第4章 章末復習課

章末復習課匚知識網(wǎng)絡一、等差與等比數(shù)列的基本運算.數(shù)列的基本運算以小題居多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項公式及求和公式，求數(shù)列中的項、公差、公比及前〃項和等，一般試題難度較小..通過等差、等比數(shù)列的基本運算，培養(yǎng)數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).例1在等比數(shù)列｛小｝中，已知m=2,以=16.⑴求數(shù)列的通項公式；(2)若43,。5分別為等差數(shù)列｛瓦｝的第3項和第5項,試求數(shù)列｛仇｝的通項公式及前n項和Sn.解(1)設數(shù)列｛斯｝的公比為q,由已知得16=2爐，解得q=2,所以斯=2X2”」=2"，(2)由(1)得°3=8,“5=32,則例=8,乩=32.設數(shù)列｛九｝的公差為d,所以bn=-16+12(n-1)=12W-28,所以數(shù)列也“｝的前〃項和則有則有則有"+2d=8,"+4"=32,解得則有"+2d=8,"+4"=32,解得b\=—16,d=12,〃(一16+12〃-28)、SH=-5L=6n2-22n,〃￡N.反思感悟在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即與前〃項和公式S“中，共涉及五個量：0,如，〃，d又q,Sn,其中0和d或q為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉換成關于0,d或％小，S”,〃的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當然在求解中若能運用等差(比)數(shù)列的性質會更好，這樣可以化繁為簡，減少運算量，同時還要注意整體代入思想方法的運用.跟蹤訓練I已知等差數(shù)列｛〃”)的公差d=l,前〃項和為5小(1)若1,m，G成等比數(shù)列，求m；(2)在(1)的條件下，若〃|>0,求S”.解(1)因為數(shù)列｛斯｝的公差”=1,且I,S成等比數(shù)列，所以同=1x(m+2),即屆一“1—2=0,解得《=-1或m=2.(2)因為卬>0,所以0=2,醞I、J—r,h(/?-1)nj,3nf:以Sn2w~i2-*2+2，〃eN.二、等差、等比數(shù)列的判定.判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點內容，經常在解答題中出現(xiàn)，對給定條件進行變形是解題的關鍵所在，經常利用此類方法構造等差或等比數(shù)列..通過等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).例2已知數(shù)列｛冊｝滿足0=1,〃4”+]=2(〃+1)斯.設瓦=奈.(1)求仇，岳，53；(2)判斷數(shù)列(仇｝是否為等比數(shù)列，并說明理由;⑶求數(shù)列｛?。耐椆?解(1)由條件可得知+|=汽*〃,將〃=1代入得，02=401,又0=1,所以42=4.將〃=2代入得，。3=3。2，所以“3=12.所以"=1,歷=2,7=4.⑵｛兒｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下:由條件可得篙=華bn+\=2b,t,又加=1,所以｛兒｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.⑶由(2)可得弄=21，所以a”=〃.2〃j〃￡N*.反思感悟判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法(1)定義法：對于〃21的任意自然數(shù)，驗證恁+1一?！?或明為與正整數(shù)〃無關的常數(shù).(2)中項公式法：①若2斯=〃”一|+〃”+](〃￡N",〃22),則｛〃”｝為等差數(shù)列.②若若=4l「〃〃+G￡N*,且知六())，則｛6｝為等比數(shù)列.(3)通項公式法：斯=切+仇々，〃是常數(shù))=｛〃”｝是等差數(shù)列；an=c-q,,(ctq為非零常數(shù))=｛〃”｝是等比數(shù)列.(4)前〃項和公式法：S尸A/+b〃(A,4為常數(shù)，〃￡N')=｛?r｝是等差數(shù)列；Sn=Aq,,-A(A,q為常數(shù)，且AWO,,0,夕Wl,〃￡N*)=｛小｝是公比不為I的等比數(shù)列.跟蹤訓練2已知數(shù)列｛斯｝滿足力=旦且當〃>1,〃￡N'時，有號」=2：二十1(1)求證：數(shù)列｛5J為等差數(shù)列；(2)試問0a2是否是數(shù)列｛6｝中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.⑴證明當〃22時，?a”-i2a”i+lZR由~~=~；—一,何■1-a”=4%-1an,(in1-2an兩邊同除以an-iant,口11得一一=4.a”O(jiān)n-i所以數(shù)列是首項!=5,公差〃=4的等差數(shù)列.(2)解由⑴得十=十+(〃-l)d=4〃+1,a1所以斯=北？'所以假設0例是數(shù)列｛%｝中的第1項，則q=*7=卷解得/=U￡N”，所以。。2是數(shù)列■〃｝中的第11項.三、數(shù)列求和.數(shù)列求和一直是考查的熱點，在命題中，多以與不等式的證明或求解相結合的形式出現(xiàn).一般數(shù)列的求和，主要是將其轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，題型多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等..通過數(shù)列求和，培養(yǎng)數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).例3已知數(shù)列｛｝是〃次多項式火X)=41X+42A2HF的系數(shù)，且7(1)="2(1)求數(shù)列｛所｝的通項公式；⑵求/(；),并說明/(；卜2.解(1)設/0)=41+。2~1卜?！?5尸"("2II〃("+1)(〃-1)〃一則an=Sn-Sn-\=-2-9=〃，〃22,當〃=1時，6/1=1,S1=I成立，所以〃”=〃(〃WN").(2)由(1)知yu)=x+lv2+…+必〃，所以/(；)=：+2義/+3><3~|①5(^)=蘇+2X蘇+30+…+(〃-以+〃X券,②由①一②得/《)=；+其■!1"玄一〃X冊=1-9#,所以電)=2一,一恭2.反思感悟數(shù)列求和的常用類型(1)錯位相減法：適用于各項由一個容差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積組成的數(shù)列.把S〃=〃i+a2H1~〃〃兩邊同乘以相應等比數(shù)列的公比%得到［S〃=aq+a2鄉(xiāng)~1\~anq,兩式錯位相減即可求出S小(2)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中｛6)是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.(3)拆項分組法：把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)，再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列，最后分別求和.(4)并項求和法：與拆項分組相反，并項求和是把數(shù)列的兩項(或多項)組合在一起，重新構成一個數(shù)列再求和，一般適用于正負相間排列的數(shù)列求和，注意對數(shù)列項數(shù)(是奇數(shù)還是偶數(shù))的討論.跟蹤訓練3正項數(shù)列｛斯｝滿足：a?—(2n-1)an—2n=0.(1)求數(shù)列｛詼｝的通項公式斯;⑵令b,尸,J、，求數(shù)列｛兒｝的前〃項和Tn.（〃?1）Un解（1）由屆一（2〃一1）%一2〃=0,得（4一2〃）30+1）=。由于｛%｝是正項數(shù)列,所以%=2〃，neN*.⑵由如=2〃，乩=（〃+；）?,b“=b“=b“=2〃(〃+1)=第一〃+b“=2〃(〃+1)=第一〃+1)隨堂演練1.在等差數(shù)列｛%）中，333+5）+2伍7+內0+03）=24,則該數(shù)列的前13項和為（）A.13B.26C.52D.156答案B解析3(s+a5)+2(s+aio+ai3)=24,.??6〃4+6。］0=24,??.44+00=4,.*.513=13Q+〃io)1313Q+〃io)13義4=26.2.等差數(shù)列｛如｝的前16項和為640,前16項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為11：9,則公差d,2.d,d,^的值分別是（）A.8,d,^的值分別是（）A.8,竽B.9,竿C.9,獲D.8,答案D解析設S奇=。［+。3+…+。15,Sg=。2+田+…+。16,則有S得一S奇=（42—。1）+（44一。3）+…8（。2+。16）_1_，Q/S-249+（06-05）-8乩需-8（0+儂廠云2S.+S偈=640,由。?。_一.八解得S奇=288,S偈=352.,□?.=11.9,因此〃=中=等=8,OO3.已知｛斯｝為等差數(shù)列,“1+43+05=105,。2+。4+。6=99,以S”表示數(shù)列｛“〃｝的前〃項和，則使得S“取得最大值的〃是()A.21B.20C.19D.18答案B解析由0+〃3+。5=105得，3^=105,43=35.同理可得04=33,??d=cu—。3=-2,a〃=a4+(“—4)X(—2)=41—2n.由彳