數(shù)學(xué)建模中的初等模型

數(shù)學(xué)建模中的初等模型第1頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六實(shí)例一公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問(wèn)題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問(wèn)20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021第2頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對(duì)不公平度相同若p1/n1>p2/n2

，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5第3頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí)p1/n1>p2/n2

，即對(duì)A不公平~對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義rB(n1,n2)問(wèn)題1：設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給A,還是B？“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定義第4頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問(wèn)：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B第5頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計(jì)算，第6頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系第7頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六進(jìn)一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi第8頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！能不能找到一個(gè)分配方法既滿足1）又滿足2）呢？第9頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)實(shí)例二雙層玻璃窗的功效第10頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模第11頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模第12頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過(guò)天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會(huì)如此之大第13頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.3

劃艇比賽的成績(jī)賽艇2000米成績(jī)t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長(zhǎng)l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問(wèn)題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變第14頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六問(wèn)題分析前進(jìn)阻力~浸沒(méi)部分與水的摩擦力前進(jìn)動(dòng)力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿功率賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)阻力漿手?jǐn)?shù)量艇重浸沒(méi)面積對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定運(yùn)用合適的物理定律建立模型第15頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號(hào)：艇速v,浸沒(méi)面積

s,浸沒(méi)體積A,空艇重w0,阻力f,漿手?jǐn)?shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績(jī)

t

n

–1/9npfv第16頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型檢驗(yàn)n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型

t

n

–1/9進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！第17頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型三：動(dòng)物身長(zhǎng)和體重問(wèn)題提出自然界——?jiǎng)游铩淖惬F復(fù)雜？？？四足動(dòng)物的軀干長(zhǎng)度與其體重的關(guān)系模型假設(shè)軀干：柱體，長(zhǎng)

L，直徑d，面積s體重f，最大下垂度bldsb第18頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型構(gòu)造目標(biāo)：f?l粗糙模型：類比法力學(xué)：彈性理論——〉彈性梁梁的最大彎曲動(dòng)物身長(zhǎng)比重ldsb進(jìn)化論：自然選擇→常數(shù)第19頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六評(píng)注:

在前面的兩個(gè)模型中都使用了比例法建模這種方法在一些不太精細(xì)的假設(shè)下,可以得出一些定性的結(jié)論,以后在問(wèn)題要求不是很精確的時(shí)候可以想到利用這個(gè)方法。它最大的優(yōu)點(diǎn)就是比較簡(jiǎn)單。類比法是建模中常用的一種方法，模型把動(dòng)物的軀干類比為彈性梁就是類比法的一個(gè)應(yīng)用。同學(xué)們以后在自己本學(xué)科中可以充分發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力，利用這種方法來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。第20頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.7

核軍備競(jìng)賽冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過(guò)了一系列的核裁軍協(xié)議。在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。背景第21頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。模型假設(shè)第22頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖的模型y=f(x)~甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)x=g(y)~乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當(dāng)x=0時(shí)y=y0，y0~乙方的威懾值xyy00y0~甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P~平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線第23頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期六精細(xì)模型乙方殘存率

s~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率。sx個(gè)基地未摧毀，y–x個(gè)基地未攻擊。x<y甲方以x攻擊乙方y(tǒng)個(gè)基地中的x個(gè),y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個(gè)被攻擊2次，s2(x–y)個(gè)未摧毀；y–(x–y)=2y–x個(gè)被攻擊1次，s(2y–x)個(gè)未摧毀y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1-s)x