數(shù)字電子技術張瑜慧

數(shù)字電子技術課件張瑜慧第1頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六本章內(nèi)容3.1離散傅里葉變換的定義及物理意義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應用舉例第2頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六引言DFT是重要的變換1、分析有限長序列的有用工具，在信號處理的理論上有重要意義。2、有相應的快速算法（快速傅里葉變換FFT)可在計算機上實現(xiàn)其算法。3、在運算方法上起核心作用，卷積、相關、譜分析都可以通過轉(zhuǎn)換成DFT在計算機上實現(xiàn)。第3頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六DFT要解決兩個問題： 一是頻譜的離散化； 二是算法的快速計算(FFT)。這兩個問題都是為了使計算機能夠?qū)崟r處理信號。引言第4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六時域周期化→頻域離散化時域離散化→頻域周期化離散連續(xù)周期性非周期性引言第5頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六序列的傅里葉變換離散時間、連續(xù)頻率的傅立葉變換（序列的傅立葉變換）x(n)-1012t

時域離散、非周期頻域連續(xù)、周期連續(xù)：不適合計算機處理第6頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六由DTFT到DFT離散時間、離散頻率的傅立葉變換（DFT）由上述分析可知，對DTFT，要想在頻域上離散化，那么在時域上必須作周期延拓。對長度為M的有限長序列x(n)，以N為周期延拓（N≥M）。

注意：離散傅里葉變換（DFT）只對有限長序列作周期延拓或周期序列成立。第7頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六…………第8頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六3.1離散傅里葉變換的定義及物理意義一、DFT的定義設x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為第9頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)第10頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六例1、已知，分別求8和16點DFT解：頻率采樣點數(shù)不同，DFT的長度不同，DFT的結果也不同。第11頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六

1、求模（余數(shù)）運算如果整數(shù)則稱n1是n對N的模（余數(shù)），記作：或n模N等于n175二、DFT的隱含周期性第12頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六2、有限長序列x(n)和周期序列的關系周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列。或二、DFT的隱含周期性第13頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六如：nN-1x(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。二、DFT的隱含周期性第14頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。3、頻域周期序列與有限長序列X(k)的關系二、DFT的隱含周期性第15頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六這里的周期延拓僅看作數(shù)學處理方法，或者說借助時域周期延拓實現(xiàn)有限長序列頻譜的離散化。在DFT中，有限長序列都是作為周期序列的一個周期來表示的，總是隱含周期性。二、DFT的隱含周期性第16頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六

若x(n)是一個有限長序列，長度為N即

三、DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關系

比較Z變換與DFT，我們看到，當時第17頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六DFT與Z變換的關系所以X(k)也就是對X(z)在Z平面單位圓上N點等間隔采樣值。第18頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六DFT與序列傅里葉變換的關系

若x(n)是一個有限長序列，長度為N第19頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的N點等間隔采樣，其采樣間隔為ωN=2π/NDFT與序列傅里葉變換的關系第20頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六3.2DFT的基本性質(zhì)一、線性1、如果兩序列都是N點的有限長序列時，且有

則有：2.和的長度N1和N2不等時，怎辦？

選擇為變換長度,短者進行補零達到N點。第21頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六二、循環(huán)移位性質(zhì)1、序列的循環(huán)移位（圓周移位）定義：一個有限長序列的圓周移位定義為

第22頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六n0N-1n0周期延拓N-1循環(huán)移位第23頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六循環(huán)移位第24頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六2、循環(huán)移位的含義（1）主值區(qū)間:n=0～N-1；

（3）如果把x(n)首尾排列(n=0~N-1)在一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于x(n)在圓上旋轉(zhuǎn)，故又稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到的就是周期序列

（2）當某序列值從此區(qū)間一端移出時，與它相同的序列值又從此區(qū)間的另一端移進來;循環(huán)移位第25頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六時域圓周移位的性質(zhì)3、時域圓周移位的性質(zhì)第26頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六頻域圓周移位的性質(zhì)4、頻域圓周移位的性質(zhì)（調(diào)制特性）

或：

時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。第27頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六1、兩個有限長序列的循環(huán)卷積設序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點循環(huán)卷積定義為其中L為循環(huán)卷積區(qū)間長度，L≥max(N，M)表示方法:或三、循環(huán)卷積定理L*第28頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六2、循環(huán)卷積的計算方法——矩陣相乘x(n)序列:{x(0),x(1),x(2)…,x(L－1)}x(n)的循環(huán)倒相序列：令n=0,m=0,1,…,L-1，x((n-m))L形成的序列為

循環(huán)卷積的計算方法第29頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六令n=1,m=0,1,…,L-1，x((n-m))L形成的序列為該序列相當于x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移1位。再令n=2,m=0,1,…,L－1，此時得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。依次類推，當n和m均從0變化到L-1時，得到一個關于x((n－m))L的矩陣如下：

循環(huán)卷積的計算方法第30頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六循環(huán)卷積矩陣：循環(huán)卷積的計算方法第31頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六說明：1、如果x(n)或h(n)的長度小于L，則需要在序列末尾補0，使序列長度為L。2、循環(huán)卷積滿足交換律。循環(huán)卷積的計算方法第32頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六

例2、計算下面給出的兩個長度為4的序列h(n)與x(n)的4點和8點循環(huán)卷積。解:h(n)與x(n)的4點循環(huán)卷積矩陣形式為循環(huán)卷積的計算方法第33頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六h(n)與x(n)的8點循環(huán)卷積矩陣形式為循環(huán)卷積的計算方法第34頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六三、循環(huán)卷積定理2、時域循環(huán)卷積定理設和為長度分別為N1和N2的有限長序列，N≥max（N1,N2）且，則N第35頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六3、頻域循環(huán)卷積定理設和均為長度分別為N1和N2的有限長序列，N≥max（N1,N2）且，則三、循環(huán)卷積定理N第36頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六例3、一個有限長序列為

（1）計算序列x(n)的10點離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為式中，X(k)是x(n)的10點離散傅里葉變換，求序列y(n)。（3）若10點序列y(n)的10點離散傅里葉變換是式中,X(k)是序列x(n)的10點DFT，W(k)是序列w(n)的10點DFT求序列y(n)

綜合例題第37頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六

（2）X(k)乘以WNkm相當于是x(n)循環(huán)移位m點。本題中m=-2,x(n)向左循環(huán)移位了2點，則y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)

（3）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n)的循環(huán)卷積。結果為｛3,3,1,1,1,3,3,2,2,2｝

綜合例題第38頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六四、復共軛序列的DFT證明：第39頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六五、DFT的共軛對稱性序列的傅里葉變換的共軛對稱性，其對稱性是關于坐標原點的對稱性。共軛對稱：共軛反對稱：在DFT中，涉及的序列x(n)及其離散傅里葉變換X(k)均為有限長序列，且定義區(qū)間為0到N－1，所以，這里的對稱性是指關于N/2點的對稱性。第40頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六1．有限長共軛對稱序列2．有限長共軛反對稱序列五、DFT的共軛對稱性第41頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六3、任意有限長序列都可以表示成一個共軛對稱分量和一個共軛反對稱分量之和，即五、DFT的共軛對稱性第42頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六同理，對于頻域函數(shù)X(k)也可以表示成一個共軛對稱分量和一個共軛反對稱分量之和，即五、DFT的共軛對稱性第43頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六4、DFT的共軛對稱性有限長序列實部的DFT等于序列DFT的共軛對稱分量；有限長序列虛部乘j后的DFT等于序列DFT的共軛反對稱分量。（1）將序列分成實部和虛部的形式五、DFT的共軛對稱性第44頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六（2）將序列表示成共軛對稱分量和共軛反對稱分量有限長序列共軛對稱分量的DFT等于序列DFT的實部；有限長序列共軛反對稱分量的DFT等于序列DFT的虛部乘j。五、DFT的共軛對稱性第45頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六實際中經(jīng)常需要對實序列進行DFT，利用上述對稱性質(zhì)，可減少DFT的運算量，提高運算效率。（1）若x(n)是實序列，則X(k)只有共軛對稱分量，即滿足X(k)=X*(N-k)k=0,1,…,N-1（2）若x(n)是純虛序列，則X(k)只有共軛反對稱分量，即滿足X(k)=-X*(N-k)k=0,1,…,N-15、其他共軛對稱性五、DFT的共軛對稱性第46頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六(3)如果x(n)是實偶序列，即x(n)=x(N－n)，則X(k)是實偶對稱，即

X(k)=X(N－k)

(4)如果x(n)是實奇序列，即x(n)=－x(N－n)，則X(k)純虛奇對稱，即

X(k)=－X(N－k)五、DFT的共軛對稱性第47頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六例4、利用DFT的共軛對稱性，設計一種高效算法，通過計算一個N點DFT，就可以計算出兩個實序列x1(n)和x2(n)的N點DFT。解：構造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，對x(n)進行DFT，得到：五、DFT的共軛對稱性第48頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六所以，由X(k)可以求得兩個實序列x1(n)和x2(n)的N點DFT：五、DFT的共軛對稱性第49頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六3.3頻率域采樣頻域采樣定理：如果序列x(n)的長度為M，則只有當頻域采樣點數(shù)N≥M時，才有即可由頻域采樣X(k)恢復原序列x(n)，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。第50頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六3.4DFT的應用舉例一、循環(huán)卷積的DFT計算方法

第51頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六用DFT計算循環(huán)卷積的原理框圖3.4DFT的應用舉例第52頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六二、線性卷積與循環(huán)卷積的關系

1、線性卷積

它們線性卷積為下面推理線性卷積的非零值范圍。第53頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六

的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:下面兩個有限長序列的線性卷積非零值區(qū)間為n=0～5，非零值為[1,2,3,3,2,1]。1012n1012n3線性卷積與循環(huán)卷積的關系第54頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六2、用圓周卷積計算線性卷積圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列取主值序列。先將2個序列都補零成L點的序列，然后再對它們進行周期延拓，即線性卷積與循環(huán)卷積的關系第55頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六線性卷積與循環(huán)卷積的關系第56頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六

由于有個非零值,所以周期L必須滿足:

又由于循環(huán)卷積是周期卷積的主值序列，所以循環(huán)卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列，即：循環(huán)卷積為線性卷積的周期延拓，其周期為L。線性卷積與循環(huán)卷積的關系第57頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六已知x1(n)={1,1,1,1}，x2(n)={1,1,1,1,1}，求x1(n)*x2(n),并分別求x1(n)與x2(n)的6點、8點及10點循環(huán)卷積。線性卷積與循環(huán)卷積的關系第58頁，共64頁，2023年，2月20日，星期六課堂練習1、已知y(n)=x(n)*h(n)，x(n)和h(n)的長度分別為M和N。x(n)和h(n)的