自動(dòng)控制原理第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

自動(dòng)控制原理第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第1頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對(duì)節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)是輸出支路，對(duì)輸出節(jié)點(diǎn)y來(lái)說(shuō)是輸入支路。節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)表示變量。以小圓圈表示。支路：連接節(jié)點(diǎn)之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號(hào)傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。信號(hào)流圖的概念2第2頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)[幾個(gè)術(shù)語(yǔ)]：輸出節(jié)點(diǎn)(阱點(diǎn))：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。如：C混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：E，P，Q。混合節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。它上面的信號(hào)是所有輸入支路引進(jìn)信號(hào)的疊加。通路：沿支路箭頭方向穿過(guò)各個(gè)相連支路的路線，起始點(diǎn)和終點(diǎn)都在節(jié)點(diǎn)上。若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，且起點(diǎn)和終點(diǎn)不是同一節(jié)點(diǎn)稱為開通路。起點(diǎn)在源點(diǎn)，終點(diǎn)在阱點(diǎn)的開通路叫前向通路。

輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如：R，N。3第3頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，但起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)的通路稱為回路?；ゲ唤佑|回路：回路之間沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，這種回路稱為互不接觸回路。信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益?；芈穫鬏?增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。4第4頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六信號(hào)流圖的等效變換串聯(lián)支路合并：并聯(lián)支路的合并：回路的消除：5第5頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六混合支路的清除：自回路的消除：信號(hào)流圖的等效變換6第6頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六信號(hào)流圖的性質(zhì)節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點(diǎn)自左向右順序設(shè)置，每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之代數(shù)和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向個(gè)支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。信號(hào)在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對(duì)于給定的系統(tǒng),節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此信號(hào)流圖不是唯一的信號(hào)流圖的性質(zhì)7第7頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六信號(hào)流圖的繪制[信號(hào)流圖的繪制]：⒈根據(jù)結(jié)構(gòu)圖例1已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上圖所示。然后畫出信號(hào)流圖如下圖所示。8第8頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六信號(hào)流圖的繪制⒉按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程為按方程可繪制信號(hào)流圖9第9頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六系統(tǒng)方塊圖解：①用小圓圈表示各變量對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)②在比較點(diǎn)之后的引出點(diǎn)只需在比較點(diǎn)后設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)便可。也即可以與它前面的比較點(diǎn)共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)。③在比較點(diǎn)之前的引出點(diǎn)B，需設(shè)置兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別表示引出點(diǎn)和比較點(diǎn)，注意圖中的畫出如所示系統(tǒng)方塊圖的信號(hào)流程圖。例110第10頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六梅遜公式

用梅遜公式可不必簡(jiǎn)化信號(hào)流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達(dá)式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù)；第k個(gè)前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計(jì)算公式為：二、梅遜公式11第11頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（正負(fù)號(hào)間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個(gè)回路傳輸乘積之和；

所有互不接觸回路中，每次取其中三個(gè)回路傳輸乘積之和；第k個(gè)前向通道的特征式的余子式；其值為中除去與第k個(gè)前向通道接觸的回路后的剩余部分；梅遜公式12第12頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六梅遜公式||例2[解]：前向通道有一條；有一個(gè)回路；[例2]求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計(jì)擾動(dòng)）13第13頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六梅遜公式||例3[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號(hào)流圖如下：[例3]：繪出兩級(jí)串聯(lián)RC電路的信號(hào)流圖并用Mason公式計(jì)算總傳遞函數(shù)。---14第14頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖中，有一個(gè)前向通道；有三個(gè)回路；有兩個(gè)互不接觸回路；（因?yàn)槿齻€(gè)回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：梅遜公式||例315第15頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六梅遜公式||例3討論：信號(hào)流圖中，a點(diǎn)和b點(diǎn)之間的傳輸為1，是否可以將該兩點(diǎn)合并。使得將兩個(gè)不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并。因?yàn)閍、b兩點(diǎn)的信號(hào)值不一樣。上圖中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。為什么？16第16頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六求如圖所示信號(hào)流圖的總增益例417第17頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(d)2x3x32231aaL=(e)2x4x4234232aaaL=4x443aL=(f)2x5x524534234aaaaL=5x(g)2x3x5235235aaaL=互不接觸44322312aaaL=互不接觸4452352325aaaaL=18第18頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六梅遜公式||例5[例5]：使用Mason公式計(jì)算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)[解]：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上。然后畫出信號(hào)流圖，如下：++--19第19頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六回路有三，分別為：有兩個(gè)不接觸回路，所以：梅遜公式||例5求：前向通道有二，分別為:20第20頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六梅遜公式||例5求：（藍(lán)線表示）不變。（紅線表示）注意：上面講不變，為什么？是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，特征表達(dá)式總是不變的，可以試著求一下。21第21頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例6求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)1R111-12G1G3G1-1CK-1-1?不接觸回路：L1L2，L2L3，L1L3，L4L3，L1L2L322第22頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1R111-12G1G3G1-1CK-1-123第23頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六24第24頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例7:求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)

解：有2個(gè)前向通路有5個(gè)單獨(dú)回路25第25頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六26第26頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六利用Mason求如圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：某系統(tǒng)的信號(hào)流圖例8542154612=GGGGP6前向通路有3個(gè)

27第27頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4個(gè)單獨(dú)回路互不接觸28第28頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六從原理圖畫系統(tǒng)方塊圖的方法方塊圖的簡(jiǎn)化基本連接方式串聯(lián)、并聯(lián)和反饋的簡(jiǎn)化比較點(diǎn)、分支點(diǎn)的移動(dòng)信號(hào)流圖及Mason總結(jié)29第29頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.3.5閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)30第30頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六31第31頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六補(bǔ)充脈沖響應(yīng)函數(shù)32第32頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

①理想單位脈沖函數(shù)：[定義]：，且，其積分面積為1。出現(xiàn)在時(shí)刻，積分面積為A的理想脈沖函數(shù)定義如下：且脈沖響應(yīng)函數(shù)表示零初始條件時(shí)，線性系統(tǒng)對(duì)理想單位脈沖輸入信號(hào)的響應(yīng)。它也是線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際單位脈沖函數(shù)：和當(dāng)時(shí)，脈沖函數(shù)33第33頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六以下討論線性控制系統(tǒng)在單位脈沖作用下的輸出響應(yīng)g(t)，稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。從上式可以看出，g(t)是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，它等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。g(t)與G(s)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。g(t)也是線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。故：[例2-16]：設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)是，求G(s)。[解]：脈沖響應(yīng)函數(shù)34第34頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六我們還可以不證明地表示出：利用脈沖響應(yīng)函數(shù)，可以求出在任何輸入x(t)下的輸出y(t)?；蚴街?，g(t)是脈沖響應(yīng)函數(shù)，上述兩式稱為卷積。表示為：用脈沖響應(yīng)函數(shù)表示輸出回憶拉氏變換的卷積定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以：Y(s)=X(s)G(s)35第35頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六則輸出：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)函數(shù)：②單位階躍響應(yīng)函數(shù)：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)函數(shù)也是線性控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。它是在單位階躍函數(shù)1(t)的作用下的輸出響應(yīng)h(t).單位階躍響應(yīng)函數(shù)36第36頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六③脈沖響應(yīng)函數(shù)和單位階躍響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)系：根據(jù)積分定理：當(dāng)零初值時(shí)，有37第37頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六小結(jié)脈沖響應(yīng)函數(shù)；脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系；單位階躍函數(shù)；脈沖響應(yīng)函數(shù)和單位階躍函數(shù)之間的關(guān)系。38第38頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六練習(xí)1：求G1G2＋－－＋REXY用Mason公式39第39頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期六把混合節(jié)點(diǎn)前的輸入信號(hào)斷開，使混合節(jié)點(diǎn)成為輸入節(jié)點(diǎn)，才可以使用Mason公式。M3的傳遞函數(shù)也可按改造后的信號(hào)流圖(如下)，用Mason公式。但計(jì)算M3時(shí)，不能直接利用Mason公式。40第40頁(yè)，共46頁(yè)，202