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第三章函數(shù)逼近與計(jì)算3.1引言與預(yù)備知識(shí)3.2最佳一直逼近多項(xiàng)式3.3最佳平方逼近多項(xiàng)式3.4正交多項(xiàng)式3.5函數(shù)按正交多項(xiàng)式展開(kāi)3.6曲線(xiàn)擬合的最小二乘法13.1引言與預(yù)備知識(shí)一、問(wèn)題的提出

對(duì)于一組離散點(diǎn)(xi,f(xi))(i=0,1,2,…,n)，一類(lèi)是選定一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)形式(x)，如多項(xiàng)式，分段線(xiàn)性函數(shù)，有理式，三角函數(shù)等，要求(x)通過(guò)點(diǎn)(xi)=f(xi)(i=0,12,…,n),由此確定函數(shù)(x)作為f(x)的近似。這就是插值法。

另一類(lèi)方法在選定近似函數(shù)的形式后，不要求近似函數(shù)過(guò)已知樣點(diǎn)，只要求在某種意義下它在這些點(diǎn)上的總偏差最小。這類(lèi)方法稱(chēng)為曲線(xiàn)（數(shù)據(jù)）擬合法。二、Weierstrass定理

拉格朗日插值保證在節(jié)點(diǎn)上沒(méi)有誤差，但在整個(gè)區(qū)間上誤差可能很大。若用P（x）一致逼近f(x)，首先需要解決的是存在性問(wèn)題。Weierstrass定理：證明：不妨設(shè)區(qū)間[a,b]=[0,1],取等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造Bernstein多項(xiàng)式可以證明在[0,1]上一致成立。逼近程度著眼于：（與P的取法有關(guān)，也與n有關(guān)）常用的兩個(gè)逼近標(biāo)準(zhǔn)：

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