思維及其數(shù)學(xué)思維

思維及其數(shù)學(xué)思維第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六普通心理學(xué):意識是心理學(xué)理論中的根本問題,思維是人的意識活動的產(chǎn)物,它是人腦對客觀物質(zhì)世界的能動反映,它和語言一起成為意識的核心.第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六思維發(fā)展心理學(xué):

思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)和事物內(nèi)在規(guī)律性關(guān)系的概括和間接的反映.第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)代神經(jīng)生理學(xué):大腦二個半球基本上是以不同的方式進行思維,左腦負(fù)責(zé)語言和邏輯思維,右腦形象思維.第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué):思維是一個通過感知記憶的信息進行提取、整合、分解、比較、選擇等一系列的加工改造而得出新信息的過程.第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六思維的分類1.按思維抽象性分類:直觀行動思維、具體形象思維、抽象邏輯思維.第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六直觀行動思維(感知運動思維或動作思維):具體形象思維:以具體表象為材料的思維.抽象邏輯思維:

以概念為材料的思維,主要以概念、判斷和推理的形式表現(xiàn)出來.又分為形式邏輯思維和辯證邏輯思維.第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六2.按思維結(jié)果劃分:再現(xiàn)性思維----運用原有的知識經(jīng)驗,按現(xiàn)成的方法去解決類似的問題的思維.

創(chuàng)造性思維----進行創(chuàng)造性活動時的思維,如科學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、技術(shù)革新、藝術(shù)創(chuàng)造等.第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六按思維的結(jié)果分類:

聚合思維----從已知信息中產(chǎn)生邏輯結(jié)論,從現(xiàn)成資料中尋求正確答案的一種有方向、有范圍、有條理的思維方式.又稱為收斂思維、集中思維、求同思維、輻合思維.

發(fā)散思維----從已知信息中產(chǎn)生大量的、獨特的新信息的一種沿不同方向、在不同范圍、不因循傳統(tǒng)的思維方式.又稱為求異思維、輻射思維.第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六按主體意識分類直覺思維----是指人腦基于有限的數(shù)據(jù)和事實,調(diào)動一切已有的知識經(jīng)驗，對客觀事物的本質(zhì)及其規(guī)律性聯(lián)系進行迅速的識別、敏銳的觀察、直接的理解和整體的判斷的思維過程.分析思維----是指遵循嚴(yán)密的邏輯規(guī)則,通過逐步推理得到符合邏輯的正確答案或結(jié)論的思維方法.又稱為邏輯思維.第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)思維及其思維方法數(shù)學(xué)物象----現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系以及反映出來的結(jié)構(gòu)和模型.數(shù)學(xué)思維----以數(shù)學(xué)物象為思維對象,以數(shù)學(xué)語言符號為思維載體,并以認(rèn)識和揭示數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維.第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)思維過程中,受到的刺激有二類:一類是數(shù)學(xué)概念的刺激另一類是圖形或圖式的刺激當(dāng)處于概念時的思維稱為數(shù)學(xué)邏輯思維;當(dāng)處于圖形(式)時的思維稱為數(shù)學(xué)形象思維。第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)思維的品質(zhì):思維的廣闊性思維的深刻性思維的靈活性思維的獨創(chuàng)性思維的批判性第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)思維的品質(zhì):1.思維的廣闊性

表現(xiàn)為思路開闊,善于從不同角度、不同層次對問題進行全面的觀察和思考.例1求證:

Cn1+2Cn2+……+nCnn=n·2n－1第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六證法一:設(shè)

Sn=Cn1+2Cn2+……+nCnn

則Sn=nCnn+……+2Cn2+

Cn1,于是Sn=n(Cn1+Cn2+……+Cnn)=n·2n故結(jié)論成立.第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六證法二:注意到KCnK=nCn-1K-1,所以有

Cn1+2Cn2+……+nCnn=nCn-10+nCn-11+……+n

Cn-1n-1,=n(Cn-10+Cn-11+……+Cn-1n-1)=n·2n-1證法三:用數(shù)學(xué)歸納法證明.第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六證法四:因為(1+x)n=Cn1+Cn2x

+……+Cnnxn,所以對兩邊取導(dǎo)數(shù),得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x

+……+nCnnxn-1,取x=1即可.第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六2.思維的深刻性思維的深刻性即思維的深度,它反映著分辨事物本質(zhì)的能力.表現(xiàn)為:善于洞察數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性及其相互關(guān)系;善于從所研究的材料中揭示隱藏的特殊情況，發(fā)現(xiàn)有價值的東西;能辯證地思考.第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例求函數(shù)y=1－6sinx－2cos2x的最大(小)值.誤解:因為－1≤sinx≤1,且0≤cos2x≤1,所以－6≤－6sinx≤6且－2≤－2cos2x≤0,所以－7≤1－6sinx－2cos2x≤7,所以最大值為7,最小值為－7.第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六3.思維的靈活性思維的靈活性是指思維的靈活程度,主要表現(xiàn)為善于擺脫已有模式的束縛,及時由一條思路轉(zhuǎn)向另一條思路。思維靈活的人善于從錯誤思路中退出來并及時轉(zhuǎn)向,關(guān)于聯(lián)想,關(guān)于類比,關(guān)于逆向思考,如逆用定義、公式，善于將問題簡約化歸等.第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例已知x,y,z為三個互不相等的實數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路1:解方程組求出x，y，z，但注意到，三個未知數(shù)，只有兩個獨立方程,方程的解不唯一,此路不通.第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例已知x,y,z為三個互不相等的實數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路2:由x＋1/y=y＋1/z得xyz=y2z＋y－z,由y＋1/z=z＋1/x得xyz=z2x＋z－x，于是x2y2z2=(y2z＋y－z)(z2x＋z－x)，但化簡不出1.放棄.第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例已知x,y,z為三個互不相等的實數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路3:據(jù)處理比例的經(jīng)驗，設(shè)x＋1/y=

y＋1/z=z＋1/x=k，則xy=ky－1，yz=kz－1，zx=kx－1，于是x2y2z2=(ky－1)(kz－1)(kx－1)，但右邊化簡不出1.此路不通.第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例已知x,y,z為三個互不相等的實數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路4:注意到x，y，z間的輪換，進行減元類比:設(shè)x,y為二個互不相等的實數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/x，求證:x2y2=1。由x＋1/y=

y＋1/x得xy(x－y)=(y－x)，∵x≠y，∴xy=－1，∴x2y2=1。第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例已知x,y,z為三個互不相等的實數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路4:類似地，x＋1/y=y＋1/zyz(x－y)=y－zy＋1/z=z＋1/xzx(y－z)=z－xx＋1/y=z＋1/xxy(z－x)=x－y三式相乘，得x2y2z2(x－y)(y－z)(z－x)=(y－z)(z－x)(x－y)，易知結(jié)論成立.第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六4.思維的獨創(chuàng)性思維的獨創(chuàng)性是指思維的創(chuàng)新程度,表現(xiàn)為思維的方式、方法或結(jié)果具有新穎、獨特的特點.如高斯的1＋2＋3＋＋100=50(100＋1)=5050這種算法具有獨創(chuàng)性.第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例全集I={(x,y)|x,y∈R},M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}，N={(x,y)|y≠x+1},那么M∪N=()A.ΦB.{（2，3）}C.（2，3）D.{(x,y)|y=x＋1}第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例全集I={(x,y)|x,y∈R},M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}，N={(x,y)|y≠x+1},那么M∪N=()A.ΦB.{（2，3）}C.（2，3）D.{(x,y)|y=x＋1}常規(guī)思路:M∪NM∩Nx－2=0或y≠x+1y=x－1x=2y=3第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六例全集I={(x,y)|x,y∈R},M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}，N={(x,y)|y≠x+1},那么M∪N=()A.ΦB.{（2，3）}C.（2，3）D.{(x,y)|y=x＋1}創(chuàng)新性思路:I是整個平面,M是平面內(nèi)一直線y=x+1去掉一點(2,3),N是整個平面內(nèi)去掉一直線y=x+1,則M∪N是整個平面去掉一個“孔”,而M∪N就是這個“孔”的集合,即{(2,3)}第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六5.思維的批判性思維的批判性是指主體對思維內(nèi)容和思維過程進行反思和評價的程度,它是思維過程中主體自我意識作用的結(jié)果.主要表現(xiàn)在:評價所選擇的思路;預(yù)測可能出現(xiàn)的結(jié)果并進行檢驗;喜歡獨立思考;凡是要經(jīng)過自己思考再作結(jié)論;善于提出各種疑問,及時發(fā)現(xiàn)錯誤等.第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六思維是一個通過對感知記憶的信息進行加工改造而得出新信息的過程.要