《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(謝永欽)課后習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案

習(xí)題一

4.設(shè)/,6為隨機(jī)事件，且尸（⑷=0.7,夕（/氏=0.3,求尸（而）.

【解】PCXB）=1P（AB）=1[尸（1）P（A百]=1[0.70.3]=0.6

6.設(shè)4B,C為三事件，且尸（4）=尸（8）=1/4,P9=1/3且尸（48）=P（BC）=0P（AO=1/12,求4B,C至少有一事件發(fā)生的概率.

【解】尸3U6UC）="（4）+尸（0+尸（。P（Aff）P〈BOP｛AC）+P｛ABC）=-+-+--—=-

443124

8.1）求五個(gè)人的生日都在星期日的概率；（2）求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3）求五個(gè)人的生日

不都在星期日的概率.

【解】（1）設(shè)4=｛五個(gè)人的生日都在星期日｝,基本事件總數(shù)為7、有利事件僅1個(gè)，故尸（4）=±=（-）（亦可用獨(dú)立性求解，下同）

7-7

￡56

（2）設(shè)4=｛五個(gè)人生日都不在星期日｝,有利事件數(shù)為6‘，故尸（"）='=（一尸

757

（3）設(shè)4=｛五個(gè)人的生日不都在星期日｝―（4）=1尸（4）=1（-）5

7

10.一批產(chǎn)品共N件，其中"件正品.從中隨機(jī)地取出〃件（水A。.試求其中恰有必件（而Wm正品（記為4）的概率.1）〃件是同時(shí)取出的；

（2）n3）〃件是有放回逐件取出的.

【解】⑴P（A）=C%C禺,/c%

（2）由于是無(wú)放回逐件取出，可用排列法計(jì)算.樣本點(diǎn)總數(shù)有P；；種，〃次抽取中有如次為正品的組合數(shù)為C；種.對(duì)于固定的一種正品與次品的抽取次序，從

Tyn-nt

〃件正品中取0件的排列數(shù)有P；；種，從“"件次品中取〃）件的排列數(shù)為種,故P（/）

~PT

由于無(wú)放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成尸（/）-cF

可以看出，用第二種方法簡(jiǎn)便得多.

（3）由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為“種，〃次抽取中有如次為正品的組合數(shù)為C；種，對(duì)于固定的一種正、次品的

抽取次序，〃次取得正品，都有〃種取法，共有〃種取法必次取得次品，每次都有小〃種取法，共有（N加""種取法，故P（A）=C：M"'（N—M￥f/N"

此題也可用貝努里概型，共做了〃重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為！，則取得w件正品的概率為P（A）=C；[?）1—（J

12.50只佛釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件上，其中有3個(gè)鉀釘強(qiáng)度太弱.每個(gè)部件用3只釧釘.若將3只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)

度就太弱.求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

【解】設(shè)上｛發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱｝P（A）=CoC；/C：o=」一

'1960

13.7個(gè)球.其中4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取3個(gè)，計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.

C2cd1RC3422

【解】設(shè)4=｛恰有，個(gè)白球｝（2=2,3）,顯然4與4互斥.p（A）=W=二故P（A4）=P（4）+P（4）=忑

^^735G35235

14.0.8和0.7,在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求：（1）兩粒都發(fā)芽的概率；（2）至少有一粒發(fā)芽的概率；（3）恰有

一粒發(fā)芽的概率.

【解】設(shè)4=｛第/批種子中的一粒發(fā)芽｝,（1=1,2）(1)尸(44)=尸(A)尸(4)=0.7x0.8=0.56(2)P(A&)=0.7+0.8—0.7x0.8=0.94

(3)P(A,A2^A,)=0.8x0.3+0.2x().7=0.38

15.3次正面才停止.（1）問(wèn)正好在第6次停止的概率；（2）問(wèn)正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.

吟5L

【解】（1）⑵Pi

5/325

16.0.7及0.6,每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率.

[解設(shè)4={甲進(jìn)，球},2=0,1,2,3,5,={乙進(jìn)，球),7=0,1,2,3,則

3

P(4綜)=(0.3)3(0.4)3+C；0.7X(0.3)2C；0.6X(0.4)2+C；(0.7)2x0.3C；(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.32076

i=0

18.0.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1）在下雨條件下下雪的概率；（2）這天下雨或下雪的概率.

【解】設(shè)力=｛下雨｝,田｛下雪｝.(1)p(B\A)=P[AB>=—=0.2(2)p(AB)=P(A)+P(B)—P(A5)=0.3+0.5—0.1=0.7

P(A)0.5

19.3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.

_6/8_6

【解】設(shè)片｛其中一個(gè)為女孩｝,作｛至少有一個(gè)男孩｝,樣本點(diǎn)總數(shù)為2'8,故尸網(wǎng)A）

P(A)-778-7

或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.P（B|A）=|

20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問(wèn)此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.

P(AB)P(A)P(B|A)0.5x0.0520

【解】

設(shè)左｛此人是男人｝,廬｛此人是色盲｝,則由貝葉斯公式P(A|B)=-

P(B)P⑷P(B|A)+P(A)P(B|A)0.5x0.05+0.5x0.00252?

21.9：00^10:00在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率.

題21圖題22圖

2

【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0Wx,yW60.事件“一人要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于＞30.如圖陰影部分所示.P=二30一=—1

60-4

0,1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：（1）兩個(gè)數(shù)之和小于9的概率；（2）兩個(gè)數(shù)之積小于‘的概率.

22.

54

144

6

'=1一”『068

【解】設(shè)兩數(shù)為x,y,則0<x,y<L(1)A+7<—.

(2)xy=^<—.〃2=1-1］：必￡4y=-+-ln2

4\44x>42

23.0（A）=0.3,P（歷=0.4,KAB）=0.5,求P（6I/U8）

【解】P（如」一）"（“）.=0.7-0.54

1P（AB）P（A）+P（8）-P（A8）0.7+0.6-0.54

24.15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中：第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次

取出的3個(gè)球均為新球的概率.

【解】設(shè)月產(chǎn)｛第一次取出的3個(gè)球中有f個(gè)新球｝,了=0,1,2,3.斤（第二次取出的3球均為新球｝

由全概率公式，有P（B）=fp（8|4）P（4）=W?W+上乎?W+*?工=0089

i=°~5^15j5L]5J5^15^15^15

25.按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)

習(xí)的，試問(wèn)：

（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？

【解】設(shè)左｛被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的｝,則人=｛被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的｝.由題意知一（/）=0.8,尸（A）=0.2,又設(shè)爐｛被調(diào)查學(xué)生考試及格｝.由題

P(AB)P(A)P(B|A)02x0.1

意知P（創(chuàng)/）=0.9,一（B|A）=0.9,故由貝葉斯公式知(1)P(A\B)—=0.02702

P(B)P(A)P(8|A)+P(A)P(雨)0.8x0.9+0.2x0.137

即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%

P(通)RA)P(同A)O.8xO.l4

⑵P(A同=—=0.3077

P(aP(A)P(B\A)+P(A)P(B^A)0.8x0.1+0.2X0.913

即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.

26.將兩信息分別編碼為力和6傳遞出來(lái)，接收站收到時(shí)，4被誤收作6的概率為0.02,而6被誤收作/的概率為0.01.信息力與6傳遞的頻繁程度為2：

1.若接收站收到的信息是A,試問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？

【解】設(shè)a｛原發(fā)信息是⑷，則=｛原發(fā)信息是因?。盏叫畔⑹?,則=｛收到信息是向

P⑷P(C|4)2/3xO.XOXo.O^0-99492

由貝葉斯公式，得「（A|C）=

P（A）P（C|A）+P（N）P（CB）

27.

【解】設(shè)4=｛箱中原有/個(gè)白球｝（j=0,1,2）,由題設(shè)條件知一（4）=；,片0,1,2.又設(shè)田｛抽出一球?yàn)榘浊颍?由貝葉斯公式知

p（AB）_P（B|AJP（A）273x1/31

P（AW）

P(B)￡p(用A,)p(d)l/3xl/3+2/3xl/3+lxl/33

z=O

28.96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02,一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05,求在被檢查

后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.

【解】設(shè)上｛產(chǎn)品確為合格品｝,莊｛產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品｝

P(AB)P(A)P(8|A)0.96x0.98

由貝葉斯公式得P（A忸）0.998

P(B)P(A)P(同A)+P(A)P(6|A)0.96x0.98+0.04x0.05

29..統(tǒng)計(jì)資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；

如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%“一般的”占50%,“冒失的”占30%,現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，貝I他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？

【解】設(shè)片｛該客戶是“謹(jǐn)慎的”｝，爐｛該客戶是“一般的”｝,CM該客戶是''冒失的”｝，方｛該客戶在一年內(nèi)出了事故｝

P(AD)P(A)P(D[A)0.2x0.05

則由貝葉斯公式得尸（A|O）=0.057

PCD)P(A)尸(。|A)+P(8)P(O|5)+尸(C)P(O|C)0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3

30.￡L02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來(lái)的零

件的次品率.

4__________________

【解】設(shè)4=(第，道工序出次品｝(片1,2,3,4).P(4)=1-尸(A/24A4)=1—P(A)P(4)P(A)P(A)=1-0.98x0.97x0.95x0.97=0.124

Z=1

31.0.2,問(wèn)至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?

【解】設(shè)必須進(jìn)行〃次獨(dú)立射擊.1—(0.8)">0.9

即為(0.8)“<0.1故

至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.

32.尸TI8)=P｛AIB),則46相互獨(dú)立.

【證】P(A|B)=P(A|5)即P亦即P(AB)P(B)=P(AB)P(B)P(AB)[1-P(B)]=[P(A)-

P(8)P(B)

因此尸(A8)=P(A)P(B)故/與8相互獨(dú)立.

33.求將此密碼破譯出的概率.

534

3-------———423

【解】設(shè)4=｛第7人能破譯｝1=1,2,3),則P(J)=l—P(A&4)=1—P(A)P(4)P(4)=1—：=0.6

34.0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)

被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.

【解】設(shè)片｛飛機(jī)被擊落｝,8=｛恰有i人擊中飛機(jī)｝，7=0,1,2,3

3

由全概率公式，得P(A)=ZP(A同尸四>(0.4X0,5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X

i=O

0.7)0.6+0.4X0.5X0.7=0.458

35.為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反

之則認(rèn)為無(wú)效，求：

(1)雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%,但通過(guò)試驗(yàn)被否定的概率.(2)新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.

310

10-

【解】(1)p|二工喘(0.35)氣0.65產(chǎn)￡=0.5138⑵p2=^^0(0.25)*(0.75)*=0.2241

k=0k=4

36.乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：(1)走“某指定的一層有兩位乘客離開(kāi)”；(2)比“沒(méi)

有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開(kāi)”：(3)用''恰有兩位乘客在同一層離開(kāi)"；(4)分”至少有兩位乘客在同一層離開(kāi)”.

【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開(kāi)，故所有可能結(jié)果為106種.(1)P(A)=帶也可由6重貝努里模型：P(A)=C；(5)2(?)4

P6

(2)6個(gè)人在十層中任意六層離開(kāi)，故P(B)=*(3)由于沒(méi)有規(guī)定在哪一層離開(kāi)，故可在十層中的任一層離開(kāi)，有C；。種可能結(jié)果，再?gòu)牧酥?/p>

選二人在該層離開(kāi)，有C；種離開(kāi)方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開(kāi)的情況，因此可包含以下三種離開(kāi)方式：①4人中有3個(gè)人在同一層離開(kāi)，另一人

在其余8層中任一層離開(kāi)，共有種可能結(jié)果；②4人同時(shí)離開(kāi)，有C；種可能結(jié)果；③4個(gè)人都不在同一層離開(kāi)，有用種可能結(jié)果，故

尸(Q=C；°C：(C；C；C；+C；+片)/1。6

—p6

(4)D=B.故P(D)=1—P(B)=1-祥

37.〃個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

(3)如果〃個(gè)人并排坐在長(zhǎng)桌的一邊，求上述事件的概率.

,、1,、3!(/?-3)!c,、，(//-I)!1，3!(〃一2)!一

【解】(1)Pi=----(2)p,=-------,〃>3(3)P]=-------=—；〃，=---------,n>3

n-\(zj-l)!n\nn\

38.[0,a]

x+y>a-x-y

【解】設(shè)這三段長(zhǎng)分別為％%ax%則基本事件集為由0<Xa,0<y<a,0<ax水a(chǎn)所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由x+(a-x-y)>y

y+(a-x-y)>x

構(gòu)成的圖形，即0<y<-如圖陰影部分所示，故所求概率為〃=』.

24

a

—<x+y<a

2-

39.某人有〃把鑰匙，其中只有一把能開(kāi)他的門.他逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_(kāi)(抽樣是無(wú)放回的).證明試開(kāi)4次(A=l,2,…，加才能把門打開(kāi)的概率與A無(wú)關(guān).

【證】

n

40.把一個(gè)表面涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出一個(gè)，試求它有，面涂有顏色的概率尸(4)(了=0,1,2,3).

【解】設(shè)4=｛小立方體有了面涂有顏色｝,7=0,1,2,3.

在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個(gè).只有位于原立方體的棱上(除去八個(gè)角外)

的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12X8=96個(gè).同理，原立方體的六個(gè)面上(除去棱)的小立方體是一面涂色的，共有8X8X6=384個(gè).其余

c12384

1000(8+96+384)=512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無(wú)色的，故所求概率為尸(4)=——=0.512,P(A)=——=0.384,

“100011000

8

m)=-=0.096,P(A)=0.008.

4TOGO

41.對(duì)任意的隨機(jī)事件4B,C

P(AB)+P(AOP(BOW?(力).

【證】P(A)>P[A(BC)]=P(ABAC)=P｛AB)+P(AC)-P(ABC)>+P(AC)-P(BC)

42.3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3的概率.

【解】設(shè)4=｛杯中球的最大個(gè)數(shù)為丹，片1,2,3.

3

將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有4：'種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí)，每個(gè)杯中最多放一球，故P(A)=呼C31=?3

48

C11

而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3,即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故P（AJ=W=—

34316

319

因此P（A）=I-P（A）-/＞（A）=I---—=—

81616

或尸（&）=」/上=而

43.2〃次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.

【解】擲2〃次硬幣，可能出現(xiàn)：上｛正面次數(shù)多于反面次數(shù)｝,比｛正面次數(shù)少于反面次數(shù)｝,e｛正面次數(shù)等于反面次數(shù)｝,A,B,。兩兩互斥.

可用對(duì)稱性來(lái)解決.由于硬幣是均勻的，故-（/）=尸（#.所以P（A）J一0?

2

由2〃重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)〃次的概率為P（C）=C±§）"（；）"故

44.〃次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.

【解】設(shè)]=｛出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)｝,代｛出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)｝,由對(duì)稱性知產(chǎn)（4=P（B）

121

（1）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，正、反面次數(shù)不會(huì)相等.由一（力）+?（6）=1得P3）=尸（皮=0.5（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，由上題知P（A）=—口―C：（—）"]

22

45.戶1次，乙擲〃次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.

【解】令甲產(chǎn)甲擲出的正面次數(shù)，甲*甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).

顯然有（甲正〉乙正）=（甲乙乙正）=（加1甲反乙反）=（甲反21+乙反）=（甲反〉乙反）

由對(duì)稱性知一（甲正＞乙無(wú)）=尸（甲反〉乙反）因此P（甲匯＞乙市）=—

2

46.Surething）：若一（川O，尸（80,尸》尸（0C）,則尸（4）》尸（0.

【證】由一（4|C）》尸（8。，得P（AC,J（BC）即有P（AC）＞P（BC）

P（C）P（C）

同理由P(A\C)>P(B\C\得P(AC)>P(BC),

故P(A)=P(AQ+P(AQ>P(BC)+P(BQ=P(B)

47.一列火車共有〃節(jié)車廂，有個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.

…呼=(-

p(4A)=a二y

【解】設(shè)力產(chǎn)｛第，.節(jié)車廂是空的｝，（戶1,?“,〃），則

M—1

P(A-(―

s產(chǎn)￡p(a)=〃a-與=c：(i-3

/=i〃n

7

s?=ZP(44)=C：(1——)A

其中九I是1,2,"中的任〃1個(gè).顯然〃節(jié)車廂全空的概率是零，于是

s,T=EP(4A&,)47(1—3)，

n

區(qū)K2V**

s“二o

P("4)=S「S,+S3-+(-i)n+'s?

/=1

nnn

故所求概率為I-P（Z，A）=i-c',（i--）/;+c^（i--）/-+（-i）n+,c;;-'（i--/

>=innn

48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為e>0.試證明：不論e>0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則/遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.

【證】

在前〃次試驗(yàn)中，4至少出現(xiàn)一次的概率為1—(1—￡)”-1("-8)

49.袋中裝有0只正品硬幣，〃只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽).在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽.試問(wèn)這只硬幣是正品的

概率是多少？

【解】設(shè)片｛投擲硬幣r次都得到國(guó)徽｝田｛這只硬幣為正品｝

由題知P(B)=/一,P(初P(A|B)==P(A|B)=1

m+n

P(AB)P(B)P(A|B)

則由貝葉斯公式知P(B|A)=〃2’

P(A)尸(B)P(A|B)+P(8)P(A|B)jn〃?m+21n

m+n

50.巴拿赫(Banach)火柴盒問(wèn)題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有/V根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一

盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)(不是發(fā)現(xiàn)空)而另一盒恰有r根的概率又有

【解】以瓜、民記火柴取自不同兩盒的事件，則有P(BJ=2(&)=；.(1)發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說(shuō)明已取了2〃r次，設(shè)〃次取自區(qū)盒(已

空),〃r次取自泥盒，第2〃戶1次拿起5,發(fā)現(xiàn)已空。把取2〃r次火柴視作2〃r重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為8=2《,一,(3)"(；)"▼；=C：7.去

式中2反映8,與區(qū)盒的對(duì)稱性(即也可以是氏盒先取空).

(2)前2〃r1次取火柴，有〃1次取自a盒，〃r次取自旦盒，第2〃r次取自8盒，故概率為外=2C：二g=C，二(g產(chǎn)一^

51.〃重貝努里試驗(yàn)中力出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.

【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中1出現(xiàn)的概率為p.則由q+p)”=Cp°g"+C：pq"T+C：p2q"2++c：p"q°=l

(q-p)"=Cp°q"+C：pq"T+C>2^2-+(—l)”C：pZ°

以上兩式相減得所求概率為p,=cX'+c>v-3+=-n-(<?-p)n]=-[i-(i-2p)n]

n

若要求在〃重貝努里試驗(yàn)中/出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得p2=-[l+(l-2p)].

52.設(shè)/,8是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求尸｛(A+6)(4+8)(A+B)T+B)｝的值.

【解】因?yàn)?4U6)n(AUB)=H8uA6(AU6)CTU8)=46UAB

所求4+5)(4+5)&+5)04+豆)=[(45AB)(AB+AB)]=0故所求值為0.

53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A,6和吐①，0(4)=a(而=。(?！?/2,且。(4U6UC)=9/16,求P3).

O

【解】由P(ABC)=P(A)+P(B)+P(O—P(A3)—P(AC)—P(BC)+P(ABC)=3P(A)-3[P(A)f=一

16

13]1

故P(A)=—或工按題設(shè)〃(力)〈一，故PT)=-.

4424

54.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件力和8都不發(fā)生的概率為1/9,4發(fā)生8不發(fā)生的概率與6發(fā)生/不發(fā)生的概率相等，求產(chǎn)(4).

【解】P(而)=P(A6)=1-?(AB)=g①P(AB)=P(AB)②故尸(A)—P(AB)=P(B)—P(AB)故P(A)=P(B)③

由48的獨(dú)立性，及①、③式有"=1—P(A)—尸(6)+P(A)尸(8)=1-2P(A)+[P(A)]2=[1-P(A)]2

1242

故1—P(A)=±§故P(A)=]或P(A)=](舍去)即/3)=§.

55.隨機(jī)地向半圓0＜旅yilax-X2(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于“

/4

71212

17rl-QH—a~11

【解】利用幾何概率來(lái)求，圖中半圓面積為一“a?.陰影部分面積為工/+一/故所求概率為p=^—_2_=-+-!-

24212兀

—Tia

2

56.10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

C2

【解】設(shè)小｛兩件中至少有一件是不合格品｝,另一件也是不合格品｝P(B|A)=^^=-^V=-

P(A).C5

1-----Z-

C?o

57.設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩

份.

（1）求先抽到的一份是女生表的概率p（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率g.

【解】設(shè)4=｛報(bào)名表是取自第f區(qū)的考生｝,”1,2,3.編｛第」次取出的是女生表｝,戶1,2.

1375

則尸（A,）=."=1,2,3/414）=力,尸（414）=*尸（即4）=百

J1\J1J乙J

（1）〃=尸（4）=之/414）=，（3+1+二）=空（2）q=|瓦）=而）=YA,.）P（A）=-（―+—+—）=—

I白1v3101525901"P4（B瓦,））P（B2P（B2|z1310152590

2

-

9-2-0

p（4瓦）=￡P(guān)（4瓦IA）P（A）=1AZZA故

(X+X+61

/=13109151425249P(B2)一61

90

58.設(shè)46為隨機(jī)事件，且一（皮＞0,尸（⑷而=1,試比較尸（4U而與―（/）的大小.（2006研考）

解：因?yàn)镻(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(B)-P(A\B)=P(B)所以P(A8)=P(A)+P(8)—P(B)=P(A).

習(xí)題二

1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1,