2023屆云南省昆明市第十二中學(xué)高三（重點(diǎn)班）下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆云南省昆明市高三（重點(diǎn)班）下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集的定義求解即可【詳解】由題，故選：C2．把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.3．已知是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.4．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】由已知，根據(jù)題中給出的圓的方程，寫出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長.【詳解】由已知，圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為.故選：A.5．2021年10月16日0時(shí)23分，長征二號F遙十三運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，秒后，神舟十三號載人飛船進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員送入太空．在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度滿足公式：，其中為火箭推進(jìn)劑質(zhì)量，為去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，為火箭發(fā)動機(jī)噴流相對火箭的速度．當(dāng)時(shí)，千米/秒．在保持不變的情況下，若噸，假設(shè)要使超過第一宇宙速度達(dá)到千米/秒，則至少約為（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．噸 B．噸 C．噸 D．噸【答案】B【分析】根據(jù)所給條件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，由，得，所以，解得（噸），即至少約為噸.故選：B6．已知雙曲線與圓在第二象限相交于點(diǎn)分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理得，結(jié)合雙曲線定義可求，可判斷為直角三角形，故可求M點(diǎn)坐標(biāo)，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求得a與b關(guān)系，故而求出離心率的值.【詳解】在中，∵，∴由正弦定理知，，又∵，∴，，∴在中，，，，∴，∴.設(shè)，則由等面積得：，即，∵在上，∴，∵在上，∴，即，即，即，即，即，即，即，∴.故選：C.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別得出，，從而得出答案．【詳解】令，則，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，所以，即．綜上，．故選：D．8．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)并因式分解得到，再令，進(jìn)而討論函數(shù)的單調(diào)性并求出最小值，然后討論和兩種情況分別求出原函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)，最后得到答案.【詳解】由題意，，，記，則，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.若，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，于是是函數(shù)的唯一極值點(diǎn).若，則，易知，于是時(shí)，；設(shè)，，即在上單調(diào)遞增，所以，則時(shí)，，此時(shí)，于是且時(shí)，.再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在兩個區(qū)間內(nèi)分別存在唯一一個零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.于是函數(shù)存在3個極值點(diǎn).綜上所述：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題難度較大，首先，注意對函數(shù)求完導(dǎo)之后要因式分解，題目要求為極值點(diǎn)，則盡量分解出，其次，在討論函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)可以借助函數(shù)的單調(diào)性和圖象進(jìn)行分析，這樣作為選擇題會很快得出答案.二、多選題9．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書中先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若，則下面結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則有最小值C．若，則D．若，則有最大值1【答案】ABD【分析】利用不等式性質(zhì)判斷A；利用“1”的妙用計(jì)算判斷B；確定b的取值范圍，求出范圍作答；利用均值不等式計(jì)算判斷D作答.【詳解】對于A，，則，即，A正確；對于B，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，B正確；對于C，，由得：，有，則，C不正確；對于D，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，D正確.故選：ABD10．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．的周長為B．（不重合時(shí)）平分C．面積的最大值為6D．當(dāng)時(shí)，直線與軌跡相切【答案】ABD【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得曲線的方程為，結(jié)合圓的周長公式，可判定A正確；求得，延長到，使，連結(jié)，得到，進(jìn)而求得，可判定B正確；利用三角形的面積公式和圓的性質(zhì)，可判定C錯誤；不妨取，求得直線的方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，且點(diǎn)滿足，可得，整理得，即曲線的方程為．對于A中，曲線為半徑為的圓，所以周長為，所以A正確；對于B中，因?yàn)?，所以，所以，延長到，使，連結(jié)，如圖所示，因?yàn)?，所以，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即平分，所以B正確．對于C中，由的面積為，要使得的面積最大，只需最大，由由點(diǎn)的軌跡為，可得，所以面積的最大值為，所以C錯誤；對于D中，當(dāng)時(shí)，或，不妨取，則直線，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，即直線與圓相切，所以D正確．故選：ABD．11．對于函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)極小值為，極大值為B．函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)為C．函數(shù)最小值為為，最大值D．函數(shù)存在兩個零點(diǎn)1和【答案】AD【分析】先求得的奇偶性，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和極值，即可判斷A、B、C的正誤；令，可得零點(diǎn)，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】的定義域?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以在上單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增，所以的極小值為，極大值為，故A正確；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)為，故B錯誤；在無最值，故C錯誤；令，解得，結(jié)合的單調(diào)性可得，存在兩個零點(diǎn)1和，故D正確.故選：AD12．已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．C． D．有100個零點(diǎn)【答案】ABD【分析】由題設(shè)有、、，即關(guān)于對稱且是周期為4的奇函數(shù)，利用周期性求、、，判斷A、B、C；再畫出與的函數(shù)部分圖象，數(shù)形結(jié)合法判斷它們的交點(diǎn)情況判斷D.【詳解】由題設(shè)，，即，關(guān)于對稱，A正確；又，則，即是周期為4的奇函數(shù)，由，即，，B正確；，，故，C錯誤；綜上，與的函數(shù)部分圖象如下：當(dāng)，過點(diǎn)，故時(shí)與無交點(diǎn)；由圖知：上與有1個交點(diǎn)；上的每個周期內(nèi)與有兩個交點(diǎn)，共有個交點(diǎn)；而與且，即時(shí)無交點(diǎn)；當(dāng)，過點(diǎn)，故時(shí)與無交點(diǎn)；由圖知：上與有3個交點(diǎn)；上的每個周期內(nèi)與有兩個交點(diǎn)，共有個交點(diǎn)；而與且，即時(shí)無交點(diǎn)；綜上，共有個零點(diǎn)，D正確.故選：ABD三、填空題13．過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程是__________．【答案】【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求解，從而設(shè)出切線方程，代入點(diǎn)計(jì)算，即可求出答案.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線方程為，代入，得，解得：，所以切線方程為，整理得：．故答案為：14．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖，這是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形—八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，將表示為關(guān)于的關(guān)系即可求出.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，過作軸，因?yàn)檎诉呅蜛BCDEFGH，所以是等腰直角三角形，所以,同理，過作軸，則,過作，則，所以，設(shè)，則，所以，，則，所以，其中表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)在正八邊形ABCDEFGH內(nèi)，所以的最小值為0，所以的最小值為.故答案為：.15．已知為復(fù)數(shù)，且，則的最大值為____________.【答案】【分析】由題意，設(shè)，得到，則，利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義，即可得解.【詳解】由題意設(shè)，則，，即，即的模的軌跡可理解為以為圓心，半徑為2的圓.則，可理解為求點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離，數(shù)形結(jié)合可知，的最大值為4．故答案為：四、雙空題16．已知是定義在區(qū)間的函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是___________；若方程有四個不相等的實(shí)數(shù)根，，，，則___________.【答案】

2，8

20【分析】解方程，即可求得函數(shù)的零點(diǎn)；將方程四個不相等的實(shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得結(jié)論；【詳解】由題意可知，令，即，解得或，故函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)為和；方程有四個不相等的實(shí)數(shù)根，，即為與的四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程即，，即，當(dāng)即時(shí)，方程可轉(zhuǎn)化為即；當(dāng)時(shí)，方程可轉(zhuǎn)化為即；故要有四個實(shí)數(shù)根，則兩種情況都有兩個不同的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為的兩根，則，則為的兩根，則，則；故答案為:2，8;20.五、解答題17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，求c．【答案】(1)(2)7【分析】（1）利用余弦定理進(jìn)行求解；（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，再使用正弦定理求解【詳解】（1）變形為：，所以，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)椋?，所以由正弦定理得：，即，解得?8．已知函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)已知，試討論的零點(diǎn)個數(shù)，并求對應(yīng)的m的取值范圍.【答案】(1)(2)或(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可.（2）根據(jù)（1）做出圖像，數(shù)形結(jié)合.（3）根據(jù)（1）做出圖像，數(shù)形結(jié)合.【詳解】（1）設(shè)，則∴∵為偶函數(shù)∴綜上，有（2）由（1）作出的圖像如圖：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，由圖可得或，解得或；故實(shí)數(shù)的取值范圍是或.（3）由（1）作出的圖像如圖：由圖像可知：當(dāng)時(shí)，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有四個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有六個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn).19．設(shè)函數(shù).(1)解方程；(2)設(shè)不等式的解集為，求函數(shù)的值域.【答案】(1)或(2)【分析】（1）化簡，由解得可得答案；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求出，化簡，令，轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)和的范圍可得答案.【詳解】（1），由得，解得或，所以或.所以方程的解是或；（2）由得，即，解得，，，令，所以，則為開口向上對稱軸為的拋物線，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?20．已知函數(shù)，再從下列條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.條件①：的最大值與最小值之和為；條件②：.(1)求的值；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)選①：；選②：.(2)選①或②，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，根據(jù)所選條件①或②可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得對應(yīng)的實(shí)數(shù)的值；（2）選①或②，由可得，解不等式即可得解.【詳解】（1）解：選①：，則，，由已知可得，解得，此時(shí).選②：，，解得，此時(shí).（2）解：選①：由可得，由，解得，故函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；選②：同①.21．已知點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn)，在雙曲線上，，的內(nèi)切圓為．(1)求曲線和的方程；(2)已知，過D作的兩條切線分別交于，兩點(diǎn)，證明：直線與相切．【答案】(1)，：；(2)證明見解析.【分析】(1)將B的坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求雙曲線方程；設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓的圓心和半徑即可求圓的方程．(2)設(shè)出圓的切線方程，利用點(diǎn)到直線距離等于半徑求出切線斜率滿足的方程，再將切線方程與雙曲線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可作答．【詳解】（1）由題知，∵在雙曲線上，∴，解得，∴雙曲線．由對稱性知，的圓心在x正半軸上，設(shè)的圓心，半徑為，則，AB所在直線方程為，即，則，則，解得，，∴的方程為．（2）依題意，過D且與圓M相切的直線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則有，即．設(shè)，，設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，則、是方程的兩個實(shí)根．由得：，①∵過點(diǎn)D的的切線與雙曲線交于兩點(diǎn)，∴，且，∵點(diǎn)在上，故2是方程①的一個根，是方程①的另外一個根；則根據(jù)韋達(dá)定理得，解得，而，于是得，同理，，因此直線的方程為，∵的圓心到直線的距離為1，∴直線與相切．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是注意到在雙曲線上，聯(lián)立切線方程和雙曲線方程后，借助韋達(dá)定理的兩根之積可快速求出和的橫坐標(biāo).求出切線斜率滿足的方程，從而求出和的縱坐標(biāo).22．已知函數(shù).(1)求出的極值點(diǎn)；(2)證明：對任意兩個正實(shí)數(shù)，且，若，則.【答案】(1)是的極小值點(diǎn)，