二次函數(shù)綜合題中“最大值”規(guī)律探究 論文

二次函數(shù)綜合題中“最大值”規(guī)律探究摘要：二次函數(shù)綜合題中經常涉及“最大值”問題，從線段的最大值到三角形、四邊形面積的最大值等。此篇論文通過對代表題型的解答、研究、探索、猜想，從線段的最大值到面積的最大值，使用化歸和轉化思想將其轉化為統(tǒng)一類型，并從一般情況將其進行證明，從而得出此類問題的一般規(guī)律。關鍵詞：拋物線，線段、面積、最大值。引言：二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合題中涉及線段最大值和面積最大值的問題是初中數(shù)學中常見一類題型，文章對此類問題進行歸類總結和證明，使學生掌握此類題型的規(guī)律和探究方法。為教師教學指明方向，幫助學生跳出題海，事半功倍。一、例題呈現(xiàn)例題1.二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象經過點A（-4,3）和點B（2,0）。（1）求a、b的值； （2）點P是直線AB下方拋物線上的一點，過點P作X軸的垂線交直線AB于點C，求線段PC的最大值及此時點P的坐標。解答過程：（1）將A（-4,3）和點B（2,0）坐標代入二次函數(shù)y=ax2+bx-3得：ì

í

?16a-4b-3=3，解得：ì??í?a1=2；4a+2b-3=0b=1??2（2）由（1）知二次函數(shù)解析式為：y=1x2 1+x-3，設經過點A和B的22一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，將A（-4,3）和點B（2,0）代入可得1ì-4k+=3，解得ì?í

??1k=-2，所以經過點A、B直線的解析式為：y=-1x+1í

?2k+=02b=1。如圖1，設P（m,1m2 1+2m-3），則C（m,-1m+1），從而22PC=yc-y=-1m+-(1m2 1+2m-3)=-1m2-m+4=-1(m+1)2 9+2，p2222y=1x2 1+2x-32因為-1

2<0拋物線開口向下，所以當m=-1時，線段PC有最大值9

將m=-1代入P（2m,1m2 1+2m-3），可得此時點Py=-1x+12的坐標為P(-1，-3)。2例題2.已知拋物線y=-1x2+bx+c圖1經過點A（1,3）、B（0,1），過點A作x2軸的平行線交拋物線與另一點C。（1）求拋物線的表達式；（2）點M是第一象限中BC上方拋物線上的一個動點，過點M作MH⊥BC于點H，求MH的最大值及此時點M的坐標。解答過程：（1）將A（1,3）和點B（0,1）坐標代入二次函數(shù)y=-1x2+bx+c得：2ì-?í??c1++=3ì?í??b5

=22，解得：=1c=1所以拋物線的表達式為：y=-1x2 5+x+1；222（2）如圖2，作MD⊥x軸，交BC于點E，則MH=MEsin∠MEH，而ME∥y軸，∠MEH等于y軸正方向與BC的夾角，此夾角為定值，其正弦為定值并可求，利用等角轉化及三角函數(shù)定25 25義易得sin∠MEH= ，所以MH= ME.所5 5y=-

1x2+5x+32 2以當ME最大時MH最大，即轉化為例題1中的第（2）問內容，具體解答過圖2程不再贅述。例題3.已知拋物線y=-x2+bx+c與直線相較于點A（1,0）、B（-2,3）兩點。（1）求拋物線的表達式；（2）若點P是拋物線上位于直線AB上方的一個動點，求△APB面積的最大值及此時點P的坐標。解答過程（1）將A（1,0）和點B（-2,3）坐標代入二次函數(shù)y=-x2+bx+c得：ì-++=0í-? 4-2b+=3，解得：ìí?b=-2c=3所以拋物線的表達式為：y=-x2-2x+3；（2）利用一次函數(shù)待定系數(shù)法，結合A（1,0）、B（-2,3），易得直線AB解析式為：y=-x+1，接下來可以有以下兩個思路：方法一：如圖3，過點P作PC⊥AB，垂足為點C，則S=1ABPC，由A和B為定點，得AB得長為定值，VAPB2y=-x+1所以當PC最大時，△APB面積最大，此時轉化為例題2第（2）問中的問題，具體解答過程不再贅述。圖3y=-x2-2+33方法二：如圖4，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，交AB于點E，則S=S+S=1PE×x-|，由點A和By=-x+1VAPBVPBE|VPAE2AB圖4y=-x2-2+3是定點，得xA-xB|為定值3，所以當PE最大時，△APB面積最大，此時轉化為例題1第（2）問中的問題，具體解答過程不再贅述。二、例題總結以上三個例題中所求問題均是在二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象相交問題中涉及線段和三角形面積最大值問題，最終都是轉化為線段得最大值問題，屬于同類問題的不同呈現(xiàn)形式，通過轉化大致歸納為此種類型：拋物線（二次函數(shù)圖象）與直線（一次函數(shù)圖象）交于兩點，此時位于直線的一側（靠近拋物線頂點）有一動點，過動點向x軸作垂線與x軸相交，求交點與動點之間線段的最大值。三、問題思考解決此類問題雖有一般方法，即通過設動點的橫坐標，將動點的縱坐標用橫坐標來表示，再將線段長度用上下兩點縱坐標的差表示出來，得到關于橫坐標對應字母的二次函數(shù)，再通過求二次函數(shù)最值的方法

得以解決，但整個過程較為繁瑣。對于此類問題能

否有一般規(guī)律可循呢？這樣對于解決選擇、填空題

可以直接使用，解答題可以檢驗答案的正確性。y=kx+n(k10)一般情形：如圖5，當拋物線y=ax2+bx+c<0)（不妨設a<0）與直線y=kx+nk10)交于點圖5y=ax2+bx+c(aAxy1 1)和Bx2,y2)，點P是位于線段AB上方拋物線上一個動點，求當△APB面積取得最大值時點P的坐標。四、問題解決4經過對大量此類題型的分析和對一般情形的探究，發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：當點P位于線段AB中點正上方（即x=x1+x2時，△p2APB面積最大（或點P到直線距離最大）。證明如下：如圖6，過點P作PC⊥x軸，垂足y=kx+n(k10)為點C，交AB于點D，由前面分析可知：當PD最大時，△APB的面積取得最大值，設P（mam2+bm+c），+-n，圖6y=ax2+bx+c(a<0)則D（mkm+n），此時PD=yP-yD=am2+(b-km∵a<0，拋物線開口向下，∴當m=-b-k時，PD取得最大值。+nk2a10)交于點另外，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kxAxy1 1)和Bx2,y2)，∴方程ax2+bx+=kx+n的解為xx1 2，化簡得：ax2+(b-kx+-n=0，根據根與系數(shù)關系可得：x+x2=-(b-k)，x1+x2=-b-k=m，1a22a即當m=x1+x2時，PD最大，此時△APB的面積取得最大值。2∴當點P位于線段AB中點正上方（即x=x1+x2）時，△APB面積最大。p2五、結束語在二次函數(shù)綜合題的訓練和復習中同類題型會以不同的形式反復呈現(xiàn)，但仔細探究往往又是有規(guī)律可循。教師在教學過程中需要通過對具體題型進行歸納總5結，引導學生找到解決問題的通法，引導學生學會思考，提高復習效率，體驗成功解決數(shù)學問題的快樂與喜悅。參考文獻： 【1