動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)行為模型

動(dòng)物集群的運(yùn)動(dòng)研究摘要針對(duì)動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)機(jī)理的研究在近幾年受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。研究這些集群運(yùn)動(dòng)不僅對(duì)人們的工作和生活具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)了解自然界和生物系統(tǒng)也具有深遠(yuǎn)的科學(xué)意義。集群運(yùn)動(dòng)的研究具有廣闊的應(yīng)用前景：在工程方面，生物群體中的同步、避障機(jī)制可以有效地應(yīng)用到分布式機(jī)器人集群、無(wú)人駕駛飛行器群、衛(wèi)星群的運(yùn)動(dòng)控制等。本文針對(duì)動(dòng)物集群的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究，完成了對(duì)動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型建立和計(jì)算機(jī)模擬，并通過(guò)改進(jìn)的模型對(duì)動(dòng)物集群躲避捕食者和集群中領(lǐng)導(dǎo)者的作用進(jìn)行了分析。文中首先對(duì)Vicsek和Boid兩種常見的模型進(jìn)行分析，通過(guò)Matlab得到仿真結(jié)果并對(duì)其影響因素進(jìn)行了定性分析。在此基礎(chǔ)上提出自己的模型用于模擬動(dòng)物種群運(yùn)動(dòng)，并盡量在新模型中彌補(bǔ)Vicsek模型和Boid模型的不足。新的模型考慮了集群中個(gè)體的視角范圍，以使結(jié)果更加接近實(shí)際。在考慮躲避捕食者的時(shí)候，在每個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)規(guī)則中加入對(duì)捕食者的感知與避讓，即讓每個(gè)個(gè)體在捕食者進(jìn)入感知范圍內(nèi)后都盡力改變方向朝著遠(yuǎn)離捕食者的方向運(yùn)動(dòng)，并且將此原則設(shè)立為最高優(yōu)先級(jí)，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬得到了較好的效果：當(dāng)捕食者接近時(shí)，近處的個(gè)體會(huì)優(yōu)先躲避捕食者，并通過(guò)對(duì)鄰居的影響使得整個(gè)集群形狀發(fā)生改變以避開捕食者，遠(yuǎn)離捕食者的過(guò)程中集群中的個(gè)體運(yùn)動(dòng)又會(huì)逐漸同步。并考慮各個(gè)參量對(duì)同步速度的影響。針對(duì)有領(lǐng)導(dǎo)者的集群，本文對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者在原有運(yùn)動(dòng)原則的基礎(chǔ)上加入一個(gè)優(yōu)先方向，領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)方向受到優(yōu)先方向和周圍的鄰居共同影響。模擬結(jié)果顯示經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的同步，集群最終會(huì)按照領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。針對(duì)模型中各個(gè)參數(shù)的影響，本文進(jìn)行了定量的分析。分析結(jié)果顯示隨機(jī)影響（噪音）對(duì)集群的最后同步效果有較強(qiáng)影響但對(duì)同步速度影響不大，集群中個(gè)體的感知范圍和集群密度的增大都對(duì)同步速度有積極的影響，而視角只在一定范圍增大才對(duì)同步速度有積極影響。關(guān)鍵詞：Vicsek模型Boid模型有限視角范圍集群運(yùn)動(dòng)目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"問(wèn)題重述1\o"CurrentDocument"模型假設(shè)1符號(hào)說(shuō)明1\o"CurrentDocument"問(wèn)題分析2\o"CurrentDocument"問(wèn)題一5模型的分析5\o"CurrentDocument"改進(jìn)的Boid模型54.2.1有限視角角度54.2.2單個(gè)個(gè)體速率可變的情況6\o"CurrentDocument"4.2.3改進(jìn)后的Boid模型7\o"CurrentDocument"仿真驗(yàn)證8結(jié)論10\o"CurrentDocument"問(wèn)題二11模型的收斂116.1.1噪聲對(duì)收斂速度的影響116.1.2魚群密度對(duì)收斂速度的影響126.1.3感知范圍對(duì)收斂速度的影響12結(jié)論13\o"CurrentDocument"問(wèn)題三13\o"CurrentDocument"模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)13\o"CurrentDocument"優(yōu)點(diǎn)15缺點(diǎn)以及改進(jìn)15參考文獻(xiàn)15問(wèn)題重述自然界中存在著大量的群體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。宏觀上，恒星、行星、星云等天體之間的聚集形成的星系的運(yùn)動(dòng)，大氣中的水汽凝聚形成大氣運(yùn)動(dòng)，微觀上，細(xì)菌等微生物以及人類的黑色素細(xì)胞也存在群體運(yùn)動(dòng)。在動(dòng)物界，這種現(xiàn)象更是常見，在昆蟲、鳥類、魚類中都大量存在。這些動(dòng)物集群在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中具有很明顯的特征：集群中的個(gè)體聚集性很強(qiáng)，運(yùn)動(dòng)方向、速度具有一致性。通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬動(dòng)物群的集群運(yùn)動(dòng)行為以及探索動(dòng)物群中的信息傳遞機(jī)制一直是仿生學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重要內(nèi)容。題目要求我們結(jié)合相關(guān)資料，分析動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)的機(jī)理，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型刻畫動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)、躲避威脅等行為，主要專注于解決以下三個(gè)方面的問(wèn)題：通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬動(dòng)物的集群運(yùn)動(dòng)；通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型刻畫諸如魚群躲避黑鰭礁鯊魚的一類運(yùn)動(dòng)行為；考慮動(dòng)物群體中有一部分個(gè)體是信息豐富者，如掌握食物源的地理位置或者掌握遷徙路線信息，建立數(shù)學(xué)模型分析這類“領(lǐng)導(dǎo)者”對(duì)群體行為的影響，解釋群體運(yùn)動(dòng)方向如何達(dá)成；模型假設(shè)假設(shè)集群中每個(gè)個(gè)體的視野都是有限的，且視角相等。假設(shè)集群中個(gè)體的速率是可變的，其最大速率相等。不考慮集群中個(gè)體大小對(duì)于集群運(yùn)動(dòng)的影響。假設(shè)文中使用的隨即因素滿足正態(tài)分布。3.符號(hào)說(shuō)明符號(hào)描述Nm集群中的個(gè)體數(shù)目L仿真的區(qū)域邊長(zhǎng)R、r感知區(qū)域的半徑門噪聲的干擾量9集群中的個(gè)體的視角—?v運(yùn)動(dòng)速度—>c位移矢量問(wèn)題分析動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)機(jī)理的研究屬于集群動(dòng)力學(xué)的一個(gè)方面，集群動(dòng)力學(xué)作為一門新興學(xué)科在近幾年受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。集群行為遍及自然界、生物系統(tǒng)和人類社會(huì)，可謂無(wú)處不在，其研究成果也具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)集群運(yùn)動(dòng)的研究方法可以分為兩類：一類是利用理論推導(dǎo)和應(yīng)用已有的理論，試圖去理解和解釋集群行為的內(nèi)在原因；另一類是從實(shí)際的集群運(yùn)動(dòng)和個(gè)體生物特征出發(fā)，通過(guò)構(gòu)造模型去發(fā)現(xiàn)實(shí)際集群運(yùn)動(dòng)中存在的規(guī)律。其中，典型的模型有以下幾種：VicsekModel、BoidModel和Leader-followerModel等。不同模型有各自的特點(diǎn)也存在不足，如Vicsek模型無(wú)法模擬出魚群的類漩渦游動(dòng)，有的模型無(wú)法描述如蔽障這一類較為復(fù)雜的群體行為，多數(shù)模型忽略了對(duì)同步速度（收斂時(shí)間）的考慮，而這卻是判斷同步策略優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。另外，大多數(shù)模型都沒(méi)有考慮集群中個(gè)體的視角范圍，而視角范圍實(shí)際上是不同集群呈現(xiàn)出不同運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)重要因素：比如昆蟲，如螞蟻之間通過(guò)化學(xué)信號(hào)進(jìn)行溝通，每個(gè)個(gè)體可以感知周圍360度一定距離內(nèi)的所有其他個(gè)體；鳥類和魚類主要通過(guò)視覺感知周圍的個(gè)體（如貓頭鷹最大視角約為201度），不同鳥類和魚類之間視覺角度的不同是兩種群集運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同的一個(gè)重要因素。本文通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型描述動(dòng)物集群中個(gè)體間的相互作用來(lái)刻畫整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。首先對(duì)兩種常見的模型進(jìn)行分析并通過(guò)matlab得到結(jié)果并對(duì)其影響因素進(jìn)行了分析。通過(guò)參考現(xiàn)有的兩種模型（vicsek和boid），提出自己的模型用于模擬動(dòng)物種群運(yùn)動(dòng)，并盡量在新模型中彌補(bǔ)vicsek模型和boid模型的不足。在考慮躲避捕食者的時(shí)候，在每個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)規(guī)則中加入對(duì)捕食者的感知與避讓，即讓每個(gè)個(gè)體在捕食者進(jìn)入感知范圍內(nèi)后都盡力改變方向朝著遠(yuǎn)離捕食者的方向運(yùn)動(dòng)。針對(duì)有領(lǐng)導(dǎo)者的集群，可以對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者在原有運(yùn)動(dòng)原則的基礎(chǔ)上加入一個(gè)優(yōu)先方向，領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)方向受到優(yōu)先方向和周圍的鄰居共同影響。已有模型介紹5.1.Boid模型Boid模型是1986年由美國(guó)人CraingW.Reynolds發(fā)明的一種計(jì)算機(jī)模型用于模擬鳥類等動(dòng)物的群體運(yùn)動(dòng)，這個(gè)模型最早來(lái)源于復(fù)雜性科學(xué)，現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用于電腦游戲中的涌現(xiàn)模型。Craing用計(jì)算機(jī)屏幕上的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)代表鳥類個(gè)體，這樣一來(lái)一群點(diǎn)就對(duì)應(yīng)一個(gè)鳥群。每個(gè)鳥都僅能觀察到固定范圍內(nèi)的其他臨近的個(gè)體，Craing通過(guò)反復(fù)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)只要用三條非常簡(jiǎn)單的規(guī)則就能讓計(jì)算機(jī)中的虛擬鳥類模擬現(xiàn)實(shí)世界中的鳥群行為。三條規(guī)則具體如下：靠近原則：每個(gè)biod個(gè)體都要盡量去靠近它的鄰居所在的中心位置，其對(duì)鄰居的感知范圍是以自己為中心，以某一距離為半徑的圓形（球形）區(qū)域。對(duì)齊原則：每個(gè)biod個(gè)體的運(yùn)動(dòng)方向要盡量與周圍的鄰居的運(yùn)動(dòng)方向保持一致。若偏離了鄰居們的平均運(yùn)動(dòng)方向，biod個(gè)體就會(huì)做細(xì)微的調(diào)整使運(yùn)動(dòng)方向與鄰居的平均方向平行。3.避免碰撞原則：當(dāng)biod與某些鄰居靠的太近時(shí)就會(huì)盡量去避開，以避免發(fā)生碰撞。3.這三條簡(jiǎn)單的規(guī)則就是biod靈活飛行的決定因素。其示意圖如圖1靠近原則對(duì)齊原則避免碰撞靠近原則對(duì)齊原則避免碰撞圖1：biod運(yùn)動(dòng)原則Boid模型可以由數(shù)學(xué)模型進(jìn)行精確的描述。確定系統(tǒng)有N個(gè)個(gè)體組成，每個(gè)個(gè)體由一個(gè)位置矢量C.和一個(gè)速度矢量V描述。每個(gè)個(gè)體在三維空間中按照恒定的速度V運(yùn)動(dòng)，6(t+1)表示編號(hào)為，的個(gè)體在t+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向。在每一步t，每個(gè)個(gè)體可以感知到三個(gè)不重疊的區(qū)域中其他個(gè)體的位置和方向，這些信息將用于計(jì)算6,(t+1)，這三個(gè)區(qū)域分別為：排斥區(qū)域(repulsion)，一致區(qū)域(orientation)，吸引區(qū)域(attraction)。因此，此模型也被稱為“三區(qū)域”模型。三個(gè)區(qū)域的排列順序?yàn)椋河山竭h(yuǎn)依次為排斥區(qū)域，一致區(qū)域，吸引區(qū)域。個(gè)體的運(yùn)動(dòng)規(guī)則可以描述為：首先，個(gè)體盡量與排斥區(qū)域(以該個(gè)體為中心，以,為半徑的球)中的其他個(gè)體盡可能保持距離，并記其中個(gè)體數(shù)為七，則個(gè)體,的預(yù)期運(yùn)動(dòng)方向按照下面的方式進(jìn)行調(diào)整：'d(t+d(t+1)=-￡rr(t),i=1,2,...N,t>0(1)其中七⑴=(Cj-匕)；其次，如果七=0，則個(gè)體，?的預(yù)期方向受一致區(qū)域(以個(gè)體，?為中心，處于rr和"之間的球形區(qū)域)以及吸引區(qū)域(以個(gè)體’為中心，處于［和［之間的球形區(qū)域)中的個(gè)體的影響，記相應(yīng)區(qū)域中的鄰居個(gè)數(shù)分別為no,na，，則可定義—?—?——d(t+1)=j歸——d。(t+——d(t+1)=j歸——卻些；d(t+1)=V.(t)「a(2)￡a〒..(t).r(t)1Eij1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"————如果n=0，則d.(t+1)=d(t+1)；同樣，如果n=0，則d.(t+1)=d(t+1)；如果aiooia卻些；d(t+1)=V.(t)「a(2)\o"CurrentDocument"——————兩者都不為0，則定義d.(t+1)=1［d(t+1)+d(t+1)］。如果經(jīng)過(guò)上面的運(yùn)算后得到的i2oa\o"CurrentDocument"————\o"CurrentDocument"d.(t+1)=0，或者在三個(gè)區(qū)域中都沒(méi)有個(gè)體，則d.(t+1)=V.(t)。設(shè)旋轉(zhuǎn)速率為6，如果————V(t)與d(t+1)之間的角度差小于6，則V(t+1)=d(t+1)，否則個(gè)體.向著期望的方向iiii旋轉(zhuǎn)角度6，這樣就得到了個(gè)體下一步的運(yùn)動(dòng)方向。通過(guò)matlab編寫程序?qū)ι鲜瞿Ｐ瓦M(jìn)行仿真，，可以得到群體的運(yùn)動(dòng)圖像，改變模型中參數(shù)就可以得到不同的運(yùn)動(dòng)結(jié)果如圖2345所示：

圖2圖3圖2圖3圖4圖5圖2表現(xiàn)出魚群向集體相一方向移動(dòng)；圖3表現(xiàn)處魚群在一片區(qū)域內(nèi)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)；圖4表現(xiàn)魚群正在進(jìn)行方向變換；圖5表現(xiàn)魚群正在朝著一個(gè)中心集合。Vicsek模型Vicsek模型由匈牙利物理學(xué)家T.Vicsek及其合作者于1995年從統(tǒng)計(jì)力學(xué)的角度提出，他不僅算法簡(jiǎn)單，而且能比較真實(shí)的模擬自然界的一些群集同步現(xiàn)象。Vicsek模型描述的是個(gè)體數(shù)為N的一群可以視為質(zhì)點(diǎn)的個(gè)體在LxL的二位周期邊界條件的平面上的運(yùn)動(dòng)情況。其基本的運(yùn)動(dòng)規(guī)則如下：在每一時(shí)步中個(gè)體的速度大小保持不變，方向取其周圍個(gè)體的平均方向，即以該個(gè)體為中心在半徑為r的圓內(nèi)所有個(gè)體的平均方向。每個(gè)個(gè)體的初始位置在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)分布，初始運(yùn)動(dòng)方向在［-兀,兀)間隨機(jī)分布。記i(t)為個(gè)體在t時(shí)刻的位置，則位置變換的表達(dá)式為：i(t+1)=i(t)+v(t)Atiii速度方向的更新規(guī)則為:(4)。(t+1)*。(t)>+履(4)其中A9代表噪音，取值為［--,%的隨機(jī)數(shù)f為可調(diào)整的常數(shù)。＜。(t)＞為以個(gè)體i為i22r圓心視野半徑r內(nèi)所有個(gè)體(包含個(gè)體i自身)的平均速度方向，故<9(t)>滿足以下條件：ir(5)tan[<9(t)>]=<sin9(t)>/<con9(t)>iririr6.問(wèn)題一(5)模型的分析描述群集運(yùn)動(dòng)的模型主要有Vicsek模型、Boid模型以及Leader-follower模型，各模型的建模思路在前文中已經(jīng)做過(guò)詳細(xì)的分析。其中，Vicsek?？梢酝ㄟ^(guò)改變個(gè)體的密度以及噪音的強(qiáng)度，得到四種群集運(yùn)動(dòng)形式。它可以比較真實(shí)的模擬鳥群、魚群等的同步運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，但是卻無(wú)法描述魚群相互環(huán)繞形成的漩渦現(xiàn)象，有一定的缺陷。Boid則在此基礎(chǔ)做出了一定的改進(jìn)，通過(guò)改變吸引區(qū)域與一致區(qū)域的相對(duì)大小即可模擬魚群的環(huán)繞現(xiàn)象。Boid模型中認(rèn)為單個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)速率是保持不變的，其視野是全方位的。這兩點(diǎn)假設(shè)并不符合實(shí)際。首先，集群運(yùn)動(dòng)中個(gè)體的運(yùn)動(dòng)速率與集群運(yùn)動(dòng)的有序程度之間有很大的關(guān)系。當(dāng)群體運(yùn)動(dòng)的有序化程度較高時(shí)，各個(gè)個(gè)體不需要改變周圍個(gè)體的運(yùn)動(dòng)情況頻繁的改變自己的運(yùn)動(dòng)方向，它們之間需要交流的信息較少，運(yùn)動(dòng)速度會(huì)較快。例如，對(duì)于交通治理情況較好的道路，各個(gè)車輛行駛的很快。而對(duì)于交通擁擠或者道路上頻繁有岔口需要轉(zhuǎn)彎的道路來(lái)說(shuō)，車輛的限速則相對(duì)較低。其次，在自然界中很多個(gè)體的視野都是有限的而并非全局角度的。例如，貓頭鷹的最大視野角度為201度，而人的最大視野角度只有180度。在問(wèn)題一中，我們將基于Boid模型，提出速率可變、視角有限的改進(jìn)模型。通過(guò)此模型，對(duì)集群運(yùn)動(dòng)的幾種形式進(jìn)行模擬，并對(duì)其收斂速度進(jìn)行分析。改進(jìn)的Boid模型6.2.1有限視野角度考慮一群可視為質(zhì)點(diǎn)的個(gè)體在L*L的二維平面內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，且這個(gè)平面具有周期性的邊界條件。所謂周期性的邊界條件主要是指以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：個(gè)體的總數(shù)保持不變。當(dāng)一個(gè)個(gè)體i從某個(gè)邊界逃離該區(qū)域時(shí)，另外一個(gè)個(gè)體從其對(duì)稱邊界處進(jìn)入該區(qū)域，其速度相等。排除邊界效應(yīng)。當(dāng)一個(gè)個(gè)體在邊界時(shí)，它受到的影響不僅有來(lái)自自己相鄰個(gè)體的還有經(jīng)過(guò)邊界延伸后與其相鄰的個(gè)體的作用。周期性的邊界條件保證了用有限的空間來(lái)模擬無(wú)限空間時(shí)的合理性。在boid模型中，每個(gè)個(gè)體以同樣且恒定速率v運(yùn)動(dòng)，但是速度方向可以不同。每個(gè)個(gè)體的初始位置在該平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)分布，初始運(yùn)動(dòng)方向在［-兀,兀］內(nèi)隨機(jī)分布。根據(jù)5.1中所述，下一時(shí)刻第i個(gè)個(gè)體的速度方向?yàn)椋?/p>

(t)Er、,,'j也I"—一、；vd(t(t)Er、,,'j也I"—一、；vd(t+1)二乙一joj技d(t+1)=￡"

ar用ij0.5(d(t+1)+d(t+1))oat)tt)n豐0n豐0且n,nn豐0且n,n其他(6)假設(shè)所有個(gè)體的視角均為0，則此時(shí)各個(gè)個(gè)體可以感受到的三個(gè)區(qū)域?qū)⑾认拗圃趫A心角為0的圓弧內(nèi)，如下圖所示：圖6當(dāng)視角有限時(shí)的能感受到的三個(gè)區(qū)域其中，n,n,n分別表示視角有限的情況下，單個(gè)個(gè)體所能感受到的三個(gè)區(qū)域中zorzoozoaTOC\o"1-5"\h\z的個(gè)體數(shù)目；R,R,R分別表示三個(gè)區(qū)域的半徑。123圖6當(dāng)視角有限時(shí)的能感受到的三個(gè)區(qū)域視角有限的情況下，第i個(gè)個(gè)體僅受其視角范圍內(nèi)的個(gè)體影響。對(duì)(1)式進(jìn)行改動(dòng)后即可得到t+1時(shí)刻第i個(gè)個(gè)體的速度方向?yàn)椋篸(t+1)=-Z|；"n豐0列j也印wnzo：v(t)V(t+1)=|so(t+1)=j回"zoo"0且nzor，nzoa=0(7)-nvr(t)-d(t+1)=尤|j(')n豐0且n,n=0jji'I0.5(d(t+1)+d(t+1))其他zoozoa6.2.2單個(gè)個(gè)體速率可變的情況對(duì)于集群中的單個(gè)個(gè)體而言，由于它的視野半徑是有限的，它只能根據(jù)它可以獲得的信息作出自己的“最優(yōu)化”判斷。當(dāng)周圍個(gè)體的速度十分混亂的情況下，它將變得無(wú)所適從。如果盲目的按照（2）式中的平均速度方向原則進(jìn)行判斷，很可能由于選擇速度方向過(guò)于倉(cāng)促而造成情況更加混亂，從而影響收斂時(shí)間。因此，當(dāng)個(gè)體的速度大小可變時(shí)，速度值的選取主要與周圍個(gè)體運(yùn)動(dòng)的混亂程度有關(guān)。當(dāng)周圍的混亂程度較大時(shí)，個(gè)體應(yīng)該降低自己的移動(dòng)速率；當(dāng)周圍個(gè)體已經(jīng)達(dá)到很好的同步的情況下，個(gè)體應(yīng)該以較快的速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。為了描述局域個(gè)體的同步程度，我們引入8.，稱為第i個(gè)個(gè)體視野半徑內(nèi)所有個(gè)體的有序度：j=-^^1—（8）j=1j其中，N是個(gè)體i傳遞半徑的個(gè)體數(shù)（包括它自己）。8取值在0與1之間，取值越大表示該半徑徑內(nèi)的個(gè)體方向一致性越好，即局域同步程度越高。取值越小，則表示該個(gè)體局域同步程度越低。當(dāng)8廣1時(shí)，該半徑內(nèi)的所有個(gè)體的方向都一致。同理，還可以定義全局的有序度：%vj8=—（9）j=1當(dāng)全局有序度較高（接近于1）時(shí)，表示集群的同步程度已經(jīng)較高。假設(shè)各個(gè)個(gè)體的最大速率都相等，均為V，每個(gè)個(gè)體的速率大小的變化范圍為【0,匕］。根據(jù)上面的討論，可變速率時(shí)，單個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)速率應(yīng)滿足：角8⑴=1時(shí)，即視野半徑內(nèi)的所有個(gè)體都達(dá)到同步時(shí)，則該個(gè)體的速率為V。當(dāng)8（t）=1，即信息半徑內(nèi)所有的個(gè)體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全混亂時(shí)，則該個(gè)體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全混亂時(shí)，該個(gè)體的速率為0。為了同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件，設(shè)定下一個(gè)時(shí)刻個(gè)體的運(yùn)動(dòng)速率與其有序度之間滿足指數(shù)關(guān)系。即：v（t+1）=Vxe。［敏）-1］（10）imax這里，P為一可調(diào)參數(shù)，當(dāng)P=0時(shí)，上式恢復(fù)到Boid模型。6.2.3改進(jìn)后的Boid模型結(jié)合1.2.1和1.2.2中的分析，可以得出在視角有限以及速率可變的情況下，第i個(gè)個(gè)體t+1時(shí)刻的速度和坐標(biāo)分別為：

萬(wàn)(t+1)=u(t+1)-(V(t+1)MM+n)(萬(wàn)(t+1)=u(t+1)-(V(t+1)MM+n)(11)其中，門表示個(gè)體的運(yùn)動(dòng)受到噪聲的影響。它是一個(gè)隨機(jī)變量，服從均勻分布。假設(shè)噪聲強(qiáng)度為氣，則有門?U（-0.5?氣,0.5?氣）。（5）式給出了不同時(shí)刻不同個(gè)體的位置以及速度變化規(guī)律。根據(jù)此式即可對(duì)集群運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真。仿真驗(yàn)證計(jì)算機(jī)仿真的主要方法有時(shí)間步長(zhǎng)法和事件步長(zhǎng)法。在二維平面內(nèi)利用時(shí)間步長(zhǎng)法對(duì)集群運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行仿真的主要步驟有：初始化。正方形區(qū)域邊長(zhǎng)L=5,個(gè)體的總數(shù)目N尸100，Vm=0.03,仿真時(shí)間Tm=100，噪聲的強(qiáng)度n=0.1，p=1，個(gè)體的視角。二竺，最大的轉(zhuǎn)折角度9=生，排斥區(qū)-33域半徑R1=0.2，一致區(qū)域半徑R2=0.5，吸引區(qū)域半徑R3=1.0。給每個(gè)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，利用MATLAB中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)，隨機(jī)生成t=0時(shí)刻每個(gè)個(gè)體的位置和速度。令t=t+1，并計(jì)算t時(shí)刻第i（i=1?n）個(gè)個(gè)體的局部有序度8（t）。i利用式（5）對(duì)t+1時(shí)刻每個(gè)個(gè)體的位置和速度進(jìn)行更新。計(jì)算t時(shí)刻的全局有序度8（t）。判斷8（t）>0.90或者t=Tm是否成立，若成立則結(jié)束仿真過(guò)程，輸出該時(shí)刻的集群運(yùn)動(dòng)圖像。否則，轉(zhuǎn)入步驟3繼續(xù)運(yùn)行。利用MATLAB編程進(jìn)行計(jì)算，可以得到上述參數(shù)下的集群運(yùn)動(dòng)圖像（圖7）。iff012iff012345圖7仿真時(shí)間為100時(shí)的集群運(yùn)動(dòng)仿真圖像可以看出，此時(shí)集群中出現(xiàn)了若干個(gè)簇團(tuán)，簇團(tuán)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方向相對(duì)而言較為一致，而團(tuán)與團(tuán)之間的運(yùn)動(dòng)則關(guān)聯(lián)性不大。程序運(yùn)行結(jié)束時(shí)，全局的有序度僅為0.2252。這種現(xiàn)象的主要原因是集群的密度相對(duì)較小，各自之間的影響程度也相對(duì)較小。下面考慮其他情況：

1.群體做同向運(yùn)動(dòng)改變模型中的參數(shù)，令L=2,R2=0.8,R3=0.9。此時(shí)集群的密度增大，各自之間的相互影響也增大?？梢圆孪耄詈蟮募哼\(yùn)動(dòng)應(yīng)該呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。仿真得到的圖像為：圖8增大一致區(qū)域和密度后的集群運(yùn)動(dòng)仿真圖像可以看出，在增大了一致區(qū)域和個(gè)體的密度后，整個(gè)集群最終步調(diào)一致朝著同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。這就很好的解釋了鳥群、魚群在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中為什么能步調(diào)一致的原因。在時(shí)間t=73時(shí)，集群運(yùn)動(dòng)的有序度達(dá)到95%，仿真結(jié)束。這種現(xiàn)象出現(xiàn)的主要原因可以解釋如下：由于單個(gè)個(gè)體的相鄰個(gè)體數(shù)目增多，它可以獲得的信息量增大。因此，其速度方向的調(diào)整更具有全局性，整體最終能達(dá)到一個(gè)比較有序的運(yùn)行狀態(tài)。2.群體的螺旋運(yùn)動(dòng)改變模型中的參數(shù)，令L=2,R2=0.3,R3=0.9,此時(shí)一致區(qū)域相對(duì)吸引區(qū)域較小。大部分個(gè)體之間的影響均為相互吸引，個(gè)體之間的位置跟隨性較強(qiáng)，但角度跟隨性較差。此時(shí)，仿真得到的圖像為：f體00.511.52圖9減小一致區(qū)域并增大吸引區(qū)域后的集群運(yùn)動(dòng)仿真圖像此時(shí)，集群運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出螺旋狀態(tài)，整體的方向有序度幾乎為0。這種情況可以很好的解釋魚群相互環(huán)繞形成螺旋運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象。原因可以這樣解釋。由式（5）可以看出，若僅有一致區(qū)域時(shí)，個(gè)體的速度方向是一致區(qū)域內(nèi)所有個(gè)體速度方向的平均。一致區(qū)域的大小可以反映個(gè)體對(duì)于周圍個(gè)體的速度跟隨性的大小。若僅有吸引區(qū)域時(shí)，個(gè)體的速度方向則指向吸引區(qū)域內(nèi)其他個(gè)體的平均位置。因此，吸引區(qū)域的大小反映的是個(gè)體的位置跟隨性的大小。當(dāng)減小一致區(qū)域并增大吸引區(qū)域時(shí)，個(gè)體的速度跟隨性減小而位置跟隨性增大。因此，個(gè)體的速度方向并不能夠很好反映前面?zhèn)€體的速度方向，存在著一個(gè)滯后。即，個(gè)體的速度方向與其前面?zhèn)€體的速度方向可能會(huì)始終存在一個(gè)夾角，最終而形成一個(gè)環(huán)狀。對(duì)于魚群受到攻擊時(shí)，形成的螺旋運(yùn)動(dòng)可以這樣解釋。當(dāng)魚群的速度較快并且周圍有威脅時(shí)，每條魚獲取信息的時(shí)間變短，無(wú)法對(duì)其他個(gè)體的速度做出詳細(xì)判斷后再進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，而只能跟隨前面的魚的位置變動(dòng)而變動(dòng)。即，每條魚的位置跟隨性增強(qiáng)而速度跟隨性減弱，于是出現(xiàn)圖9中的螺旋運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。群體的無(wú)序運(yùn)動(dòng)狀態(tài)令L=2,R2=0.3,R3=0.4，此時(shí)一致區(qū)域和吸引區(qū)域均較小，個(gè)體之間的影響較小。此時(shí)，仿真得到的圖像為：圖10一致區(qū)域和吸引區(qū)域均減小后的集群運(yùn)動(dòng)仿真圖像觀察上圖，群體中每個(gè)的運(yùn)動(dòng)方向是隨機(jī)的，整體沒(méi)有規(guī)律性。這主要是因?yàn)橐恢聟^(qū)域與吸引區(qū)域相對(duì)較小，個(gè)體獲得的信息較少，它的運(yùn)動(dòng)方向隨機(jī)性較強(qiáng)。因此，整體的運(yùn)動(dòng)最終顯得雜亂無(wú)章。6.4.結(jié)論改進(jìn)后的Boid模型可以較好的模擬自然界中群集運(yùn)動(dòng)的各種狀態(tài)。各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的形成主要與吸引區(qū)域和一致區(qū)域的大小有關(guān)。一致區(qū)域與吸引區(qū)域均相對(duì)較小時(shí)，整體的運(yùn)動(dòng)最終顯得雜亂無(wú)章。一致區(qū)域較小而吸引區(qū)域相對(duì)較大時(shí)，集群運(yùn)動(dòng)最終呈現(xiàn)出螺旋狀態(tài)。一致區(qū)域和吸引區(qū)域均較大時(shí)，最終整個(gè)集群中將出現(xiàn)很多的簇團(tuán)，各團(tuán)之間的運(yùn)動(dòng)方向是隨機(jī)的。一致區(qū)域較大而吸引區(qū)域相對(duì)較小時(shí)，集群運(yùn)動(dòng)最終呈現(xiàn)出同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。7.問(wèn)題二考慮黑鰭礁鯊魚對(duì)魚群的影響，可以認(rèn)為魚群在運(yùn)動(dòng)時(shí)，把黑鰭礁鯊魚理解為一塊有排斥的磁鐵，并且距離越近排斥越強(qiáng)。也就是，對(duì)于第一問(wèn)模型中的個(gè)體，在三條原則上加入排斥鯊魚的原則，而且這個(gè)原則的優(yōu)先級(jí)高于其他三個(gè)原則。個(gè)體如果在危險(xiǎn)范圍內(nèi)，優(yōu)先考慮躲避捕食者，暫時(shí)忽略靠近原則，對(duì)齊原則和避免碰撞原則。仿真結(jié)果與下圖11：圖11一致區(qū)域和吸引區(qū)域均減小后的集群運(yùn)動(dòng)仿真圖像由于魚群中魚的高度集中，和魚群本身的運(yùn)動(dòng)，黑鰭礁鯊魚會(huì)無(wú)法確定捕食目標(biāo)，而不能進(jìn)行捕食。因此，魚群只要保持其結(jié)構(gòu)不被破壞，不出現(xiàn)個(gè)體脫離魚群或者魚群被沖散失去原有的運(yùn)動(dòng)規(guī)律而混亂，就能保證魚群不受黑鰭礁鯊魚的威脅。我們認(rèn)為魚群中單獨(dú)幾個(gè)個(gè)體被捕食不會(huì)對(duì)整個(gè)魚群造成很大的危害，因而我們主要討論魚群在面對(duì)黑鰭礁鯊魚時(shí)能否保持穩(wěn)定。7.1.模型的收斂考慮魚群在面對(duì)黑鰭礁鯊魚時(shí)的穩(wěn)定行問(wèn)題，可以先單獨(dú)考慮魚群本身的在混亂狀態(tài)下變成穩(wěn)定狀態(tài)的速度大小問(wèn)題。也就是第一問(wèn)模型的收斂速度問(wèn)題。我們先在不考慮黑鰭礁鯊魚時(shí)，魚群各個(gè)參數(shù)對(duì)魚群收斂速度進(jìn)行靈敏度分析。為表征最后所有個(gè)體的同步情況，我們引入了序參量：v=^—尹v(12)aNVii=1顯然，0<<1，va取值越大表面?zhèn)€體運(yùn)動(dòng)的一致性越好，v.=1，表明所有個(gè)體運(yùn)動(dòng)方向都一致：a"6.1.1噪聲對(duì)收斂速度的影響在模型中個(gè)體的運(yùn)動(dòng)方向除了受周圍的鄰居影響外，考慮到實(shí)際環(huán)境中的不確定性和未

知因素的影響，本文還加入了“噪音”的影響以使得模型的仿真結(jié)果更加符合實(shí)際。為了確定噪音對(duì)結(jié)果的影響（同步時(shí)間和同步效果），本文選取不同的噪音值進(jìn)行了仿真，結(jié)果如圖12所示，圖中橫軸表示步數(shù)（運(yùn)行時(shí)間），縱軸表示有序度，其最大值為1表示區(qū)域內(nèi)的個(gè)體運(yùn)動(dòng)完全一致。圖12：噪音的影響由圖中所示的結(jié)果可知：噪音對(duì)于集群的同步速度沒(méi)有顯著影響但是對(duì)于同步效果有較為明顯的影響，噪音小時(shí)同步效果較好，噪音大時(shí)集群無(wú)法徹底同步而是在完全同步的附近進(jìn)行震蕩。6.1.2魚群密度對(duì)收斂速度的影響考慮到集群的密度對(duì)收斂速度的影響，在已經(jīng)給定的空間中加入的個(gè)體數(shù)不同，也就改變了魚群的密度。我們將給定范圍類的集群數(shù)量從50、100、…、1000變化。來(lái)觀察魚群的收斂速度。仿真結(jié)果如下圖13：圖13：密度的影響從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著密度的增加，收斂速度越快。然而，當(dāng)密度高于一定值后，收斂速度隨密度的增加而增加的速度就減慢了。6.1.3感知范圍對(duì)收斂速度的影響本文模擬集群運(yùn)動(dòng)的模型中個(gè)體并不具備對(duì)全局的感知能力，個(gè)體只是通過(guò)幾條簡(jiǎn)單的原則和與之相鄰的其他鄰居相互作用，通過(guò)個(gè)體間的相互作用最后集群便會(huì)呈現(xiàn)出復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。本文將鄰居定義為以個(gè)體為中心一定直線距離內(nèi)的所有其他個(gè)體，個(gè)體對(duì)其鄰居的運(yùn)動(dòng)形態(tài)具備感知能力，感知范圍的大小將影響個(gè)體的鄰居個(gè)數(shù)。由此可見，感知范圍的大小對(duì)于模型的結(jié)果會(huì)有較大影響。為了分析感知范圍對(duì)結(jié)果的影響規(guī)律，本文選取了不同大小的感知范圍進(jìn)行運(yùn)算與仿真，得到如圖14所示的結(jié)果，圖中橫軸表示步數(shù)（運(yùn)行時(shí)間），縱軸表示有序度，其最大值為1表示區(qū)域內(nèi)的個(gè)體運(yùn)動(dòng)完全一致。圖15：感知區(qū)域的影響由圖像可知，感知范圍對(duì)于集群完成同步的速度有較大的影響，當(dāng)感知范圍較大時(shí)集群可以較快的從混亂隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榫邆湟欢ㄒ?guī)律的同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，反之感知范圍縮小將導(dǎo)致同步所需時(shí)間變長(zhǎng)，這一點(diǎn)對(duì)于動(dòng)物集群來(lái)說(shuō)是不利的，過(guò)慢的同步速度將導(dǎo)致個(gè)別個(gè)體脫離群體從而易被捕食者捕捉?？梢酝茰y(cè)當(dāng)感知范圍接近0時(shí)集群將無(wú)法同步，因?yàn)榇藭r(shí)個(gè)體不具備鄰居也不具備對(duì)其他個(gè)體的感知能力，其運(yùn)動(dòng)只有自己決定，集群將處在隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。7.2.結(jié)論綜合上面的分析，魚群的密度越大，每個(gè)個(gè)體的感知區(qū)域越大，整個(gè)魚群的收斂速度越快。而收斂速度越快，魚群抵御黑鰭礁鯊魚的能力越強(qiáng)。8.問(wèn)題三前文中所有模型對(duì)集群中的每個(gè)個(gè)體都看做是完全等價(jià)的，集群的復(fù)雜行為通過(guò)每個(gè)個(gè)體和與之相鄰的“鄰居”之間的相互作用實(shí)現(xiàn)。集群中不存在全局的通信機(jī)制或者集中控制中樞。這樣的處理方法雖然可以模擬出絕大多數(shù)的動(dòng)物集群行為如魚群通過(guò)漩渦游動(dòng)躲避捕食者，鳥群的集群隊(duì)形變換。但是，在現(xiàn)實(shí)的自然界中，一個(gè)集群通常都存在一個(gè)或多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者稱作leader。領(lǐng)導(dǎo)者通常掌握著食物源位置，遷徙路線等信息。在前文無(wú)leader的模型中加入leader可以通過(guò)它來(lái)引導(dǎo)整個(gè)集群的行為。假定系統(tǒng)中只有少數(shù)個(gè)體帶有目標(biāo)信息并作為leader存在，其他個(gè)體由于不具備全局觀念并不知道誰(shuí)是leader，這些非leader個(gè)體依然遵循前文中模型的規(guī)則，即在不改變?cè)邢到y(tǒng)中局部規(guī)則的前提下加入幾個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者來(lái)達(dá)到引導(dǎo)集群完成期望行為。對(duì)于原來(lái)系統(tǒng)中的個(gè)體而言，leader也只是一個(gè)普通的個(gè)體，它只通過(guò)與非leader相同的機(jī)制影響鄰居中的其他個(gè)體。Leader的唯一區(qū)別僅在于它掌握一定的信息（如