2023屆浙江省浙南名校、七彩陽光聯(lián)盟高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期2月返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆浙江省浙南名校、七彩陽光聯(lián)盟高三下學(xué)期2月返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合或，，則如圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡集合B，根據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.【詳解】，，，由圖可知陰影部分表示的集合是，故選：A.2．復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列關(guān)于的說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的虛部為 D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】C【分析】由已知求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可判斷各項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知的虛部為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故D正確.故選：C.3．2022年11月30日，我國神舟十五號(hào)載人飛船圓滿發(fā)射，并成功對(duì)接空間站組合體，據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，神舟十六號(hào)等更多的載人飛船正在測(cè)試準(zhǔn)備中，第**號(hào)載人飛船將從四名男航天員A，B，C，D與兩名女航天員E，F(xiàn)中選擇3人執(zhí)行飛天任務(wù)（假設(shè)每位航天員被選中的可能性相同），則其中有且僅有一名女航天員的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型及組合數(shù)求解即可.【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)選取3人共有種選法，其中有且僅有一名女航天員的選法有種，根據(jù)古典概型可得，故選：C4．將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖像與的圖像重合，則有（

）A． B．C．是函數(shù)的對(duì)稱軸 D．是函數(shù)的對(duì)稱中心【答案】B【分析】根據(jù)題意可得：，，然后根據(jù)三角函數(shù)的變換即可求解.【詳解】由題意，，所以，又，所以，，，所以為對(duì)稱中心，為對(duì)稱軸.故選：.5．已知p，q是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，其中，則的值（

）A．僅與a有關(guān) B．僅與b有關(guān)C．與ab均有關(guān) D．是與ab無關(guān)的定值【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，及滿足方程化簡后可求解.【詳解】因?yàn)閜，q是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，所以由韋達(dá)定理得，又，所以，同理，所以.故選：D6．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，分別為的重心和內(nèi)心，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由題意設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切于，可推出，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合數(shù)量積的幾何意義，化簡求值，可得答案.【詳解】由橢圓可得，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切與，分別為的重心和內(nèi)心，則，，，所以,所以，故選：B7．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先構(gòu)造函數(shù)，和并分析單調(diào)性得出，時(shí)，，并取特殊值得出，根據(jù)構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性分析即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，在時(shí)，，在時(shí)，，所以，即，所以對(duì)任意均成立.取，有，所以.再取，可得，兩邊取倒數(shù)，即，所以，又當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，，即和在均遞增，所以，，即時(shí)，，所以，由在單調(diào)遞增，可得，即.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:(1)對(duì)于實(shí)數(shù)比較大小我們通常觀察式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性分析.(2)作差法是比較兩個(gè)數(shù)值大小最常用的方法，看其值是正還是負(fù)，從而確定所比較的大小.(3)當(dāng)直接無法比較的時(shí)候，往往需要取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤睌?shù)（通常以“0”，或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)比較，從而間接得出兩數(shù)的大小.8．2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），把到定點(diǎn)和距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，記為Γ，已知為雙紐線Γ上任意一點(diǎn)，有下列命題：①雙紐線Γ的方程為；②面積最大值為；③；④的最大值為．其中所有正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】由已知，代入坐標(biāo)整理即可得出方程，判斷①；根據(jù)正弦定理，結(jié)合已知條件，即可判斷②；根據(jù)面積公式，結(jié)合②的結(jié)論，即可判斷③；根據(jù)余弦定理，以及向量可推得，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由定義，即，即，整理可得，所以雙紐線Γ的方程為，故①正確；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)椋?，故③正確；對(duì)于④，中，由余弦定理可得，所以.又因?yàn)?，所?所以，，即，整理可得，所以，故④正確.故選：D.二、多選題9．正方體中，與平面，平面的分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則有（

）A． B．C．與所成角為 D．與平面所成角為【答案】ABD【分析】利用線線垂直證明線面垂直，再利用線面垂直證明線線垂直判斷A項(xiàng)；根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換，即可求點(diǎn)B到面的距離，進(jìn)而判斷B項(xiàng)；把異面直線平移到同一個(gè)平面即可判斷C項(xiàng)；可證平面，則直線與平面所成的角為，即可判斷D項(xiàng)．【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，∵平面，∴，又，且，平面，平面，∴平面，又平面，∴，故A正確；對(duì)B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A知，，又平面，平面，∴，且，平面，平面，∴平面，即平面，同理平面，故點(diǎn)到面的距離為.設(shè)正方體棱長為2，因?yàn)闉檎切?，所以，?根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：，即，即，所以，同理，又，∴，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)，∵，∴（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，∵四邊形為正方形，∴，∴與所成角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，∵平面，∴，又，且，平面，平面，∴平面，設(shè)，則平面，連接，如圖由線面角的定義知，為與平面所成角，設(shè)正方體棱長為2，則，，∴，∵，∴，∴與平面所成角為，故D正確；故選：ABD.10．定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心．已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)既有極大值又有極小值C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．過可以作三條直線與圖像相切【答案】AB【分析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的定義與的對(duì)稱中心，建立方程求出可判斷A，再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷的極值，從而判斷B，根據(jù)的單調(diào)性及的極值可判斷C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的切線方程，從而轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)個(gè)數(shù)問題即可判斷D.【詳解】，，，即，解得，故A正確；，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以既有極大值又有極小值，故B正確；由選項(xiàng)B可知在與處取得極大值與極小值，又，，即的極大值與極小值大于0，所以函數(shù)不會(huì)有3個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過，則，化簡得，即，解得或，即滿足題意的切點(diǎn)只有兩個(gè)，所以滿足題意只有兩條切線，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．如圖，過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M，過A，B，M分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、、N．則有（

）A．以AB為直徑的圓與相切于點(diǎn)N B．C． D．的最小值為8【答案】ABC【分析】由于可判斷A，設(shè)l的方程為與聯(lián)立可得即可判斷B，根據(jù)焦半徑公式及均值不等式可判斷C，D．【詳解】，說明N在以AB為直徑的圓上，又，所以A正確；設(shè)l的方程為與聯(lián)立可得，所以，，，，，則，所以，所以，B正確；，C正確；，則，中，，，由射影定理可得，則當(dāng)且儀當(dāng)時(shí)取到，而，D錯(cuò)誤．故選：ABC12．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和．若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．C． D．【答案】BC【分析】由得，結(jié)合得，即可令求得.對(duì)A，由可判斷其對(duì)稱性；對(duì)C，由為奇函數(shù)可得的周期、對(duì)稱性及特殊值，從而化簡；對(duì)BD，由，結(jié)合C即可判斷.【詳解】對(duì)A，∵，則，則，又，所以，令，可得，即.所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，A錯(cuò)；對(duì)C，∵為奇函數(shù)，則圖像關(guān)于對(duì)稱，且，∴，，，，∴.又，∴，∴的周期，∴，C對(duì)；對(duì)B，，則是周期的函數(shù)，，B對(duì)；對(duì)D，，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題13．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為27，則含項(xiàng)的系數(shù)為________．（用具體數(shù)字作答）【答案】6【分析】利用賦值法可求得，再將三項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)根據(jù)項(xiàng)的組成分別計(jì)算即可得其系數(shù).【詳解】令，可得，所以，則的展開式中只有和中含項(xiàng)，分別為和，故其系數(shù)為.故答案為：614．已知為圓內(nèi)一點(diǎn)，AB，CD是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條弦，則四邊形ABCD面積S的最大值為________．【答案】6【分析】根據(jù)圓的半徑、半弦長、弦心距的關(guān)系及矩形的面積公式得到矩形面積的表達(dá)式，再利用均值不等式求最值即可.【詳解】設(shè)圓心O到直線AB，CD的距離分別為，則，，所以，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.故答案為：615．三棱錐內(nèi)接于半徑為的球O，且，則三棱錐體積的最大值為________．【答案】【分析】設(shè)O到CD的距離為，點(diǎn)M到直線CD的距離為d，則，所以，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出面積最大值，從而根據(jù)錐體的體積公式即可求解．【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)為M，則，設(shè)O到CD的距離為，點(diǎn)M到直線CD的距離為d，A，B兩點(diǎn)到平面MCD的距離分別為，則，，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且平面MCD時(shí)取等號(hào)．故答案為：16．已知曲線與的兩條公切線的夾角正切值為，則________．【答案】【分析】由兩曲線互為反函數(shù)，結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)及正切函數(shù)倍角公式，可求得兩條公切線的夾角一半的正切值，即可求得直線AD的斜率.設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)法分別就A、D兩點(diǎn)求同一條切線方程，從而建立方程，化簡求值.【詳解】與互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線對(duì)稱，如圖所示，由題意，兩條公切線的夾角正切值為，解得或，又為銳角，所以.由對(duì)稱性，不妨取AD直線進(jìn)行研究，則直線AD的傾斜角，.設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，則，，∴，即.所以，，，即.∴，則，即，則，所以，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：公切線問題，一般可在兩曲線上設(shè)出切點(diǎn)，分別求出切線，利用兩切線為同一條切線得出方程，從而進(jìn)一步求解.四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，記．(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值．【答案】(1)證明見解析，；(2).【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系可得，，進(jìn)而可推得，即，求出，可得出，即可得出，進(jìn)而得出；（2）作差可得，通過研究函數(shù)的性質(zhì)，即可得出時(shí)，單調(diào)遞減，進(jìn)而求出的值，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，①，當(dāng)時(shí)，有②，①-②整理可得，，所以，即，又，所以，所以，，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則；（2）由（1）可知，，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以要求的最大值，先比較與的大小，令，則，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.且時(shí)，有，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以單調(diào)遞增.又，，所以時(shí)，，所以時(shí)，有，即單調(diào)遞減，又，，，，，所以最大，此時(shí).18．如圖，平面四邊形ABCD中，，，．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求四邊形ABCD的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，進(jìn)而得到A，B，C，D四點(diǎn)共圓，利用正弦理即可求解.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和輔助角公式以及正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以.因?yàn)?，所以，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則四邊形ABCD的外接圓半徑就等于外接圓的半徑.又，所以.（2）由（1）可知：，則.，則.在中，由正弦定理，，所以，，則，又，所以，所以，，所以.19．已知四邊形ABCD中，，，O是AC的中點(diǎn)，將沿AC翻折至．(1)若，證明：平面ACD；(2)若D到平面PAC的距離為，求平面PAC與平面ACD夾角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)由題目已知可得出平面PAC，從而得到，再由等腰三角形性質(zhì)可得，進(jìn)而得出結(jié)論.(2)取CD中點(diǎn)F并連接OF，PF，可得出所求二面角，再利用已知條件，構(gòu)建直角三角形，即可計(jì)算兩平面的夾角.【詳解】（1）中，，，，所以，則，又，所以平面PAC，平面PAC，所以.又因?yàn)?，O是AC的中點(diǎn)，所以，，所以平面ACD.（2）取CD中點(diǎn)F，連接OF，PF，在中過F作FG垂直于PO，垂足為G，，則，又因?yàn)?，所以為平面PAC與平面ACD夾角，所以平面POF，又平面POF，所以，又，所以平面PAC，所以FG就是點(diǎn)F到平面PAC的距離，因?yàn)辄c(diǎn)D到平面PAC的距離為，又由F為CD中點(diǎn)，所以F到平面PAC的距離為.中，，因?yàn)辄c(diǎn)可能在上，也可能在的延長線上，所以或，所以平面PAC與平面ACD所成角不會(huì)是鈍角，所以大小為.20．近年來，各平臺(tái)短視頻、網(wǎng)絡(luò)直播等以其視聽化自我表達(dá)、群圈化分享推送、隨時(shí)隨地傳播、碎片化時(shí)間觀看等特點(diǎn)深受人們喜愛，吸引了眼球賺足了流量，與此同時(shí)，也存在功能失范、網(wǎng)紅亂象、打賞過度、違規(guī)營利、惡意營銷等問題．為促使短視頻、網(wǎng)絡(luò)直播等文明、健康，有序發(fā)展，依據(jù)《網(wǎng)絡(luò)短視頻平臺(tái)管理規(guī)范》、《網(wǎng)絡(luò)短視頻內(nèi)容審核標(biāo)準(zhǔn)細(xì)則》等法律法規(guī)，某市網(wǎng)信辦、稅務(wù)局、市場(chǎng)監(jiān)督管理局聯(lián)合對(duì)屬地內(nèi)短視頻制作、網(wǎng)絡(luò)直播進(jìn)行審查與監(jiān)管．(1)對(duì)短視頻、網(wǎng)絡(luò)直播的整體審查包括總體規(guī)范、賬戶管理、內(nèi)容管理等三個(gè)環(huán)節(jié)，三個(gè)環(huán)節(jié)均通過審查才能通過整體審查．設(shè)某短視頻制作團(tuán)隊(duì)在這三個(gè)環(huán)節(jié)是否通過審查互不影響，且各環(huán)節(jié)不能通過審查的概率分別為．①求該團(tuán)不能通過整體審查的概率：②設(shè)該團(tuán)隊(duì)通過整體審查后，還要進(jìn)入技術(shù)技能檢測(cè)環(huán)節(jié)，若已知該團(tuán)隊(duì)最終通過整體審查和技術(shù)技能檢測(cè)的概率為35%，求該團(tuán)隊(duì)在已經(jīng)通過整體審查的條件下通過技術(shù)技能檢測(cè)的概率；(2)某團(tuán)隊(duì)為提高觀眾點(diǎn)擊其視頻的流量，通過觀眾對(duì)其視頻的評(píng)論分析來優(yōu)化自己的創(chuàng)作質(zhì)量，現(xiàn)有100條評(píng)論數(shù)據(jù)如下表：對(duì)視頻作品否滿意時(shí)間合計(jì)改拍前視頻改拍后視頻滿意285785不滿意12315合計(jì)4060100試問是否有99.9%的把握可以認(rèn)為觀眾對(duì)該視頻的滿意度與該視頻改拍相關(guān)程度有關(guān)聯(lián)？參考公式：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)①；②(2)有【分析】（1）利用對(duì)立事件性質(zhì)與條件概率公式即可求解；（2）代入公式即可求出值，再與表格數(shù)據(jù)對(duì)比即可求解.【詳解】（1）①由題意該團(tuán)隊(duì)不能通過審查的概率為：；②假設(shè)該團(tuán)隊(duì)通過審查的事件為A.通過技術(shù)技能檢測(cè)的事件為B，則由題意，，，則；（2）根據(jù)題意得，所以有99.9%的把握可以認(rèn)為觀眾對(duì)該視頻的滿意度與該視頻改拍相關(guān)程度有關(guān)聯(lián).21．已知點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過F的任一直線l與交于A，B兩點(diǎn)，直線．(1)若為曲線上任一點(diǎn)，且M到直線的距離為d，求的值；(2)若為曲線上一點(diǎn)，直線MA，MB分別與直線交于D，E兩點(diǎn)，問以線段DE為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，或【分析】（1）得到焦點(diǎn)，計(jì)算出與，相比后得到答案；（2）方法一：設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，得到直線MA的方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性可知，定點(diǎn)P一定在x軸上，設(shè)為，由得到，求出或，故線段DE為直徑的圓過定點(diǎn)，或；方法二：在第一問基礎(chǔ)上，作出輔助線，得到，由正弦定理求出，F(xiàn)D是的角平分線，同理可得，F(xiàn)E是的角平分線，.所以，即，故以DE為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，也滿足條件.【詳解】（1）由題意得：，故．（2）方法一：設(shè)直線l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得：，設(shè)，則，.直線MA的方程為，令，可得，所以，同理.由對(duì)稱性可知，定點(diǎn)P一定在x軸上，不妨設(shè)為，則，，則，所以，則或.所以線段DE為直徑的圓過定點(diǎn)，或.方法二：分別過點(diǎn)作⊥直線于點(diǎn)，⊥直線于點(diǎn)，過作⊥直線于點(diǎn)，連接，由（1）結(jié)論可知：，則有，再由，可得，所以，在中，由正弦定理得：，即，在中，由正弦定理得：，即，故，因?yàn)?，所以，，顯然，所以，說明FD是的角平分線，同理可得，F(xiàn)E是的角平分線，.所以，即.故以DE為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，也滿足條件.【點(diǎn)睛】圓過定點(diǎn)問題常見策略，方法一：通法，引入?yún)⒆兞浚⑶€方程，通常要求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的和與積，再利用直徑所對(duì)的角為直角，采用