任意項級數(shù)絕對與條件收斂

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8.4任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂一、任意項級數(shù)二、絕對收斂與條件收斂正項級數(shù)

及其斂散性復(fù)習(xí)1.比較法2.比值法3.根值法判定正項級數(shù)當(dāng)一般項中出現(xiàn)冪、階乘、多個因子乘積與商的形式采用比值法來判定；當(dāng)一般項中出現(xiàn)n次冪的形式時，則采用根值法來判定；這兩種判別法在級數(shù)審斂時往往作為首選方法，而當(dāng)它們失效時，可考慮比較法或定義時，例判定斂散性.任意項級數(shù)交錯級數(shù)

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8.4任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂一、任意項級數(shù)二、絕對收斂與條件收斂所謂任意數(shù)項級數(shù)是指級數(shù)的各項可以是正數(shù)、例（1）（2）均為任意項級數(shù)。一、任意項級數(shù)及其斂散性負(fù)數(shù)或零.下面先來討論一種特殊的級數(shù)——交錯級數(shù)。然后再討論任意數(shù)項級數(shù)。除了正項級數(shù)外，交錯級數(shù)也是一類特征明顯的級數(shù).在上例(1)中，此級數(shù)的各項是正、負(fù)相間的，就是一個交錯級數(shù).（1）二、交錯級數(shù)及其斂散性定義:即為交錯級數(shù).例（1）（2）均為交錯級數(shù).二、交錯級數(shù)及其斂散性正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).

定理(萊布尼茨定理)則交錯級數(shù)必定收斂,滿足：若交錯級數(shù)且其和對于交錯級數(shù)，有下面的判別法二、交錯級數(shù)及其斂散性證明先考察交錯級數(shù)前2n項的部分和因括號中的值皆非負(fù),有由知為單調(diào)增加數(shù)列.故數(shù)列有界，且由數(shù)列極限存在定理知極限存在，證明又設(shè)為先考察交錯級數(shù)前2n項的部分和二、交錯級數(shù)及其斂散性最后，且其和收斂，因此再考察交錯級數(shù)二、交錯級數(shù)及其斂散性

定理(萊布尼茨定理)則交錯級數(shù)必定收斂,滿足：若交錯級數(shù)且其和對于交錯級數(shù)，有下面的判別法二、交錯級數(shù)及其斂散性例1

判定斂散性.解由萊布尼茨定理可知該交錯級數(shù)收斂.因為所給級數(shù)為交錯級數(shù)，且二、交錯級數(shù)及其斂散性例2

判定交錯級數(shù)的斂散性。解由萊布尼茨定理可知該交錯級數(shù)收斂.因二、交錯級數(shù)及其斂散性（交錯P-級數(shù)）故級數(shù)發(fā)散。綜合可得交錯P-級數(shù)，注可通過驗證當(dāng)x充分大解原級數(shù)收斂.為了把任意項級數(shù)與正項級數(shù)聯(lián)系起來.下面引入級數(shù)的絕對收斂和條件收斂的概念.三、絕對收斂與條件收斂在數(shù)學(xué)上，一般任意項級數(shù)的斂散性問題，都需要把它歸結(jié)為一個正項級數(shù)的斂散性問題來處理.通常對于任意項級數(shù)如果對其每一項均取絕對值,.稱該級數(shù)為級數(shù)對應(yīng)的絕對值級數(shù).絕對值級數(shù):則可得正項級數(shù)

定義如果

收斂，則稱

絕對收斂.則稱

條件收斂.如果例根據(jù)上述定義,對于一般任意項級數(shù),我們應(yīng)當(dāng)判別它是絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散的。三、絕對收斂與條件收斂定理

若

收斂，則

必定收斂.證由比較判別法知，收斂.一般地,可以利用絕對值級數(shù)這兩個級數(shù)的收斂性有一定的關(guān)系.即絕對收斂的級數(shù)必定收斂又故三、絕對收斂與條件收斂若級數(shù)絕對收斂,則該級數(shù)必定收斂.反之，若級數(shù)收斂，則未必絕對收斂.說明任意項級數(shù)正項級數(shù)若級數(shù)發(fā)散，則逆否，定理

若

收斂，則

必定收斂.則可推出級數(shù)

收斂,即若級數(shù)收斂,且為絕對收斂.

但值得注意的是：則可推出級數(shù)

收斂,即若級數(shù)收斂,且為絕對收斂.

(2)正項級數(shù)的比值判別法與根值判別法對判別任意項級數(shù)的收斂與發(fā)散均適用,即若級數(shù)收斂,

則可級數(shù)

收斂,且為絕對收斂.

任意項級數(shù)正項級數(shù)因為在比值法中，則對一切充分大的數(shù)n，(2)正項級數(shù)的比值判別法與根值判別法對判別任意項級數(shù)的收斂與發(fā)散均適用,即若級數(shù)收斂,則可級數(shù)

收斂,且為絕對收斂.

則若收斂，若發(fā)散，或定義但若用正項級數(shù)的比值判別法判定出

例4判定級數(shù)的收斂性.如果它收斂，是絕對收斂，還是條件收斂？解為的p-級數(shù)，其通項從而知收斂，此級數(shù)為交錯級數(shù)，為收斂級數(shù).且為絕對收斂.故收斂，任意項級數(shù)的斂散性

例5判定級數(shù)的收斂性(其中p>0),如果其收斂,是絕對收斂,還是條件收斂?解當(dāng)p>1時，因此絕對收斂.由知交錯級數(shù)故為條件收斂.則記收斂，由萊布尼茨定理，收斂任意項級數(shù)的斂散性

例6判定級數(shù)的收斂性.解從而知收斂，且為條件收斂.即級數(shù)非絕對收斂.由由萊布尼茨定理，任意項級數(shù)的斂散性解這是一個交錯級數(shù)，利用比值判別法，因為例7任意項級數(shù)的斂散性

例8討論級數(shù)的斂散性.因為x為任意實數(shù)，由于

所以，解所以級數(shù)為任意項級數(shù)級數(shù)發(fā)散；級數(shù)絕對收斂；級數(shù)發(fā)散；任意項級數(shù)的斂散性級數(shù)發(fā)散任意項級數(shù)正項級數(shù)比值判別法根值判別法判別任意項級數(shù)斂散性的過程斂散性質(zhì)與定義絕對收斂萊布尼茨法收斂條件收斂比較判別法判別法不適用作業(yè)：P3458(1,2)第九章微分方程1.若任意項級數(shù)發(fā)散，是否必