2023屆高考專題-平面向量含解析

2023屆高考專題---平面向量

第一講平面向量的柢念及其線性運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有又有—的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或稱模).

(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的，零向量記作.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于一個(gè)單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或的向量；平行向量又叫向量.規(guī)定：0與任一向量.

(5)相等向量：長(zhǎng)度_____且方向的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度______且方向的向量.

知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

4

(1)交換律：

___________法則〃+6=_______:

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

(2)結(jié)合律：

a*(a+b)+c=_________

___________法則

向量。加上向量方的—

XV

叫做。與b的差,

減法a—b=a+(—b)

即a-\-(—b)=a—

______法則

b

⑴模:|洞=圈0|;

(2)方向：

設(shè)九〃是實(shí)數(shù).

當(dāng)2>0時(shí),而與a的方向

實(shí)數(shù)2與向量。的積是一(l)4@=(")a

數(shù)乘相同;

個(gè)向量記作加(2)a+〃)a==〃+7a

當(dāng)2<0時(shí)/a與a的方向

(3)A(a+Z>)=Aa+A*.

相反;

當(dāng)2=0時(shí)，Aa=O

知識(shí)點(diǎn)三共線向量定理

向量a(a#0)與5共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使.

常用結(jié)論：

1.零向量與任何向量共線.

2.與向量。(小0)共線的單位向量瑞.

3.若存在非零實(shí)數(shù)人使得油=慶或前=，病或啟病，則A,B,C三點(diǎn)共線.

4.首尾相連的一組向量的和為0.

5.若尸為AB的中點(diǎn)，則。＞=氐近1+麗.

6.若a、5不共線，且2a=〃方，則2=〃=0.

考點(diǎn)一向量的基本概念

例1（1）（多選題）（2021?臨沂模擬）下列命題中的真命題是（）

A.若⑷=步|,則a=b

B.若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則“矗=虎”是“四邊形ABCO為平行四邊形”的充要條件

C.若°=＞，b—c,則a=c

D.a=6的充要條件是⑷=|臼且a〃b

（2）設(shè)a,力都是非零向量，下列四個(gè)條件，使用含=磊成立的充要條件是（）

A.a=bB.a=2b

C.a〃b且⑷=血D.a〃b且方向相同

跟蹤練習(xí)

1.（2022?南通聯(lián)考）下列命題中正確的是（）

A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合

B.模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量

C.若a和b都是單位向量，則a=b

D.兩個(gè)相等向量的模相等

2.設(shè)a,b為非零向量，則“a〃b”是“a與b方向相同”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2022?日照調(diào)研）若四邊形ABC￡＞滿足茄=］聲且|我|=|萬(wàn)才則四邊形A8CD的形狀是（）

A.等腰梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

4.（2022?宜昌月考）已知a,b是兩個(gè)非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,則下列說法正確的是（）

A.a+b=0

B.a=b

C.a與b共線反向

D.存在正實(shí)數(shù)九使a=2b

5.設(shè)a是非零向量，％是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.a與%a的方向相反B.a與乃a的方向相同

C.|-za|＞|a|D.|-2a|2|力a

6.（多選）給出下列命題，其中假命題為（）

A.向量K的長(zhǎng)度與向量前的長(zhǎng)度相等

B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反

C.C+|b|=|a—b|Oa與b方向相反

D.若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則a+b與a,b之一的方向相同

考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算

角度1向量加、減法的幾何意義

例2設(shè)非零向量a8滿足|o+臼=|a—",則（）

A.a±bB.\a\=\b\

C.a//bD.|a|>|*|

角度2向量的線性運(yùn)算

例3（2022.長(zhǎng)沙模擬）如圖，在梯形中，BC=2AD,DE=EC,設(shè)防=a,BC=b,則牖=（）

115

^-a+-

4B.36

D.

213

^--

32z4

角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)

例4（2021?濟(jì)南模擬）如圖，在平行四邊形ABCZ）中，F(xiàn)是的中點(diǎn)，CE^-2DE,若庠=總+）疝,

跟蹤練習(xí)

1.(2022?青鳥質(zhì)檢)在△ABC中，~BD=-jBC,若其=a,則就=()

2,Lc12

AA.鏟十qbB.qa+qb

1Zr2I1

C.鏟一葩D.Ta-rb

2.（2022?長(zhǎng)春調(diào)研）在△ABC中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M使得BC=2C,M連接4M,點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)且前

=；A點(diǎn)若AR=2A向+〃A，,則％+"=（）

I

A-3

3.（2022?濟(jì)南期中）在△ABC中，AO為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則下流=（）

A.^AB—ACB.~^AC

C.^AB+^ACD.^AB+^AC

4.如圖，在△ABC中，~AN^~NC,尸是BN上的一點(diǎn)，訴=3而'，若方了+,?就，則實(shí)數(shù)

m的值為（）

5.（2022.湖北宜昌一中月考）已知a,、是兩個(gè)非零向量，且|a+b|=|a|+網(wǎng)，則下列說法正確的是（）

A.a+b=0

B.a=b

C.。與?共線反向

D.存在正實(shí)數(shù)人使〃=勸

6.（2021?西安五校聯(lián)考）如圖，A8是圓0的一條直徑，C,O是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則矗=（）

A.AC~AD

B.2AC-2AI）

C.MJ-AC

D.2AD-2AC

7.在△ABC中，AB=2,BC=3,/ABC=60。,AD為BC邊上的高，。為AO的中點(diǎn)，若公=加+"病,

其中心//ER,則等于（）

A.1B.3

8.故2+〃=：+:=,.3.已知正六邊形ABCDEF中，AB+CD+EF=(

A.AFB.BE

C.~CD

9.已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC,若后+司+”=/]■,則點(diǎn)P與aABC的位置

關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在線段AB上

B.點(diǎn)P在線段BC上

C.點(diǎn)P在線段4c上

D.點(diǎn)P在△ABC外部

10.（多選）在平行四邊形ABC。中，。是對(duì)角線AC,8。的交點(diǎn)，N是線段。。的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線

與CD交于點(diǎn)E,則下列說法正確的是（）

A.AN—^AB+^ADB.AN=^ABAD

C.~AO=^AB+^ADD.AE=^AB+~AD

11.（2022?襄陽(yáng)模擬）若I商1=1就'|=|肉一就'|=2,貝商+就'尸.

12.設(shè)向量a,b不平行，向量2a+b與a+2b平行，則實(shí)數(shù)2=.

13.一條河的兩岸平行，河的寬度4=4km,一艘船從岸邊A處出發(fā)到河的正對(duì)岸，已知船的速度

=10km/h,水流速度網(wǎng)=2km/h,那么行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是h_（附：優(yōu)*2.449,

精確到0.01）

14.（2022?蘭州診斷）在直角梯形A3CZ）中，/4=90°,ZB=30°,AB=2小,BC=2,點(diǎn)E在線段8

上，若三市=前+〃瓦濟(jì)，則〃的取值范圍是.

考點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用

例5設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.

（1）若AB=Q+5,BC=2a+8b,CD=3（a—b）f求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

（2）試確定實(shí)數(shù)使攵a+b和。+姑共線.

平面向量共線的判定方法

（I）向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)九使.要注意通常只有非零向量才能表

示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

（2）證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量

共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.

跟蹤練習(xí)

1.（2022?南昌質(zhì)檢）已知a,b是不共線的向量，AB=2a+b,4C=a+〃b（2,〃GR）,若A,B,C三

點(diǎn)共線，則九〃的關(guān)系一定成立的是（）

A.Xfi—1B.勿=-1

C.X--1D.2+4=2

2.已知向量a和b不共線，向量灰=a+〃?b,轉(zhuǎn)=5a+3b,CD=-3a+3b,若A,B,C三點(diǎn)共

線，則m=（）

A.3B.2

C.1D.-2

3.（2022?濟(jì)南模擬）已知向量a,b不共線，且c=癡+兒d=a+（2Al）Z?,若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)

2的值為（）

A.1B.—；

C.1或一；D.—1或一￡

4.已知向量a,b,c中任意兩個(gè)都不共線，并且a+b與c共線，力+c與a共線，那么a+b+c等于（）

A.aB.b

C.cD.0

5.下列命題正確的是（）

A.向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)九使》=%

B.在AABC中，AB+iC+CA=0

C.不等式|同一|臼|忘|4+臼忘|0+|回中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立

D.若向量a,6不共線，則向量a+b與向量a—b必不共線

6.下列敘述正確的是（）

A.若非零向量。與?的方向相同或相反，則a+B與a,b其中之一的方向相同

B.|a|+|b|=|a+例0。與力的方向相同

C.AB+BA^O

D.若2r0,）M=Xb,則a=b

7.（多選）已知A,B,C是同一平面內(nèi)三個(gè)不同的點(diǎn)，OA=a—b,OB=2a—3b,OC=3a—5b,則下

列結(jié)論正確的是（）

A.~AC=2ABB.~AB=~BC

C.~AC=3BCD.A,B,C三點(diǎn)共線

8.（2022?重慶模擬）直線/上有不同的三點(diǎn)A,B,C,。是直線/外一點(diǎn)，對(duì)于向量市=（1—cosa）員

+sinaOC（a是銳角）總成立，貝ija=.

9.（2022?濰坊期中）如圖，在△ABC中，~AE=3EC,。是8E上的大點(diǎn)，若京

-xTfi+|AC,則實(shí)數(shù)x的值為./

10.設(shè)兩向量a與b不共線.

（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3（a—b）.求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

（2）試確定實(shí)數(shù)晨使Aa+b和a+kb共線.

第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

知識(shí)點(diǎn)一平面向量的基本定理、，

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，

入2使“=.

知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)表示

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與的兩個(gè)單位向量i,j作為基底，對(duì)任一向量a,有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)

x,y,使得：a—xi+yj,叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a=（x,y）,顯然i=,j—,

0=.

知識(shí)點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)a=（xi，yi）,b=（X2，＞2），則a+Z＞=,a-b—,Xa—,\a\=yjx]+yi.

（2）向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A（x”》）,B（X2,竺），則初=,\AB\=.

知識(shí)點(diǎn)四向量共線的坐標(biāo)表示

若0=（尤1，yi）,》=（X2，＞2），貝ija%㈡.

考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用

例1(1)在△ABC中，點(diǎn)￡),E分別在邊BC,AC上，且筋=2反，C￡=3EA,若祐=a,AC^b,則

流等于（）

1,5,

A.~ja+~^bB.

一15,D.4+>

C.-千F

(2)已知向量公，病和魂在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若靛'=派+/仄5,則辦=

跟蹤練習(xí)

1.若e”e2是平面a內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面a的一組基底的是()

A.e1—Qi,e2-e1B.ei+e2，e］一e2

C.2e2—3e1，—6e)+4eiD.2e】+e2，ei+ge2

2.在AABC中，。為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上的點(diǎn)，且衣=2/，則方4=()

B.一;AB+^AC

A.5AB—AC

C.3AB-|ACD.~^AB+|AC

3.（2022?汕頭調(diào)研）如圖，平行四邊形A8CZ)中，E是A。的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段3E上，且3F=3FE,記a

=竊，b^~BC,則/=（)

-35,

D.4a-8b

4.(多選)給出以下說法,其中不正確的是()

A.若b=2a(aGR),貝ija〃b

B.若&〃1>,則存在實(shí)數(shù)九使b=2a

C.若a,b是非零向量，C〃WR,那么2a+〃b=002=〃=0

D.平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量都可以作為表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量的一組基底

5.(2022?長(zhǎng)沙模擬)如圖，在正方形A8C。中，E是。C的中點(diǎn)，點(diǎn)/滿足百'=2意，那么際=()

DEC

1—If

D.于8+夢(mèng)。

6-.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,尸分別為邊48,8c的中點(diǎn)，連接CE,DF,交于點(diǎn)G.若友

A-->Z

=XCD+^iCB(2,〃GR),5!iJ-=.

7.已知在△4BC中，點(diǎn)O滿足后+為+女=0,點(diǎn)P是。C上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且赤=機(jī)后+

nOB,則機(jī)+”的取值范圍是.

8.設(shè)ei,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下a,b可作為該平面內(nèi)一組基底的是()

A.a=ei+e2,b=e1

a=2ei+e2,b=zei+1e2

a=ei+e2，b=e1一e2

D.a=ej-2e??/?=-e1+4e2

9已知平面向量a,b,c滿足|a|=|b|=|a—b|=|a+b—c|=l,則|c|的最大值知=，?的最小值機(jī)=

10.如圖，已知在△OCB中，A是CB的中點(diǎn)，。是將為6分成2：1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC

和04交于點(diǎn)E,設(shè)5?=a,

(1)用a和b表示向量友，DC；

(2)若求實(shí)數(shù)2的值.

考點(diǎn)二平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算

例2(1)已知4一2,4),8(3,-1),C(—3,-4).設(shè)矗=a,BC=b,CA^c,且Hf=3c,CN^~2b.

①求3〃十)一3c；

②求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n；

③求M,N的坐標(biāo)及向量加的坐標(biāo).

(2)設(shè)向量“，》滿足⑷=24，*=(2,1),且。與力的方向相反，則a的坐標(biāo)為

跟蹤練習(xí)

1.(2022?天津模擬)已知點(diǎn)A(4,0),3(4,4)((2,6),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與08的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

2.(2022?安徽調(diào)研)在直角坐標(biāo)系宜為中，已知點(diǎn)A(0,l)和點(diǎn)僅一3,4),若點(diǎn)。在NAO8的平分線上，

且|比|=3①，則向量衣的坐標(biāo)為.

3.(2022?太原聯(lián)考)已知向量ei=(l/)，e2=(0,l),若a=ei+/e2與b=—(2e］一3ez)共線，則實(shí)數(shù)2=

4.已知向量a=(2,5),b=(2,4),若8〃1),則2=.

ffcl=2,f^=5,

［解析］因?yàn)閍〃b,所以a=Zb,即(2,5)=&(九4),得《解得〈_

叱5,［T

5.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段A8上一點(diǎn)，且4(1,1),C(2,3),\~BC\=2iAC\,則向量W的坐標(biāo)

是.

6.(2021?海南省文昌中學(xué)模擬)已知a=(l,3),b=(-2,k),且(a+26)〃(3a—①，則實(shí)數(shù).

7.(2021?湖南“三湘教育聯(lián)盟”聯(lián)考)已知向量。=(sin仇1),6=(—sin。,0),c=(cos0,-1),且(2a

-b)//c,貝!1sin2。等于.

8.(2022-鄭州月考)已知向量a=(l-sin。，1),b=&1+sin。)，若a〃b,則銳角(9=.

9.已知向量晶=伏,12),初=(4,5),次=(一女,10),且4,B,C三點(diǎn)共線，則仁.

10.(2022?本溪模擬)已知p：x=-l,q：向量a=(l,x)與b=(x+2,x)共線，則P是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.ZViBC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)向量p=(“+c,b),q=(b-a,c-a).若

p〃q,則角C的大小為()

兀c兀

A-6B-3

C.芻D.專

12.(多選)(2022?珠海模擬)已知向量市=(1,-3),市=(2,-1),OC=(w+l,m~2),若點(diǎn)4,

B,C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)機(jī)可以是()

A.-2B.；

C.1D.-1

13.(2022?綺澤模擬)已知a=(—2,m)，b=(l,2),a〃(2a+b),則實(shí)數(shù)相的值為.

14.(2022?泰安質(zhì)檢)設(shè)向量a=(—3,4)?向量b與向量a方向相反，且|b|=10,則向量b的坐標(biāo)為

15.已知向量a=(l,3),b=(sina,cosa),若@〃人則tan(a+；)=.

16.如圖，四邊形A8CQ為正方形，延長(zhǎng)CO至E,使得。E=CD,￡?’7點(diǎn)「在線段

CO上運(yùn)動(dòng).設(shè)方蘇，則x+y的取值范圍是()\/

A

A.[1,2]B.[1,3]

C.[2,3]D.[2,4]

17.(2022?福州模擬)若｛明?｝是一個(gè)基底,向量丫=xa+)P(x,yWR),則稱(x,y)為向量丫在基底｛a,

0｝下的坐標(biāo),現(xiàn)已知向量a在基底｛p=(l,—1),q=(2,l)｝下的坐標(biāo)為(一2,2),則a在基底｛m=(-1,1),n

=(1,2)｝下的坐標(biāo)為.

18.(2022?遼寧月考)已知A(—2,4),B(3,-1),C(—3,-4).設(shè)需=a,~BC=b,~CA=cf且前=

3c,~CN=-2b.

⑴求3a+b—3c；

(2)求滿足a=/〃b+〃c的實(shí)數(shù)m,n；

(3)求M,N的坐標(biāo)及向量而近的坐標(biāo).

第三講平面向量的數(shù)量積

知識(shí)點(diǎn)一向量的夾角

兩個(gè)非零向量Q與從過。點(diǎn)作后=a,OB^b,則叫做向量a與6的夾角；范圍是

a與b的夾角為時(shí)，則。與》垂直，記作

知識(shí)點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量。與從它們的夾角為仇則數(shù)量同步IcosJ叫做a與匕的數(shù)量積(或內(nèi)積),

記作a力，即。必=,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0u=0.

(2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度間與力在a的方向上的投影版|cos0的乘積.

知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

(1)設(shè)向量a=(xi，yi),b=(X2,yi),，為向量a,。的夾角.

①數(shù)量積：aZ>=|a||Z>|cos0=

②模：|a|=V^=

③設(shè)A（xi，yi）,8（必>2），則A，B兩點(diǎn)間的距離|A8|=|油尸以（汨一改產(chǎn)+⑴一”產(chǎn)

工武2+)1)：2

④夾角：cos9=

?4+揖々后+貨

⑤已知兩非零向量。與A,〃J_bOa"=0<=>；a//b<=>a-b=±\a\\b\.^\a-b\=\a\-\b\）.

⑥|a創(chuàng)W|a||加（當(dāng)且僅當(dāng)a//b時(shí)等號(hào)成立）臺(tái)|為12+曠,2式1后+才々言+貫.

⑵平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①。力="a（交換律）.

②2a?5=4（a/）=a?（勸）（結(jié)合律）

③（a+A>c=a?c+5?c（分配律）.

考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

例1（1）已知向量4，也，同=1,62=（1,5），ei,62的夾角為60。，貝Ij?+e2>e2=（）

A3^5班

A-5B,5

C.5D.y[5

（2）已知點(diǎn)A,B,C滿足|矗|=3,|%|=4,|CA|=5,則靠?說'+反'-N+以?而的值是.

考點(diǎn)二向量的模、夾角

例2（1）（2021.四川雙流中學(xué)月考）若平面向量a、b的夾角為60。，且。=（1,一?。?，\b\=3,則12a—加

的值為（

A.13B.V37

C.V13

（2）（2022.黃岡調(diào)研）已知平面向量”?，"的夾角為方，且網(wǎng)=小，|川=2,在△4BC中，AB=2m+2n,

AC=2m~（）n,。為8C的中點(diǎn)，貝小病|=.

角度2向量的夾角

例3（1）（2021?新高考八省聯(lián)考）已知單位向量。，〃滿足=0,若向量，=巾。+啦近則sin<a,e>

=()

(2)(2020?全國(guó)III理，6)已知向量a,?滿足|a|=5,|b|=6,ab=-6,則cos〈a,a+h)=()

角度3平面向量的垂直

例4（1）（2020?全國(guó)III,5）已知單位向量a,b的夾角為60。，則在下列向量中，與分垂直的是（）

A.a~\-2bB.2a+b

C.a—2bD.2a-b

（2）（2022?安徽宣城調(diào)研）已知在△A8C中，/A=120。，且AB=3,AC=4,若亦=癡+啟，且崩_L病,

則實(shí)數(shù)人的值為（）

22c10

A?15B.—

-12

C.6D.—

跟蹤練習(xí)

1.在△ABC中，BC=5,AC=8,C=60。，則就的值為（）

A.20B.-20

C.2MD.-2O>/3

2.（多選）（必修第二冊(cè)21頁(yè)例11改編）設(shè)a,b,c是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）

A.0a=0B.ab=bc,則a=c

C.ab=0.a_LbD.(a+b)-(a—b)=|a|2—|b|2

3.在Rt/XABC中，ZABC=60°,/54C=90°,則向量竊在向量就上的投影向量為（）

A.^BCB.坐就

C.~^BCD.-^~BC

4.(多選)設(shè)向量a=(2,0),b=(l,l),則()

A.|a|=|b|B.(a—b)〃b

C.(a—b).LbD.a與b的夾角為:

5.（2020?新高考T卷）己知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)（不包括邊界）的一點(diǎn)，則方79的取

值范圍是（）

A.(—2,6)B.(-6,2)

C.(一2,4)D.(-4,6)

6.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中.D為線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，DELAB且交AB與點(diǎn)E,DF//AB交

AC于點(diǎn)凡則|2錠+/|的值為；（萬(wàn)聲+五""的最小值為.

7.已知向量a,力滿足a?S+a）=2,且a=（l,2）,則向量在。方向上的投影為（）

A或

A，5B.T

Jc5

8.（2021?貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè)考試）在△ABC中，\AB+AC\^\AB-AC\,AB=2,AC=\,E,尸為BC的

三等分點(diǎn)，則AEAF=()

B.y

8

c26-

9D.9

.9.(多選X2022?常州一模)己知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.若啟+3同+2/=0,則點(diǎn)P在△ABC的中位線上

B.若宣+同+不？=0,則尸為△A8C的重心

C.若其?就＞0,則△A8C為銳角三角形

D.若方=179+|就，則△A8C與△A8P的面積比為3：2

10.(2020?全國(guó)II,13)已知單位向量①。的夾角為45。，履一人與a垂直，則氏=.

11.(2021.山西康杰中學(xué)五校期中)已知向量a、b滿足向=2|a|=2,a與b的夾角為120。,則|a—2加=()

A.回B.y/21

C.13D.21

12.(2021?江西七校聯(lián)考)己知向量a=(l,木)，b=(3,m),且)在a上的投影為一3,則向量a與。的

夾角為.

13.(2017.全國(guó)卷II)已知aABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則萬(wàn)?(而+的的最

小值是()

3

-

A.-2B.-2

C.—qD.—1

14.(2020?全國(guó)新高考I,7)已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形A3CQ"內(nèi)的一點(diǎn)，則亦?贏的取值范圍是

()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(—2,4)D.(—4,6)

15.向量a=(l,2),b=(x,l).若(a+b)_L(a—b),則x=()

A.—2B.±^2C.±2D.2

16.(2022?淄博三模)已知向量a,b滿足|a|=|b|=|a—b|=l,則|2a+b|=()

A.3B.小

C.7D.市

17.(2022?襄陽(yáng)期中)在水流速度10km/h的自西向東的河中，如果要使船以km/h的速度從河的

南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小為()

A.北偏西30°,20km/h

B.北偏西60°,10^/2km/h

C.北偏東30°,10^2km/h

D.北偏東60°,20km/h

18.(2022?金陵月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知向量市與蘇關(guān)于y軸對(duì)稱，向量a=(l,0),則

滿足不等式市2+a溫'W0的點(diǎn)A(x,y)構(gòu)成的集合用陰影表示為()

19.(多選)(2022?膝州模擬)設(shè)a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中的真命

題是()

A.(ab)c—(c-a)b=0

B.|a|—|b|<|a—b|

C.(bc)a—(ac)b不與c垂直

D.(3a+2b)?(3a-2b)=9|a|2-4|bF

20.(多選)(2022?青鳥質(zhì)檢)已知平面向量a=(l,2),b=(—21)，c=(2,r),下列說法正確的是()

A.若(a+b)〃c,則r=6

2

B.若(a+b)_Lc,則/=1

4

C.右r=l,貝ijcos<a,c)=弓

D.|a+c|<3

21.在四邊形ABC。中，7C=(3,-I),而=(2,m),'AC1~BD,則該四邊形的面積是.

22.已知向量a,b,其中|a|=S，|b|=2,且(a—b)J_a,則向量a和b的夾角是,a-(a+b)

JT

23.(2022?淮安模擬)已知平行四邊形ABC。中，AB=3,AD=4,ABAD=y平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)E,滿足|EQ|

=2|EQ,則(而一市)?友'的取值范圍為.

24.(2022?天津?！鰯M)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(l,0)和點(diǎn)仇一1,0),|員|=1,且/AOC

=仇其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

BOA?

(1)若。=干，設(shè)點(diǎn)。為線段04上的動(dòng)點(diǎn)，求|友+彷|的最小值:

⑵若0,W，向量m=就，n=(l—cosd,sin。-2cos(9),求mn的最小值及對(duì)應(yīng)的。值.

25.(多選)引入平面向量之間的一種新運(yùn)算"?”如下：對(duì)任意的向量m=(xi，yi),n=(X2,”)，規(guī)定

m?n=xiX2-則對(duì)于任意的向量a,b,c,下列說法正確的有()

A.agb=b?aB.(za)?b=A(a?b)

C.a(b?c)=(a?b)-cD.|a||b121a砒)|

26.(2022?本溪模擬)騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是

某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A(前輪)，圓。(后輪)的半徑均為小，/XABE,/XBEC,/XECD

均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)尸為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，方1?定的最大值為

()

C.4小D.4

27.(2022?珠海模擬)已知平面向量a=(小，小)，則與a夾角為45。的一個(gè)非零向量b的坐標(biāo)可以為

.(寫出滿足條件的一個(gè)向量即可)

28.在梯形ABCO中，AB//CD,ZA=90°,AB=2CD=3,AD=2,若EF在線段A8上運(yùn)動(dòng)，且EF

=1,則建的最小值為.

29.如圖所示，在矩形A8C。中，AB=2,AD=\,分別將邊BC與。C等分成8份，并將等分點(diǎn)自下

而上依次記作昂，&,…，Ei，自左到右依次記作Fi，&，…，F(xiàn)i,滿足次?而W2(其中i,jeN*FWi,

/W7)的有序數(shù)對(duì)(i,力共有對(duì).

DF[%F3-F7

30.已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線I：x=8,P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ±l,垂足為Q,且

(JC+^PQy(^PC-^PQ^=0.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若E尸為圓M1)2=1的任一條直徑，求隹?不？的最值.

2023高考專題——平面向量(解析版)

第一講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模).

(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量記作。

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于L個(gè)單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量:平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向量平行.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

(1)交換律：

三角形法則。+卜==+。;

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

(2)結(jié)合律：

a*(a+b)+c=a+(b+c)

平行四邊形法則

向量a加上向量占的相反XV

減法向量叫做Q與〉的差,即a—5=a+(一辦)

a+(一5)=〃一/>三角形法則

⑴模：|Aa|=|A||?|；

(2)方向：

設(shè)九〃是實(shí)數(shù).

當(dāng)2>0時(shí),而與a的方向

實(shí)數(shù)義與向量。的積是一(])X(ua)=Qu)a

數(shù)乘相同;

個(gè)向量記作相

當(dāng)2<0時(shí),觴與a的方向

(3)〃a+b)=Za+卜方.

相反;

當(dāng)2=0時(shí)，za=O

知識(shí)點(diǎn)三共線向量定理

向量與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯---個(gè)實(shí)數(shù)九使b=：.a.

常用結(jié)論：

1.零向量與任何向量共線.

2.與向量a(aWO)共線的單位向量端.

3.若存在非零實(shí)數(shù)人使得疝?或油=反?或病=4病，則A,B,C三點(diǎn)共線.

4.首尾相連的一組向量的和為0.

5.若P為AB的中點(diǎn)，則橋=/而+麗.

6.若。、?不共線，且癡=〃b,則7=〃=0.

考點(diǎn)一向量的基本概念

例1（1）（多選題）（2021?臨沂模擬）下列命題中的真命題是（BC）

A.若⑷=|臼，則a=6

B.若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，