中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章方程組與不等式組一元二次方程試卷部分課件

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章方程組與不等式組一元二次方程試卷部分課件考點(diǎn)二根的判別式、根與系數(shù)之間的關(guān)系1.(2018山西,4,3分)下列一元二次方程中,實(shí)數(shù)根的是

()A.x2-2x=0

B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0

D.3x2=5x-2答案

C

因?yàn)棣?(-2)2=4>0,所以A選項(xiàng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;因?yàn)棣?42+4=20>0,所以B選項(xiàng)

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;因?yàn)棣?(-4)2-4×2×3=-8<0,所以C選項(xiàng)沒(méi)有實(shí)數(shù)根;D整理得3x2-5x+2=0,

因?yàn)棣?(-5)2-4×3×2=1>0,所以D選項(xiàng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選C.2.(2018云南昆明,8,4分)關(guān)于x的一元二次方程x2-2

x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()A.m<3

B.m>3

C.m≤3

D.m≥3答案

A由題意知Δ=b2-4ac=12-4m>0,解得m<3,故選A.3.(2017江西,5,3分)已知一元二次方程2x2-5x+1=0的兩個(gè)根為x1,x2,下列結(jié)論正確的是

()A.x1+x2=-

B.x1·x2=1

C.x1,x2都是有理數(shù)

D.x1,x2都是正數(shù)答案

D根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=

>0,x1x2=

>0,則x1>0,x2>0,故選D.4.(2017上海,2,4分)下列方程中,沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是

()A.x2-2x=0

B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0

D.x2-2x+2=0答案

D

A項(xiàng),Δ=(-2)2-4×1×0=4>0;B項(xiàng),Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0;C項(xiàng),Δ=(-2)2-4×1×1=0;D項(xiàng),Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D項(xiàng)中的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,故選D.思路分析對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2-4ac,當(dāng)Δ≥0時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ<

0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根,所以應(yīng)先算出各選項(xiàng)中方程的判別式,再進(jìn)行判斷.5.(2017新疆,7,5分)已知關(guān)于x的方程x2+x-a=0的一個(gè)根為2,則另一個(gè)根是

()A.-3

B.-2

C.3

D.6答案

A設(shè)方程的另一個(gè)根為b,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+b=-1,解得b=-3,即方程的另一

個(gè)根是-3.故選A.6.(2017四川綿陽(yáng),7,3分)關(guān)于x的方程2x2+mx+n=0的兩個(gè)根是-2和1,則nm的值為

()A.-8

B.8

C.16

D.-16答案

C由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得,

解得m=2,n=-4,故nm=(-4)2=16,故選C.7.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1,x2,則

-4x1+2x1x2的值為

.答案2解析∵一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1、x2,∴

-4x1=-2,x1x2=2,∴

-4x1+2x1x2=-2+2×2=2.8.(2017四川成都,22,4分)已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且

-

=10,則a=

.答案

解析因?yàn)閤1,x2為方程x2-5x+a=0的兩實(shí)根,所以x1+x2=5,又

-

=10,所以x1-x2=2,解得x1=

,x2=

,所以a=x1·x2=

.9.(2015江西南昌,11,3分)已知一元二次方程x2-4x-3=0的兩根為m,n,則m2-mn+n2=

.答案25解析因?yàn)榉匠蘹2-4x-3=0的兩根為m,n,所以m+n=4,mn=-3,所以m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=42+9=25.評(píng)析

本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式的變形,屬容易題.10.(2018四川成都,16,6分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求a

的取值范圍.解析

由題意可知Δ=(2a+1)2-4a2=4a2+4a+1-4a2=4a+1.∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴4a+1>0,∴a>-

.11.(2017湖北黃岡,17,6分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,當(dāng)k=1時(shí),求

+

的值.解析

(1)∵方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=(2k+1)2-4k2=4k+1>0,

(2分)解得k>-

,∴k的取值范圍是k>-

.

(3分)(2)當(dāng)k=1時(shí),方程①為x2+3x+1=0.由根與系數(shù)的關(guān)系可得

(4分)∴

+

=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×1=9-2=7.

(6分)12.(2016四川南充,20,8分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0有實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍;(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,且2x1x2+x1+x2≥20,求m的取值范圍.解析

(1)∵方程x2-6x+(2m+1)=0有實(shí)數(shù)根,∴Δ=(-6)2-4(2m+1)≥0,

(2分)化簡(jiǎn),得32-8m≥0,解不等式,得m≤4.

(4分)(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=6,x1x2=2m+1.

(5分)∵2x1x2+x1+x2≥20,∴2(2m+1)+6≥20.

(6分)解不等式,得m≥3.

(7分)由(1)得m≤4,∴m的取值范圍是3≤m≤4.

(8分)易錯(cuò)警示本題的第(2)問(wèn)很容易漏掉m≤4而丟分.1.(2018新疆烏魯木齊,9,4分)賓館有50間房供游客居住.當(dāng)每間房每天定價(jià)為180元時(shí),賓館會(huì)

住滿;當(dāng)每間房每天的定價(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對(duì)居住的

每間房每天支出20元的費(fèi)用.當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí),賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為10890元?設(shè)房?jī)r(jià)定為x

元,則有

(

)A.(180+x-20)

=10890B.(x-20)

=10890C.x

-50×20=10890D.(x+180)

-50×20=10890考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用答案

B當(dāng)房?jī)r(jià)定為x元時(shí),空閑的房間有

個(gè),所以有游客居住的房間有

個(gè),則賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為

(x-20)元,故B正確.2.(2017甘肅蘭州,10,4分)王叔叔從市場(chǎng)上買了一塊長(zhǎng)80cm,寬70cm的矩形鐵皮,準(zhǔn)備制作一

個(gè)工具箱.如圖,他將矩形鐵皮的四個(gè)角各剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的正方形后,剩余的部分剛好能

圍成一個(gè)底面積為3000cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體工具箱.根據(jù)題意可列方程為

(

)

A.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4x2-(70+80)x=3000答案

C長(zhǎng)方體工具箱的底面是一個(gè)長(zhǎng)為(80-2x)cm,寬為(70-2x)cm的矩形,由題意可得方程

(80-2x)(70-2x)=3000.3.(2018遼寧沈陽(yáng),21,8分)某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬(wàn)元,由于改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù),生產(chǎn)成

本逐月下降,3月份的生產(chǎn)成本是361萬(wàn)元.假設(shè)該公司2、3、4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都

相同.(1)求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率;(2)請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本.解析

(1)設(shè)該公司每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x,根據(jù)題意,得400(1-x)2=361,解得x1=

=5%,x2=

=1.95,∵1.95>1,∴x2=1.95不合題意,舍去.答:每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%.(2)361×(1-5%)=342.95(萬(wàn)元).答:預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬(wàn)元.4.(2017重慶A卷,23,10分)某地大力發(fā)展經(jīng)濟(jì)作物,其中果樹(shù)種植已初具規(guī)模,今年受氣候、雨

水等因素的影響,櫻桃較去年有小幅度的減產(chǎn),而枇杷有所增產(chǎn).(1)該地某果農(nóng)今年收獲櫻桃和枇杷共400千克,其中枇杷的產(chǎn)量不超過(guò)櫻桃產(chǎn)量的7倍,求該果

農(nóng)今年收獲櫻桃至少多少千克;(2)該果農(nóng)把今年收獲的櫻桃、枇杷兩種水果的一部分運(yùn)往市場(chǎng)銷售.該果農(nóng)去年櫻桃的市場(chǎng)

銷售量為100千克,銷售均價(jià)為30元/千克,今年櫻桃的市場(chǎng)銷售量比去年減少了m%,銷售均價(jià)

與去年相同;該果農(nóng)去年枇杷的市場(chǎng)銷售量為200千克,銷售均價(jià)為20元/千克,今年枇杷的市場(chǎng)

銷售量比去年增加了2m%,但銷售均價(jià)比去年減少了m%.該果農(nóng)今年運(yùn)往市場(chǎng)銷售的這部分

櫻桃和枇杷的銷售總金額與他去年櫻桃和枇杷的市場(chǎng)銷售總金額相同,求m的值.解析

(1)設(shè)該果農(nóng)今年收獲櫻桃x千克.根據(jù)題意,得400-x≤7x,解這個(gè)不等式,得x≥50.答:該果農(nóng)今年收獲櫻桃至少50千克.(2)根據(jù)題意,得100(1-m%)×30+200(1+2m%)×20(1-m%)=100×30+200×20,令m%=y,原方程可化為3000(1-y)+4000(1+2y)(1-y)=7000.整理這個(gè)方程,得8y2-y=0,解這個(gè)方程,得y1=0,y2=0.125,∴m%=0(舍去)或m%=0.125,∴m=12.5.答:m的值是12.5.教師專用題組考點(diǎn)一一元二次方程及其解法1.(2016遼寧沈陽(yáng),8,2分)一元二次方程x2-4x=12的根是

()A.x1=2,x2=-6

B.x1=-2,x2=6C.x1=-2,x2=-6

D.x1=2,x2=6答案

B原方程配方得x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,故x-2=±4,∴x1=-2,x2=6,故選B.2.(2015甘肅蘭州,16,4分)若一元二次方程ax2-bx-2015=0有一根為x=-1,則a+b=

.答案2015解析將x=-1代入方程得a+b-2015=0,則a+b=2015.3.(2015山東聊城,13,3分)一元二次方程x2-2x=0的解是

.答案

x1=0,x2=2(注:寫(xiě)成0,2同樣得分)解析

x2-2x=0,x(x-2)=0,x=0或x-2=0,所以x1=0,x2=2.4.(2014河北,21,10分)嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式時(shí),對(duì)

于b2-4ac>0的情況,她是這樣做的:

(1)嘉淇的解法從第

步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤;事實(shí)上,當(dāng)b2-4ac>0時(shí),方程ax2+bx+c=0(a≠0)的

求根公式是

;(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.解析

(1)四;

(2分)x=

.

(4分)(2)由x2-2x-24=0,得x2-2x=24,進(jìn)而x2-2x+1=24+1,即(x-1)2=25,

(8分)故x-1=±5,∴x1=6,x2=-4.

(10分)考點(diǎn)二根的判別式、根與系數(shù)之間的關(guān)系1.(2018內(nèi)蒙古包頭,9,3分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,m為正整數(shù),

且該方程的根都是整數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)m的和為

()A.6

B.5

C.4

D.3答案

B∵關(guān)于x的方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=4-4(m-2)≥0,∴m≤3.∵m為正整數(shù),∴m=1或2或3.當(dāng)m=1時(shí),方程x2+2x-1=0的兩根不是整數(shù),不滿足題意.當(dāng)m=2或3時(shí),滿足題意,2+3=5.故選B.2.(2017甘肅蘭州,6,4分)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)m的取

值范圍為

()A.m>

B.m>

C.m=

D.m=

答案

C因?yàn)橐辉畏匠?x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m=

,故選C.3.(2017內(nèi)蒙古包頭,8,3分)若關(guān)于x的不等式x-

<1的解集為x<1,則關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情況是

()A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根

D.無(wú)法確定答案

C解不等式得x<

+1,根據(jù)題意得

+1=1,解得a=0,所以方程可化為x2+1=0,所以Δ=-4<0,所以一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.4.(2017河南,6,3分)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情況是()A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根答案

B

Δ=(-5)2-4×2×(-2)=25+16=41>0,所以該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故選B.5.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,10,3分)已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,則(m-1)2+(n-1)2的最小值是

()A.6

B.3

C.-3

D.0答案

A由題意知m,n可看作一元二次方程x2-2ax+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以m+n=2a,mn=2.則(m-1)2+(n-1)2=m2+n2-2(m+n)+2=(m+n)2-2(mn+m+n)+2=4a2-4a-2=4

-3.因?yàn)閍≥2,所以當(dāng)a=2時(shí),4

-3有最小值,為6,即(m-1)2+(n-1)2的最小值是6.故選A.6.(2014廣東,8,3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值

范圍是

()A.m>

B.m<

C.m=

D.m<-

答案

B∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴(-3)2-4m>0,∴m<

.故選B.7.(2014江蘇蘇州,7,3分)下列關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的是()A.x2-x+1=0

B.x2+x+1=0C.(x-1)(x+2)=0

D.(x-1)2+1=0答案

C選項(xiàng)A、B中,根的判別式Δ都小于零,故不符合題意;選項(xiàng)D可化為(x-1)2=-1,易知方

程無(wú)實(shí)數(shù)根;選項(xiàng)C的根為x1=1,x2=-2,故選C.8.(2018吉林,10,3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值為

.答案-1解析∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=4+4m=0,解得m=-1.9.(2016湖南長(zhǎng)沙,14,3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是

.答案

m>-4解析∵一元二次方程x2-4x-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ>0,即b2-4ac=(-4)2-4×1·(-m)=16+4

m>0,解得m>-4.10.(2016江蘇南京,12,2分)設(shè)x1,x2是方程x2-4x+m=0的兩個(gè)根,且x1+x2-x1x2=1,則x1+x2=

,m

=

.答案4;3解析根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=4,x1x2=m,∵x1+x2-x1x2=1,∴4-m=1,∴m=3.12.(2015內(nèi)蒙古包頭,15,3分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+

x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是

.11.(2015江蘇南京,12,2分)已知方程x2+mx+3=0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是

,m的

值是

.答案3;-4解析設(shè)方程的另一個(gè)根為x1,則x1·1=3,即x1=3,則-m=1+3,解得m=-4.答案

k≥1解析由題意知Δ=(

)2-4×1×(-1)=k-1+4=k+3>0,∴k>-3.又∵k-1≥0,即k≥1,∴k≥1.13.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,23,7分)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,

x2,請(qǐng)你用配方法探索有實(shí)數(shù)根的條件,并推導(dǎo)出求根公式,證明x1·x2=

.解析∵ax2+bx+c=0(a≠0),∴x2+

x=-

,∴x2+

x+

=-

+

,∴

=

,∵4a2>0,∴當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根.∴x+

=±

.當(dāng)b2-4ac>0時(shí),x1=

,x2=

,x1·x2=

=

=

=

;當(dāng)b2-4ac=0時(shí),x1=x2=-

,x1·x2=

=

=

=

.綜上,證得x1·x2=

.14.(2018北京,20,5分)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)當(dāng)b=a+2時(shí),利用根的判別式判斷方程根的情況;(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,寫(xiě)出一組滿足條件的a,b的值,并求此時(shí)方程的根.解析(1)依題意,得Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0.故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)由題意可知,a≠0,Δ=b2-4a=0.答案不唯一,如:當(dāng)b=2,a=1時(shí),方程為x2+2x+1=0,∴(x+1)2=0,∴x1=x2=-1.15.(2015河南,19,9分)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.(1)求證:對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)若方程的一個(gè)根是1,求m的值及方程的另一個(gè)根.解析

(1)證明:原方程可化為x2-5x+6-|m|=0.

(1分)∴Δ=(-5)2-4×1×(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|.

(3分)∵|m|≥0,∴1+4|m|>0.∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(4分)(2)把x=1代入原方程,得|m|=2,∴m=±2.

(6分)把|m|=2代入原方程,得x2-5x+4=0,∴x1=1,x2=4.∴m的值為±2,方程的另一個(gè)根是4.

(9分)考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用1.(2017安徽,8,4分)一種藥品原價(jià)每盒25元,經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒16元.設(shè)兩次降價(jià)的百分率都

為x,則x滿足

()A.16(1+2x)=25

B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25

D.25(1-x)2=16答案

D第一次降價(jià)后的單價(jià)為25(1-x)元,第二次降價(jià)后的單價(jià)為25(1-x)2元,∴25(1-x)2=16,

故選D.2.(2015甘肅蘭州,11,4分)股票每天的漲、跌幅均不能超過(guò)10%,即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后,便不能

再漲,叫做漲停;當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后兩天

時(shí)間又漲回到原價(jià),若這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x,則x滿足的方程是

()A.(1+x)2=

B.(1+x)2=

C.1+2x=

D.1+2x=

答案

B設(shè)原價(jià)為1,則某天跌停后是0.9,根據(jù)題意可列方程為0.9(1+x)2=1,即(1+x)2=

,故選B.3.(2018重慶,23,10分)在美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中,某縣通過(guò)政府投入進(jìn)行村級(jí)道路硬化和道路拓寬改

造.(1)原計(jì)劃今年1至5月,村級(jí)道路硬化和道路拓寬的里程數(shù)共50千米,其中道路硬化的里程數(shù)至

少是道路拓寬的里程數(shù)的4倍,那么,原計(jì)劃今年1至5月,道路硬化的里程數(shù)至少是多少千米?(2)到今年5月底,道路硬化和道路拓寬的里程數(shù)剛好按原計(jì)劃完成,且道路硬化的里程數(shù)正好

是原計(jì)劃的最小值.2017年通過(guò)政府投入780萬(wàn)元進(jìn)行村級(jí)道路硬化和道路拓寬的里程數(shù)共45

千米,每千米的道路硬化和道路拓寬的經(jīng)費(fèi)之比為1∶2,且里程數(shù)之比為2∶1.為加快美麗鄉(xiāng)村

建設(shè),政府決定加大投入.經(jīng)測(cè)算:從今年6月起至年底,如果政府投入經(jīng)費(fèi)在2017年的基礎(chǔ)上增

加10a%(a>0),并全部用于道路硬化和道路拓寬,而每千米道路硬化、道路拓寬的費(fèi)用也在201

7年的基礎(chǔ)上分別增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓寬的里程數(shù)將會(huì)在今年1至5月的基礎(chǔ)

上分別增加5a%,8a%,求a的值.解析

(1)設(shè)今年1至5月道路硬化的里程數(shù)為x千米,根據(jù)題意,得x≥4(50-x).

(2分)解得x≥40.答:今年1至5月道路硬化的里程數(shù)至少為40千米.

(4分)(2)因?yàn)?017年道路硬化與道路拓寬的里程數(shù)共45千米,它們的里程數(shù)之比為2∶1,所以,道路

硬化的里程數(shù)為30千米,道路拓寬的里程數(shù)為15千米.設(shè)2017年道路硬化每千米的經(jīng)費(fèi)為y萬(wàn)元,則道路拓寬每千米的經(jīng)費(fèi)為2y萬(wàn)元.由題意,得30y+15×2y=780,解得y=13.所以,2017年每千米道路硬化的經(jīng)費(fèi)為13萬(wàn)元,每千米道路拓寬的經(jīng)費(fèi)為26萬(wàn)元.

(5分)根據(jù)題意,得13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%).

(8分)令a%=t,原方程可化為:520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t).整理得10t2-t=0.解得t1=0,t2=0.1.∴a%=0(舍去)或a%=0.1.∴a=10.答:a的值是10.

(10分)4.(2014遼寧沈陽(yáng),21,10分)某公司今年銷售一種產(chǎn)品,1月份獲得利潤(rùn)20萬(wàn)元,由于產(chǎn)品暢銷,利

潤(rùn)逐月增加,3月份的利潤(rùn)比2月份的利潤(rùn)增加4.8萬(wàn)元,假設(shè)該產(chǎn)品利潤(rùn)每月的增長(zhǎng)率相同,求

這個(gè)增長(zhǎng)率.解析設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為x.依題意得20(1+x)2-20(1+x)=4.8,解得x1=0.2,x2=-1.2(不合題意,舍去).0.2=20%.答:這個(gè)增長(zhǎng)率為20%.5.(2014重慶,23,10分)為豐富居民業(yè)余生活,某居民區(qū)組建籌委會(huì),該籌委會(huì)動(dòng)員居民自愿集資

建立一個(gè)書(shū)刊閱覽室.經(jīng)預(yù)算,一共需要籌資30000元,其中一部分用于購(gòu)買書(shū)桌、書(shū)架等設(shè)施,

另一部分用于購(gòu)買書(shū)刊.(1)籌委會(huì)計(jì)劃,購(gòu)買書(shū)刊的資金不少于購(gòu)買書(shū)桌、書(shū)架等設(shè)施資金的3倍,問(wèn)最多用多少資金

購(gòu)買書(shū)桌、書(shū)架等設(shè)施?(2)經(jīng)初步統(tǒng)計(jì),有200戶居民自愿參與集資,那么平均每戶需集資150元.鎮(zhèn)政府了解情況后,贈(zèng)

送了一批閱覽室設(shè)施和書(shū)籍,這樣,只需參與戶共集資20000元.經(jīng)籌委會(huì)進(jìn)一步宣傳,自愿參與

的戶數(shù)在200戶的基礎(chǔ)上增加了a%(其中a>0),則每戶平均集資的資金在150元的基礎(chǔ)上減少了

a%,求a的值.解析(1)設(shè)用于購(gòu)買書(shū)桌、書(shū)架等設(shè)施的資金為x元,由題意,得30000-x≥3x,

(3分)解得x≤7500.答:最多用7500元資金購(gòu)買書(shū)桌、書(shū)架等設(shè)施.

(5分)(2)由題意,得200(1+a%)·150

=20000.

(8分)設(shè)x=a%,則3(1+x)

=2,整理得,10x2+x-3=0,解得x1=-0.6(舍),x2=0.5,

(9分)∴a%=0.5,∴a=50.

(10分)A組2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一一元二次方程及其解法三年模擬1.(2018天津紅橋一模,7)若2x2+1與4x2-2x-5的值互為相反數(shù),則x的值是

()A.-1或

B.1或-

C.1或-

D.1或

答案

B∵2x2+1與4x2-2x-5的值互為相反數(shù),∴2x2+1+4x2-2x-5=0,∴3x2-x-2=0,即(x-1)(3x+2)=

0,解得x1=1,x2=-

.故選B.2.(2017天津紅橋,1)方程2x2-6x-5=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為

()A.6、2、5

B.2、-6、5C.2、-6、-5

D.-2、6、5答案

C方程2x2-6x-5=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為2、-6、-5.故選C.3.(2016陜西咸陽(yáng),5)方程x2-5x=0的解是

()A.x1=x2=5

B.x1=x2=0C.x1=0,x2=5

D.x1=-5,x2=0答案

C原方程可化為x(x-5)=0,所以x=0或x-5=0,解得x1=0,x2=5,故選C.4.(2016甘肅蘭州,16)已知方程x2-x=3有一個(gè)根為m,則m2-m+2013的值為

.答案2016解析∵方程x2-x=3有一個(gè)根為m,∴m2-m=3,∴m2-m+2013=3+2013=2016.5.(2018天津和平質(zhì)檢,19)解方程:(x-3)(x-2)-4=0.解析方程化為x2-5x+2=0,∴a=1,b=-5,c=2.∵Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×2=17>0,∴x=

=

=

,即x1=

,x2=

.6.(2016四川涼山州,18)解下列方程:(1)2x2-3x-2=0;(2)x(2x+3)-2x-3=0.解析(1)2x2-3x-2=0,即(2x+1)(x-2)=0,所以2x+1=0或x-2=0,所以x1=-

,x2=2.(2)x(2x+3)-(2x+3)=0,即(2x+3)(x-1)=0,所以2x+3=0或x-1=0,所以x1=-

,x2=1.考點(diǎn)二根的判別式、根與系數(shù)之間的關(guān)系1.(2018遼寧鞍山鐵西3月模擬,6)若關(guān)于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則k的取值范圍是()A.k<1且k≠0

B.k≠0C.k<1

D.k>1答案

A∵kx2-6x+9=0為一元二次方程,∴k≠0,∵關(guān)于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ>0,即(-6)2-4×9k>0,解得k<1,∴k<1且k≠0.故選A.2.(2018云南曲靖羅平一模,6)若方程x2-3x-4=0的兩根分別為x1和x2,則

+

的值是

()A.1

B.2

C.-

D.-

答案

C依題意得x1+x2=3,x1·x2=-4,所以

+

=

=

=-

.故選C.3.(2017貴州黔東南州,14)如果關(guān)于x的方程x2-2x+k=0(k為常數(shù))有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么k

的取值范圍是

.答案

k<1解析因?yàn)榉匠蘹2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ>0,即(-2)2-4×1×k=4-4k>0,解得k<1.考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用1.(2017貴州黔東南州,13)某種品牌的手機(jī)經(jīng)過(guò)四、五月份連續(xù)兩次降價(jià),每部售價(jià)由1000元

降到了810元,則平均每月降價(jià)的百分率為

.答案10%解析設(shè)平均每月降價(jià)的百分率為x,依題意得1000(1-x)2=810,化簡(jiǎn)得(1-x)2=0.81,解得x1=0.1,x2=-1.9(舍).所以平均每月降價(jià)的百分率為10%.2.(2018湖北襄陽(yáng)棗陽(yáng)模擬,22)已知某種商品平均每天可銷售30件,每件盈利50元.為了盡快減

少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件商品每降價(jià)1元,則平均每天可多售出

2件.設(shè)每件商品降價(jià)x元.據(jù)此規(guī)律,請(qǐng)回答:(1)該商品的日銷售量增加

件,每件商品盈利

元(用含x的代數(shù)式表示);(2)在上述條件不變、銷售正常的情況下,每件商品降價(jià)多少元時(shí),銷售該商品的日盈利可達(dá)到

2100元?解析

(1)由“每件商品每降價(jià)1元,則平均每天可多售出2件”知,每件商品降價(jià)x元,則日銷售

量增加2x件,每件商品盈利(50-x)元,故答案為2x;50-x.(2)由題意得(50-x)(30+2x)=2100(0≤x<50),化簡(jiǎn)得x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0,解得x1=15,x2=20.∵為了盡快減少該商品的庫(kù)存,∴日銷售量應(yīng)盡量高一些,∴x=20.答:每件商品降價(jià)20元時(shí),銷售該商品的日盈利可達(dá)到2100元.一、選擇題(每小題3分,共9分)B組2016—2018年模擬·提升題組(時(shí)間:40分鐘分值:55分)1.(2018天津河?xùn)|一模,8)方程x2-2x=3可以化簡(jiǎn)為

()A.(x-3)(x+1)=0

B.(x+3)(x-1)=0C.(x-1)2=2

D.(x-1)2+4=0答案

A由x2-2x=3得,x2-2x-3=0,則(x-3)(x+1)=0,故選A.2.(2017云南曲靖,7)若方程x2-4x-1=0的兩根分別是x1,x2,則

+

的值為

()A.6

B.-6

C.18

D.-18答案

C∵方程x2-4x-1=0的兩根分別是x1,x2,∴x1+x2=4,x1·x2=-1,∴

+

=(x1+x2)2-2x1·x2=42-2×(-1)=18.思路分析根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=4,x1·x2=-1,將

+

變形為(x1+x2)2-2x1·x2,代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)果.解題技巧掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)注意完全平方公式變形的應(yīng)用.3.(2016遼寧撫順,5)關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是

(

)A.m≤3

B.m<3C.m<3且m≠2

D.m≤3且m≠2答案

D∵關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根,∴m-2≠0,且Δ≥0,即m≠2,且22-4

×(m-2)×1≥0,解得m≤3且m≠2,∴m的取值范圍是m≤3且m≠2.故選D.易錯(cuò)警示該方程是一元二次方程,所以m-2≠0,即m≠2.拓廣探索關(guān)于x的方程(m-2)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.解析:當(dāng)m≠2時(shí),方程是一元二次方程,解法同上.當(dāng)m=2時(shí),方程是一元一次方程,方程為2x+1=0,解得x=-

,符合題意.綜上所述,m的取值范圍為m≤3.二、填空題(每小題3分,共6分)4.(2018貴州黔南州一模,15)若關(guān)于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根,則a滿足

.答案

a≥1解析

(1)當(dāng)a-5=0,即a=5時(shí),方程變?yōu)?4x-1=0,此時(shí)方程一定有實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)a-5≠0,即a≠5時(shí),該方程為關(guān)于x的一元二次方程,∵關(guān)于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根,∴16+4(a-5)≥0,解得a≥1,∴a≥1,且a≠5.綜上,a≥1.5.(2016江西宜春高安,11)已知α、β是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根,且滿足

+

=-1,則m的值是

.答案3解析∵α、β是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴α+β=-2m-3,α·β=m2,∴

+

=

=

=-1,∴m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1.∵一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=(2m+3