山東省淄博市沂源縣悅莊第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山東省淄博市沂源縣悅莊第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.方程lgx﹣sinx=0根的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【分析】由方程lgx﹣sinx=0得lgx=sinx，然后分別作出函數(shù)y=lgx和y=sinx的圖象，即可判斷方程根的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵lgx﹣sinx=0，∴l(xiāng)gx=sinx，然后分別作出函數(shù)y=lgx和y=sinx的圖象，如圖：∵lg10=1，∴由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)有3個(gè)，即方程lgx﹣sinx=0根的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：C．2.設(shè)全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，則B∪?UA等于(

)A．{3} B．{2，3} C．? D．{0，1，2，3}參考答案：B【考點(diǎn)】全集及其運(yùn)算；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】集合思想；綜合法；集合．【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后進(jìn)行補(bǔ)集、并集的運(yùn)算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；∴?UA={3}；∴B∪?UA={2，3}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查描述法和列舉法表示集合，以及全集的概念，補(bǔ)集、并集的運(yùn)算．3.設(shè)圓的方程為，直線的方程為

()，圓被直線截得的弦長(zhǎng)等于

(

)(A)

(B)

(C)

(D)與有關(guān)參考答案：A4.已知f(x)=log2x+2,x?[1,4],則函數(shù)F(x)=[f(x)]2+f(x2)+3的最大值為(

)(A)13

(B)16

(C)25

(D)22參考答案：B5.已知f（x）=3（[x]+3）2﹣2，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.1]=3，則f（﹣3.5）=（）A．﹣2 B．﹣ C．1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】根據(jù)[x]的定義求出[﹣3.5]的值，代入解析式求解．【解答】解：根據(jù)題意得，[﹣3.5]=﹣4，則f（﹣3.5）=3（[﹣3.5]+3）2﹣2=3﹣2=1，故選C．6.有五條線段長(zhǎng)度分別為，從這條線段中任取條，則所取條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B7.（5分）下列說法正確的是（） A． 冪函數(shù)的圖象恒過（0，0）點(diǎn) B． 指數(shù)函數(shù)的圖象恒過（1，0）點(diǎn) C． 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象恒在y軸右側(cè) D． 冪函數(shù)的圖象恒在x軸上方參考答案：C考點(diǎn)： 冪函數(shù)的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)結(jié)論依次進(jìn)行分析判斷，能求出結(jié)果．解答： 冪函數(shù)y=xa中，當(dāng)a＜0時(shí)，它的圖象不過（0，0）點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；指數(shù)函數(shù)的圖象恒過（0，1）點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象恒在y軸右側(cè)，故C正確；冪函數(shù)y=xa中，當(dāng)a=1時(shí)，y∈R，故D錯(cuò)誤．故選：C．點(diǎn)評(píng)： 判斷一個(gè)命題為真命題時(shí)，要給出嚴(yán)格的證明；判斷一個(gè)命題為假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)反例即可．8.已知等差數(shù)列{an}，，則公差d=（

）A.－2 B.－1 C.1 D.2參考答案：C【分析】利用通項(xiàng)得到關(guān)于公差d的方程，解方程即得解.【詳解】由題得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D試題分析：當(dāng)時(shí),與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不合題設(shè),故應(yīng)排除A,C；當(dāng)時(shí),與函數(shù)沒有交點(diǎn),故應(yīng)排除B,故應(yīng)選D.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】逐一驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)和思想方法之一,也高考命題的重考查的重要考點(diǎn).本題以含絕對(duì)值符號(hào)的指數(shù)函數(shù)的解析式滿足的方程有兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根為背景,考查的是解方程的能力及分類整合思想的靈活運(yùn)用.求解時(shí)要充分運(yùn)用逐一驗(yàn)證法對(duì)題設(shè)中所提供的四個(gè)選擇支進(jìn)行篩選判斷,最后使得問題獲解.10.一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，，，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．6 D．參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】設(shè)出長(zhǎng)方體的三度，利用面積公式求出三度，然后求出對(duì)角線的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方體三度為x，y，z，則．三式相乘得．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直三棱柱中的每一個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，如果,,,那么、兩點(diǎn)間的球面距離是

參考答案：

12.已知向量，,,且、、三點(diǎn)共線，則=_________參考答案：略13.對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，例如，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是

______(填題號(hào))①函數(shù)的最大值為1；②函數(shù)的最小值為0；③函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)是增函數(shù)參考答案：(2)(3)略14.若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則

.參考答案：15.一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是一個(gè)的圓，尺寸如圖，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為

．參考答案：16.（5分）若上的投影為

．參考答案：考點(diǎn)： 向量的投影；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．專題： 計(jì)算題．分析： 先求出，然后求出得兩向量的數(shù)量積，再求得向量的模，代入公式求解．解答： ∵∴在方向上的投影為=﹣=﹣=﹣．故答案為：點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．17.下列四個(gè)命題：（1）函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，時(shí)也是增函數(shù)，所以是增函數(shù)；（2）若函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)，則且；（3）的遞增區(qū)間為；（4）和表示相同函數(shù).（5）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根其中正確的命題是

.參考答案：（5）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.過點(diǎn)P（1，4）作圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．（Ⅰ）求PA和PB的長(zhǎng)，并求出切線方程；（Ⅱ）求直線AB的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】綜合題；分類討論；綜合法；直線與圓．【分析】（Ⅰ）求出PC，利用勾股定理求PA和PB的長(zhǎng)，分類討論求出切線方程；（Ⅱ）求出以P（1，4）、C（2，1）為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）PC==∴PA=PB==3

斜率不存在時(shí)，切線方程：x﹣1=0，斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y﹣4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+4=0，圓心到直線的距離d==1，∴k=﹣∴切線方程為4x+3y﹣16=0，綜上所述，切線方程為4x+3y﹣16=0或x﹣1=0；（Ⅱ）以P（1，4）、C（2，1）為直徑的圓的方程為（x﹣1.5）2+（y﹣2.5）2=2.5，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程為x﹣3y+2=0【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及圓和圓的位置關(guān)系、圓的切線性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．（1）求證：PA∥平面BDF；（2）求證：PC⊥BD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，利用三角形的中位線性質(zhì)可得OF∥PA，從而證明PA∥平面BDF．（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，依據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，從而證得BD⊥平面PAC，進(jìn)而PC⊥BD．【解答】證明：（1）連接AC，BD與AC交于點(diǎn)O，連接OF．∵ABCD是菱形，∴O是AC的中點(diǎn)．∵點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，∴OF∥PA．∵OF?平面BDF，PA?平面BDF，∴PA∥平面BDF．（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC．又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC．又∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD20.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是與的等比中項(xiàng).（1）求；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和．參考答案：（1）即當(dāng)時(shí)，，∴，（2）由（1）當(dāng)時(shí)，∴即∵

∴∴數(shù)列是等差數(shù)列（3）由（2），即為①為奇數(shù)，則，②為偶數(shù)，則，21.（本題滿分14分）已知函數(shù)（1）求的最大值和最小值；

（2）求證：對(duì)任意，總有；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)C的取值范圍.參考答案：解：（1）圖象的對(duì)稱軸為………..1分在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)…………………2分………4分……………….6分（2）對(duì)任意，總有，即…………………….9分（3）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，函數(shù)在上有零點(diǎn)時(shí)，則

即………………..12分解得