,即a4=a2+a3,可得q2-q-1=0,則q2-q=1.故選B.

課堂評(píng)價(jià)C

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載:“一百八十九里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”其大意為:“有一個(gè)人共行走了189里的路程,第一天健步行走,從第二天起,因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天才到達(dá)目的地.”則該人第一天行走的路程為 (

)A.108里

B.96里C.64里

D.48里課堂評(píng)價(jià)B

5.河南洛陽(yáng)的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一,現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn),