【中考數(shù)學(xué)分項(xiàng)真題】新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題-（解析版）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國通用】(第01期)

專題32新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題

一、單選題

(、[a(a<b)

1.(四川省雅安市2021年中考數(shù)學(xué)真題)定義：min{a,。=:二，若函數(shù)

k[b(a>b)

y=min(x+L-f+2x+3),則該函數(shù)的最大值為()

A.0B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根據(jù)題目中所給的運(yùn)算法則，分兩種情況進(jìn)行求解即可.

【詳解】

令y-min^a,/>),

當(dāng)了+1〈一/+2》+3時(shí),即％2-1一2?0時(shí)，y=x+l,

令.=--%一2，則曠與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(-1,0),

當(dāng)wVO時(shí),-l<x<2,

y=x+l(—1<x<2),

???y隨x的增大而增大，

,當(dāng)戶2時(shí)，>最大=3；

當(dāng)x+1>—爐+2x+3時(shí)，即兀2一%一2>0時(shí)，y=-x2+2x+3,

令W=X2-X-2，則w與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(-1,0),

，當(dāng)w>0時(shí)，x>2或x<-1,

y——尤？+2x+3(尤>2□戈x<-1),

；y=—x2+2x+3的對(duì)稱軸為X=l,

.,.當(dāng)x〉2時(shí),y隨x的增大而減小，

.當(dāng)x=2時(shí)，y--x2+2x+3=3,

，當(dāng)x>2時(shí),7<3；

當(dāng)x<—l,y隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)下-1時(shí)，y=-x2+2x+3=0;

.?.當(dāng)x<—1時(shí),y<0;

綜上，y=min(x+l,-x2+2x+3)的最大值為3.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題是新定義運(yùn)算與二次函數(shù)相結(jié)合的題目，解題時(shí)要注意分情況討論,不要漏解.

2.(廣東省2021年中考真題數(shù)學(xué)試卷)我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式,

此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍,即三角形的三邊長分別為&aG記P=一丁]，則其

面積S=Jp(p-a)(p-b)(p-c).這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若，=5,c=4,則此三角形面積

的最大值為()

A.7?B.4C.2石D.5

【答案】C

【分析】

由已知可得於ZF6,S=*(5—。)(5—份=6"而-5,把反6-a代入S的表達(dá)式中得：

S=J5.J—。+6“_5，由被開方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值,從而可求得S的最大值?

【詳解】

a+0+c

?R5,c=4fp=-------

,\a+b=2p~c=Q

S=J5(5-a)(5-0)(5-4)=gab-5

由a+b=Q,得爐6-a,代入上式，得：S=>/5*y]a(6-a)-5=75^-a2+6a-5

設(shè)y=一萬+6”一5,當(dāng)=一優(yōu)+6。,5取得最大值時(shí),s也取得最大值

y=-a2+6a—5=—(a—3)2+4

???當(dāng)才3時(shí)，y取得最大值4

??.$的最大值為5、4=26

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知得出護(hù)斤6,把面積最大值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題.

3.（內(nèi)蒙古通遼市2021年中考數(shù)學(xué)真題）定義:一次函數(shù)y=以+b的特征數(shù)為[a,4，若一次函數(shù)

3

y=-2x+加的圖象向上平移3個(gè)單位長度后與反比例函數(shù)y=一二的圖象交于A,5兩點(diǎn),且點(diǎn)A,8關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，則一次函數(shù)y=-2x+〃?的特征數(shù)是（）

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,-3]

【答案】D

【分析】

3

先求他平移后的直線解析式為y=-2%+m+3,根據(jù)與反比例函數(shù)y=——的圖象交于A,8兩點(diǎn),且點(diǎn)A,B

x

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得到直線y=-2x+m+3經(jīng)過原點(diǎn)，從而求出以根據(jù)特征數(shù)的定義即可求解.

【詳解】

解:由題意得一次函數(shù)y=-2x+/n的圖象向上平移3個(gè)單位長度后解析式為y=-2x+m+3,

3

???直線y=-2x+m+3與反比例函數(shù)y=一—的圖象交于A,6兩點(diǎn),且點(diǎn)48關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

x

；.點(diǎn)A,B,0在同一直線上,

.?.直線y=—2x+加+3經(jīng)過原點(diǎn)，

/.研3二0,

Azff=-3,

二一次函數(shù)y=-2x+m的解析式為y=-2x-3,

.?.一次函數(shù)y^-2x+m的特征數(shù)是[-2,-3].

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義,直線的平移,一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)，中心對(duì)稱等知識(shí),綜合性較強(qiáng),根據(jù)點(diǎn)A,8關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱得到平移后直線經(jīng)過原點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.（江蘇省無錫市2021年中考數(shù)學(xué)真題）設(shè)P（x,y）,Q（x,%）分別是函數(shù)G，G圖象上的點(diǎn)，當(dāng)

時(shí)，總有-1?%%?1恒成立，則稱函數(shù)G，。2在aWxW匕上是“逼近函數(shù)"，aWxWZ?為“逼近區(qū)

間”.則下列結(jié)論：

①函數(shù)y=x-5,y=3x+2在1WXW2上是“逼近函數(shù)”；

②函數(shù)y=x-5,y=f—4x在3WxW4上是“逼近函數(shù)”；

③OWxWl是函數(shù)y=f一1,y=2V—x的“逼近區(qū)間”；

④2WxW3是函數(shù)y=x-5,y=%2—4x的“逼近區(qū)間”.

其中，正確的有()

A.②③B.①④C.①③D.②④

【答案】A

【分析】

分別求出乂-%的函數(shù)表達(dá)式，再在各個(gè)x所在的范圍內(nèi),求出X-%的范圍,逐一判斷各個(gè)選項(xiàng),即可求

解.

【詳解】

解:①：X=》-5,y2=3x+2,

/.y-y2=(x-5)-(3x+2)=-2x-7,當(dāng)時(shí)，-11?y必？9,

函數(shù)y=x-5,y=3x+2在上不是“逼近函數(shù)”；

2

@Vy=x-5,y2=x-4x,

221

：.yt-y2=(x-5)-(x-4x)=-x+5x-5,當(dāng)3WxW4時(shí)，-1?X%?1

函數(shù)y=x-5,y=/—4x在3?xV4上是“逼近函數(shù)”；

2

③：弘=爐-1,y2=2x-X,

二%=仁-1)-(2X2-x)=-/+》_]，當(dāng)時(shí)，一]?%%?3

...OVxWl是函數(shù))=f一1,y=2/—x的“逼近區(qū)間”；

2

?vx=x-5,y2=x-4x,

22

/.x-y2=(x-5)-(x-4x)=-X+5x-5,當(dāng)2WxW3時(shí)，1?%y2?

.?.24%<3不是函數(shù)丁=%-5,y=/-4x的“逼近區(qū)間”.

故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性,是解題的關(guān)鍵.

a,a>b

5.(2021-廣西來賓市?中考真題)定義一種運(yùn)算：。*匕=,,,則不等式(2x+1)*(2-x)>3的解集

b,a<b

是()

A.x>l或x<1B.-1<x<-C.尤>1或x<-4D.X〉，或x<-1

333

【答案】C

【分析】

根據(jù)新定義運(yùn)算規(guī)則,分別從2x+lN2—x和2x+l<2-x兩種情況列出關(guān)于x的不等式,求解后即可得出

結(jié)論.

【詳解】

解：由題意得，當(dāng)2,x+122—x時(shí)，

即—時(shí)，(2x+l)*(2-x)=2x+l,

3

貝U2x+1>3,

解得x>l,

.?.此時(shí)原不等式的解集為x>l；

當(dāng)2x+l<2—%時(shí)，

即》<_時(shí)，(2x+l)*(2-x)=2-x,

3

則2—x>3,

解得x<-l,

,此時(shí)原不等式的解集為X<-1;

綜上所述,不等式(2x+D*(2—x)>3的解集是X>1或》<一1.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元一次不等式,解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運(yùn)算規(guī)則列出關(guān)于X的不等式.

6.（2021?廣西中考真題）如知={1,2,%},我們叫集合M,其中1,2,x叫做集合M的元素.集合中的元

素具有確定性（如x必然存在），互異性（如XA1,X。2）,無序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變?若集合

N={%,1,2},我們說M=N.已知集合A={1,0,力，集合B=,同,若A=B,則。一。的值是

（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】

根據(jù)集合的確定性、互異性、無序性，對(duì)于集合6的元素通過分析，與力的元素對(duì)應(yīng)分類討論即可.

【詳解】

解：：集合6的元素±2,a,可得，

aa

。w0,

0,—=0,

aa

=0,

當(dāng)；=1時(shí)，a=I,A={l,0,l},B={1,1,0},不滿足互異性，情況不存在，

當(dāng)）=a時(shí)，a=±l,a=l（舍），a=-l時(shí)，A={l,0,-l},8={—1,1,0},滿足題意，

此時(shí),b—a=\.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的互異性、確定性、無序性.通過元素的分析，按照定義分類討論即可.

7.（2021?湖北中考真題）定義新運(yùn)算珠”：對(duì)于實(shí)數(shù)吃〃，P,，，有[利同※[/〃]=?+四，其中等

式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算,如：[2,3]※竹,5]=2X5+3X4=22.若關(guān)于x的方程

[x2+1,1]※[5—2A,打=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是（）

A.k<—且攵00B.k<—C.k<一且ZHOD.kN—

4444

【答案】C

【分析】

按新定義規(guī)定的運(yùn)算法則,將其化為關(guān)于X的一元二次方程,從二次項(xiàng)系數(shù)和判別式兩個(gè)方面入手,即可解決.

【詳解】

解：打※[5-2左川=0,

AZ:（X2+1）+（5-2A:）X=O.

整理得,立~+（5-2左）尤+%=0.

?.?方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

...判別式去0且JwO.

由A20得，（5—2人）2—4氏2?0,

解得，k<~.

4

???〃的取值范圍是且ZwO.

4

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義運(yùn)算、一元二次方程的根的判別等知識(shí)點(diǎn),正確理解新定義的運(yùn)算法則是解題的基礎(chǔ),熟

知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.此類題目容易忽略之

處在于二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的條件限制，要引起高度重視.

8.（2021-甘肅武威市?中考真題）對(duì)于任意的有理數(shù)。力，如果滿足旦+2=坐，那么我們稱這一對(duì)數(shù)

“功為"相隨數(shù)對(duì)"，記為（a/）.若（加力是“相隨數(shù)對(duì)"，則3/w+2[3加+（2〃-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

【答案】A

【分析】

先根據(jù)新定義,可得9加4爐0,將整式3m+2[3m+（2〃-1）]去括號(hào)合并同類項(xiàng)化簡得9機(jī)+4〃—2,然后整

體代入計(jì)算即可.

【詳解】

解:是“相隨數(shù)對(duì)”，

mnm-\-n

-I—=---,

232+3

整理得9m4/產(chǎn)0,

3m+2[3m+(2n-1)]=3m+6加+4〃-2=9m+4/7-2=—2.

故選擇A.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義相隨數(shù)對(duì),找出數(shù)對(duì)之間關(guān)系，整式加減計(jì)算求值，掌握新定義相隨數(shù)對(duì),找出數(shù)對(duì)之間關(guān)系,

整式加減計(jì)算求值是解題關(guān)鍵.

二、填空題

9.(廣西貴港市2021年中考數(shù)學(xué)真題)我們規(guī)定:若1(玉方)]=(孫必)，則a-b=%々+X%.例如

1=(1,3)/=(2,4)，則\W=]x2+3x4=2+]2=]4.已知W=(x+l,x—l)/=(x—3,4)，且一2領(lǐng)k3,

則的最大值是.

【答案】8

【分析】

根據(jù)平面向量的新定義運(yùn)算法則，列出關(guān)于》的二次函數(shù),根據(jù):次函數(shù)最值的求法解答即可.

【詳解】

解:根據(jù)題意知：d/=(x+l)(x-3)+4(x-l)=(x+l)2-8.

因?yàn)椤?<xW3,

所以當(dāng)X=3時(shí)，無5=(3+1)2—8=8.

即存5的最大值是8.

故答案是:8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量,解題時(shí),利用了配方法求得二次函數(shù)的最值.

10.(遼寧省丹東市2021年中考數(shù)學(xué)試題)已知:到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬

點(diǎn).如果AABC是銳角(或直角)三角形,則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn),且滿足

乙4尸8=/52。=/。以=120。.(例如:等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)).若

AB=AC=幣，BC=26，P為&ABC的費(fèi)馬點(diǎn),則Q4+P3+PC=;若

AB=273,=2,AC=4,尸為AABC的費(fèi)馬點(diǎn),則PA+PB+PC=.

【答案】52小

【分析】

①作出圖形，過氏C分別作NZ)BP=N￡>CP=300,勾股定理解直角三角形即可

②作出圖形，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，2為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)則5,P,P,C'四點(diǎn)共線,即

PA+PB+PC=BC,再用勾股定理求得即可

【詳解】

①如圖，過A作AD_LBC,垂足為D,

過氏C分別作NZMP=ZDCP=3O°,則PB=PC,夕為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)

AB=AC=0BC=2百

:.BD=DC=-BC=yf3

2

-3"

BD3

:.PD=\

3盤=2

AD^^AEr-BDT=77^3=2

PA+PB+PC=5

②如圖：

AB=2?BC=2,AC=4.

AB2+BC2=16,8c2=16

AB2+BC2=AC2

ZABC^90°

1

sinABAC=—=-=sin300

AC2

.?"AC=30°

將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

由旋轉(zhuǎn)可得：AAPC^△AP'C

AP'=AP,PC=P'C,AC=ACZCAC'=/PAP=60°

.?.△APP是等邊三角形，

ZBAC'=90°

???P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

即B,P,P；C四點(diǎn)共線時(shí)候，PA+PB+PC=BC

PA+PB+PC=BP+PP+PCBC'

=yjAB2+AC'2=A/(2>/3)2+42=277

故答案為:①5,②2s

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù),等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵.本題旋

轉(zhuǎn)也可,但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

11.（浙江省寧波市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)4（元,y）,我

們把點(diǎn)B稱為點(diǎn)力的“倒數(shù)點(diǎn)”.如圖，矩形OCOE的頂點(diǎn)C為（3,0）,頂點(diǎn)E在y軸上，函數(shù)

\xy）

2

y=]x>0）的圖象與。石交于點(diǎn)4若點(diǎn)8是點(diǎn)火的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)J在矩形OCDE的一邊上，則

△OBC的面積為.

13

【答案】一或一

42

【分析】

根據(jù)題意，點(diǎn)6不可能在坐標(biāo)軸上,可對(duì)點(diǎn)方進(jìn)行討論分析:①當(dāng)點(diǎn)6在邊加'上時(shí);②當(dāng)點(diǎn)6在邊口上時(shí);分

別求出點(diǎn)8的坐標(biāo),然后求出AOBC的面積即可.

【詳解】

解:根據(jù)題意，

「1I、

;點(diǎn)、B稱為點(diǎn)4（x,y）的“倒數(shù)點(diǎn)”，

5y）

二九。0,"o,

.,.點(diǎn)6不可能在坐標(biāo)軸匕

:點(diǎn)A在函數(shù)y=2（x>0）的圖像上，

設(shè)點(diǎn)A為（X,-）,則點(diǎn)B為（―,—）,

xx2

???點(diǎn)。為（3,0）,

OC=3,

①當(dāng)點(diǎn)8在邊〃上時(shí)；

點(diǎn)4與點(diǎn)8都在邊以上,

，點(diǎn)4與點(diǎn)6的縱坐標(biāo)相同，

即2=±，解得：》=2,

x2

經(jīng)檢驗(yàn)，％=2是原分式方程的解；

?,?點(diǎn)〃為（；/），

13

??.△03C的面積為：S=—x3xl=—；

22

②當(dāng)點(diǎn)8在邊。上時(shí)；

點(diǎn)8與點(diǎn)。的橫坐標(biāo)相同，

=3,解得：x二1，

x3

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原分式方程的解；

3

點(diǎn)8為（3,—）,

的面積為：S=LX3X2=L；

264

故答案為：土1或士3.

42

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解分式方程,坐標(biāo)與圖形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握

反比例函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析.

12.（山東省荷澤市2021年中考數(shù)學(xué)真題）定義：［a,0,c］為二次函數(shù)丁=辦2+公+,（。。0）的特征數(shù),下

面給出特征數(shù)為何,1-加,2-租］的二次函數(shù)的一些結(jié)論:①當(dāng)機(jī)=1時(shí),函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸;②當(dāng)

加=2時(shí),函數(shù)圖象過原點(diǎn);③當(dāng)〃?>0時(shí),函數(shù)有最小值;④如果m<0,當(dāng)x〉工時(shí)，）'隨x的增大而減小，

2

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②③.

【分析】

利用二次函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)特征數(shù)［mJ—樞2—機(jī)］,以及m的取值,逐一代入函數(shù)關(guān)系式,然判斷后即可確定

正確的答案.

【詳解】

解:當(dāng)"=1時(shí),

把機(jī)=1代入［加,1一2-回，可得特征數(shù)為［1,0』

?=Z?—05C—1,

???函數(shù)解析式為y=Y+1,函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸,故①正確;

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，

把加=2代入［以1一加,2-〃水可得特征數(shù)為［2,-1,0］

4=2,b=-\fc=0,

二函數(shù)解析式為y=2/-x,

當(dāng)x=0時(shí)，y=0,函數(shù)圖象過原點(diǎn)，故②正確；

函數(shù)y=)wC+(1-W)X+(2-W)

當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，函數(shù)y=—+(1一〃?戶+(2-團(tuán))圖像開口向上，有最小值,故③正確;

當(dāng)也＜0時(shí)，函數(shù)丫=S/+(1-5)x+(2-,〃)圖像開口向下,

...、i\-mm-1111

對(duì)稱軸為：x="--=——=--->37

2m2m22m2

x〉工時(shí)，x可能在函數(shù)對(duì)稱軸的左側(cè)，也可能在對(duì)稱軸的右側(cè),故不能判斷其增減性,故④錯(cuò)誤;

2

綜上所述，正確的是①②③,

故答案是:①②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸等知識(shí)點(diǎn)，牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.(2021?湖南婁底市?中考真題)弧度是表示角度大小的一種單位,圓心角所對(duì)的弧長和半徑相等時(shí),這

個(gè)角就是1弧度角，記作Irad.已知a=lrad,尸=60。，則a與4的大小關(guān)系是a/7.

【答案】<

【分析】

根據(jù)弧度的定義,圓心角所對(duì)的弧長和半徑相等時(shí),這個(gè)角就是1弧度角，記作Irad,當(dāng)夕=60°時(shí),三角形為

等邊三角形,所以圓心角所對(duì)的弧長比半徑大,即可判斷大小.

【詳解】

解:根據(jù)弧度的定義，圓心角所對(duì)的弧長和半徑相等時(shí),這個(gè)角就是1弧度角，記作Irad,

當(dāng)尸=60。時(shí)，易知三角形為等邊三角形,弦長等于半徑，

???圓心角所對(duì)的弧長比半徑大，

:.a</3,

故答案是：<.

【點(diǎn)睛】

本題考查了弧度的定義，解題的關(guān)鍵是:理解弧度的定義，從而利用定義來判斷.

14.（2021?上海中考真題）定義:在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，

在平面內(nèi)有一個(gè)正方形,邊長為2,中心為0,在正方形外有一點(diǎn)P,。。=2,當(dāng)正方形繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí),則點(diǎn)尸

到正方形的最短距離d的取值范圍為.

【答案】2-V2<J<l

【分析】

先確定正方形的中心0與各邊的所有點(diǎn)的連線中的最大值與最小值,然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的條件即可求解.

【詳解】

解:如圖1,設(shè)AO的中點(diǎn)為瓦連接見龐;則/后龐//臥90°,=

...點(diǎn)。與正方形A3CD邊上的所有點(diǎn)的連線中,

0E最小，等于1,OA最大，等于0.

???OP=2,

.?.點(diǎn)/與正方形A3CD邊上的所有點(diǎn)的連線中，

如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)￡落在OP上時(shí),最大值PE=P0-E0=2-l=l;

如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)4落在OP上時(shí),最小值尸4=PO—AO=2—夜.

...當(dāng)正方形的繞中心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)尸到正方形的距離d的取值范圍是2-夜MdMl?

故答案為：2-垃WdWl

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),準(zhǔn)確理解新定義的含義和熟知正方形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

15.（2021?湖北中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、6,定義一種運(yùn)算：“（8）/?=/+/72_出?，若工③（％—1）=3,則

x的值為.

【答案】一1或2

【分析】

根據(jù)新定義的運(yùn)算得到工應(yīng)（工一1）=x2+（%—1）2—*（》—1）=3,整理并求解一元二次方程即可.

【詳解】

解:根據(jù)新定義內(nèi)容可得：％區(qū)（％-1）=/+（1-1）2一%（工-1）=3,

整理可得兀2一%一2=0,

解得3=-1,%=2,

故答案為：一1或2.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義運(yùn)算、解一元二次方程,根據(jù)題意理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.(江蘇省南通市2021年中考數(shù)學(xué)試題)定義:若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn),則稱該點(diǎn)為這

個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”.例如，點(diǎn)(1,1)是函數(shù)y=+g的圖象的“等值點(diǎn)”.

(D分別判斷函數(shù)y=x+2,y=》2-x的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；

如果不存在，說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)>=2*>0),>=—工+〃的圖象的“等值點(diǎn)''分別為點(diǎn)4旦過點(diǎn)8作BC_Lx軸,垂足為C.當(dāng)

x

△ABC的面積為3時(shí)，求6的值；

(3)若函數(shù)y=/—2(x>m)的圖象記為叱，將其沿直線x=加翻折后的圖象記為卬??當(dāng)叱，明兩部分組

成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫出〃的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)尸產(chǎn)2沒有“等值點(diǎn)”；函數(shù)y=V-%的“等值點(diǎn)”為90),(2,2);(2)方=46或

9

一;(3)根<一§或一1<〃？<2..

【分析】

(1)根據(jù)定義分別求解即可求得答案；

(2)根據(jù)定義分別求小g,石)，8(g,g),利用三角形面積公式列出方程求解即可；

(3)由記函數(shù)**2_2而的圖象為他將加沿戶勿翻折后得到的函數(shù)圖象記為限可得必與的的圖象關(guān)于

產(chǎn)0對(duì)稱,然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案.

【詳解】

解：(1)：函數(shù)尸產(chǎn)2,令*x,則x+2=x,無解，

.?.函數(shù)片產(chǎn)2沒有“等值點(diǎn)”；

?函數(shù)y=f-尤，令尸x,則=即尤(》-2)=0,

解得：玉=2,/=0,

二函數(shù)y=V-%的“等值點(diǎn)”為(0,0),(2,2);

3

(2)；函數(shù)y=-，令y=x,則x2=3,

解得：X=6（負(fù)值己舍），

...函數(shù)y=3的“等值點(diǎn)”為4（百，百）；

X

二函數(shù)y=一工+匕，令尸x,則工=-%+/?,

解得：x=￡

2

...函數(shù)），=—x+b的“等值點(diǎn)”為6（2,2）；

22

△ABC的面積為58c?卜8_%/=耳.~=3,

即加一2揚(yáng)-24=0,

解得：6=46或一;

（3）將用沿尸勿翻折后得到的函數(shù)圖象記為Ifi.

H\4明兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于x=m對(duì)稱,

y=x2-2^x>m)"

二函數(shù)W的解析式為，

y=(2m-x)--2(x<m)

令片x,則V-2=x,即x2-x-2=0,

解得：xt=2,x2=-1,

二函數(shù)y=/—2的”等值點(diǎn)”為（-1,-1）,（2,2）；

令y=x,則（2機(jī)一尤＞-2=%，即f-（4m+l）x+4/n2-2=0,

當(dāng)初22時(shí),函數(shù)W的圖象不存在恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”的情況；

當(dāng)一1（，篦＜2時(shí)，觀察圖象，恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”；

當(dāng)加<一1時(shí)，

的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”（T,T）,（2,2）,

...函數(shù)他沒有“等值點(diǎn)”，

二△=[-（4m+l）]2-4xlx（4m2-2）<0,

整理得：8m+9<0,

9

解得:m<一一.

8

9

綜上,勿的取值范圍為機(jī)<—或一1<〃?<2.

8

【點(diǎn)睛】

本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對(duì)稱性.解答本題

的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.

17.（江蘇省常州市2021年數(shù)學(xué)中考真題）在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，對(duì)于4兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)

7；使得NA7X'=90°,且7X=m',則稱AA'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，把其中一個(gè)點(diǎn)叫做另一個(gè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知

點(diǎn)”（—2,0）、N（—l,0）,點(diǎn)在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上.

（1）①如圖,在點(diǎn)8（2,0）、。（0,—1）、D（-2-2）中,點(diǎn)〃的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是（填UET、“^或“少）；

②若在線段上存在點(diǎn)尸（1,1）的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P',則點(diǎn)P'的坐標(biāo)是;

（2）若在線段MN上存在點(diǎn)Q的關(guān)聯(lián)點(diǎn)Q',求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）分別以點(diǎn)￡（4,2）、。為圓心,1為半徑作02.若對(duì)上的任意一點(diǎn)G在。。上總存在點(diǎn)G',

使得G、G'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)0的坐標(biāo).

2(513、

【答案】⑴①6；②(一2,0)；(2)§4〃區(qū)1或一1WmWO；⑶QU]])或0(3,-5).

【分析】

由材料可知關(guān)聯(lián)點(diǎn)的實(shí)質(zhì)就是將點(diǎn)A繞y軸上點(diǎn)7順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的得到點(diǎn)A'.故先找到旋轉(zhuǎn)

90°坐標(biāo)變化規(guī)律,再根據(jù)規(guī)律解答即可，

(1)①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律列方程求解點(diǎn)7坐標(biāo),有解則是關(guān)聯(lián)點(diǎn);無解則不是;②關(guān)聯(lián)點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于

0,根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律列方程求解即可；

(2)根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律得出關(guān)聯(lián)點(diǎn)。'，列不等式求解即可；

(3)根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的變化規(guī)律可知圓心是互相關(guān)聯(lián)點(diǎn)，由點(diǎn)〃坐標(biāo)求出點(diǎn)0坐標(biāo)即可.

【詳解】

解:在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A(x,y)，點(diǎn)T(O,a),關(guān)聯(lián)點(diǎn)A'(x',/),

將點(diǎn)｛、點(diǎn)A'、點(diǎn)7向下平移a個(gè)單位，點(diǎn),對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合,此時(shí)點(diǎn)4、點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)點(diǎn)A(x,y-a)、

???繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的坐標(biāo)變化規(guī)律為:點(diǎn)(x,0順時(shí)針旋轉(zhuǎn),對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(匕-x);逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為

(-y,x),

二&(x,y-a)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為％(y—a,—x)或4(a—y,x),

即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，“解得：/,一)’—“，即關(guān)聯(lián)點(diǎn)A(y—a,a—x),

y—a=-x[y=a-x

X，=Q—yX，=Q-y

或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，｛,，解得：《，，，即關(guān)聯(lián)點(diǎn)A（a—y,x+a）,

y-a=x[y-x+a

即:在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A（x,y），點(diǎn)T（0,a）,關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為A'（y-a,a-x）^A\a-y,x+a'）,

⑴①由關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律可知，點(diǎn)M（—2,0）關(guān)于在y軸上點(diǎn)T（0,a）的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為：A'（-a,a+2）或

A'（a,-2+a）,

若點(diǎn)6（2,0）是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則l+a—o或1_2+。_0,解得："=±2,即y軸上點(diǎn)T（0,2）或T（0,—2）,故點(diǎn)

8（2,0）是關(guān)聯(lián)點(diǎn);

—a=0Q=0/、

若點(diǎn)。（0,-1）是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則，ci或＜—2+a——1'無解'故點(diǎn)。（°，一1）不是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

2+a=-1

—a=-2a——2

若點(diǎn)0（—2,—2）是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則，.C或＜_2+__2,無解,故點(diǎn)。（―2,—2）不是關(guān)聯(lián)點(diǎn);

2+a=-2

故答案為:代

②由關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律可知，點(diǎn)P（L1）關(guān)于點(diǎn)T（O,a）的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為P'（\-a,a-\）或

〃(a-l,a+l),

若a—1=0,解得：a=l,此時(shí)即點(diǎn)尸^O,。），不在線段MN上；

若a+1=0,解得：a=-1,此時(shí)即點(diǎn)尸'（-2,0）,在線段MN上；

綜上所述:若在線段MN上存在點(diǎn)尸（1,1）的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P',則點(diǎn)。（-2,0）

故答案為：（一2,0）；

⑵設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)Q'是關(guān)于點(diǎn)7（0,。）關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)Q'坐標(biāo)為Q'（n-a,a-m）或+,

又因?yàn)辄c(diǎn)Q（m,n）在一次函數(shù)y=-2x+1的圖像上，即：〃=-2m+1,

點(diǎn)。'在線段A/N上，點(diǎn)〃（一2,0）、N（-1,O）,

a-m=0

當(dāng)，<幾=-2m+1,

-2<n-a<-l

:.-2<-2m+

2,

—KW1,

3

a+m=0

或<〃=—2m+1,

-2<a-n<-\

???-242m—1—tn—1,

當(dāng)一1WwWO;

2

綜上所述：當(dāng)］（加＜1或一IK加＜（）時(shí)，在線段MN上存在點(diǎn)Q的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。'.

⑶對(duì)0E上的任意一點(diǎn)G在QQ上總存在點(diǎn)G，使得G、G兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián),

故點(diǎn)少與點(diǎn)0也是關(guān)于同一點(diǎn)的關(guān)聯(lián),設(shè)該點(diǎn)丁（。,。），則

設(shè)點(diǎn)。的冷與點(diǎn)E是關(guān)于點(diǎn)T（0,關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)E坐標(biāo)為E（"-a,a-m）或E（a-+m）,

又因?yàn)?。（?〃）在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上，即："=一2m+1,

?.?點(diǎn)打4,2）,

5

m=——

n=-2m+13

13

若，〃-a=4，解得:n=—

3

a-m-2

1

a=-

3

2月］

即點(diǎn)。一3,3J

n=-2m+1m=3

若=4，解得：〃=-5,

6i+m=2a=-l

即點(diǎn)。（3,-5）,

綜上所述：0（—（9）或0（3,—5）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換和一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征,解題關(guān)鍵是總結(jié)出繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°的點(diǎn)坐標(biāo)變

化規(guī)律,再由規(guī)律列出方程或不等式求解.

18.(湖南省張家界市2021年中考數(shù)學(xué)真題試題)閱讀下面的材料：

如果函數(shù)y=/(X)滿足:對(duì)于自變量X取值范圍內(nèi)的任意為,，

(1)若%<%,都有/(內(nèi))</(x2),則稱/(%)是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)<々，都有./■(%,)>f(x2),則稱/(x)是減函數(shù).

例題:證明函數(shù)f(x)=/J>0)是增函數(shù).

證明：任取X1cx2,且%>0,工2>0

則/(斗)-/區(qū))=X1-X2=(xi+%2)("1—一2)

X]V工2且%>0，工2>0

，X+冗2>0,王一元2<0

(X]+%2)(土一巧)<0,即/(^)-/(%2)<0,/(%()</(x2)

...函數(shù)/'(x)=x\x>0)是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

⑴函數(shù)/(x)」(x〉O),/⑴=：=1,A2)=:，八3)=,/(4)=

⑵猜想/(?=!(》>0)是函數(shù)(填“增”或“減”)，并證明你的猜想.

X

【答案】⑴,L⑵減,證明見解析

34

【分析】

(1)根據(jù)題目中函數(shù)解析式可以解答本題；

(2)根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明(1)中的猜想成立.

【詳解】

解：⑴/(3)=:，f(4)=J

34

(2)猜想：/(x)=』(x〉0)是減函數(shù)；

X

證明：任取XV%，%>°，%>°，則

%x2xxx2

西v9且為>0，x2>0

/.x2-Xj>0,x]x2>0

即/(x,)-/(x2)>0

...函數(shù)/(x)=L(x>0)是減函數(shù).

X

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需

要的條件,利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

19.(山東省棗莊市2021年中考數(shù)學(xué)真題)小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),參照研究函數(shù)的過程與方法,對(duì)函數(shù)

y=—(x^0)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究.

X

因?yàn)閥=±_=l一一，即丫=一一+1,所以可以對(duì)比函數(shù)y=——來探究.

XXXX

列表:(1)下表列出)，與X的幾組對(duì)應(yīng)值,請(qǐng)寫出/〃，〃的值：m=,n=

_1_

X??????

-4-3-2—1~2~21234

22_2

??????

y=一一124-4-2—1-

X~233~2

x—233

y二???23m-3—10n???

X252

Y—2

描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量X的取值為橫坐標(biāo)，以y=--相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出相應(yīng)的

x

點(diǎn),如圖所示:

(2)請(qǐng)把y軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn),分別用條光滑曲線順次連接起來：

(3)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當(dāng)x<o時(shí)，y隨x的增大而一；(填“增大”或“減小”)

x-22

②函數(shù)y=——的圖象是由y=—-的圖象向平移個(gè)單位而得到.

xx

③函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.(填點(diǎn)的坐標(biāo))

【答案】⑴5,L⑵見解析；⑶①增大;②上，1;③(0,1).

3

【分析】

1r—2

(1)將X=-=和x=3分別代入函數(shù)y=——中，即可求出租，〃的值；

2x

(2)把)'軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn)，分別用條光滑曲線順次連接起來即可；

(3)①根據(jù)函數(shù)的增減性即可得；

2

②根據(jù)函數(shù)尸^x—-2=一+1即可得；

XX

2

③函數(shù)y=一-的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱,再根據(jù)平移的性質(zhì)即可得.

x

【詳解】

x—2

解：(1)對(duì)于函數(shù)丁=----,

x

-1-2

當(dāng)》=一萬時(shí)，y=―—=5,即根=5,

~2

3-211

當(dāng)x=3時(shí)，y=----=一，即〃=一，

333

故答案為:5,L

3

（2）把y軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn),分別用條光滑曲線順次連接起來如下：

（3）①當(dāng)了＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，

故答案為:增大；

②因?yàn)楹瘮?shù)y==r-2=-42+l,

xx

x-22

所以函數(shù)丁=——的圖象是由y=—-的圖象向上平移1個(gè)單位而得到，

xx

故答案為:上，1;

2

③因?yàn)楹瘮?shù)y=——的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0,0）中心對(duì)稱，

x

X—2

所以函數(shù)y=——的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）中心對(duì)稱，

故答案為：（0,1）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

20.（內(nèi)蒙古赤峰市2021年中考數(shù)學(xué)真題）閱讀理解：

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（%,y）,點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（馬,%），且為#為,萬W外若M、〃為某矩形的兩

個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為乂〃的“相關(guān)矩形”.如圖1中的矩形為點(diǎn)風(fēng)

及的“相關(guān)矩形”.

（1）已知點(diǎn)/的坐標(biāo)為（2,0）.

①若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,4）,則點(diǎn)A8的“相關(guān)矩形”的周長為;

②若點(diǎn)。在直線產(chǎn)4上,且點(diǎn)4、。的“相關(guān)矩形”為正方形,求直線4C的解析式；

（2）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,-4）,點(diǎn)0的坐標(biāo)為（6,—2）,若使函數(shù)丫=與的圖象與點(diǎn)R0的“相關(guān)矩形”

X

有兩個(gè)公共點(diǎn),直接寫出k的取值范圍.

7-7-7

6

5

4

3

2

1234

圖1備用圖1備用圖2

【答案】(1)①12；②y=x-2或y=-1+2；(2)—24<2v-6

【分析】

（1）①由相關(guān)矩形的定義可知,要求點(diǎn)力、8的“相關(guān)矩形”的周長，利用點(diǎn)4點(diǎn)8的坐標(biāo)求出“相關(guān)矩形”

的邊長即可;②由“相關(guān)矩形”的定義知，力。必為正方形的對(duì)角線，所以可得點(diǎn)C坐標(biāo)，設(shè)直線力。的解析式

為>="+氏代入4c點(diǎn)的坐標(biāo)，求出左〃的值即可；

（2）首先確定R。的“相關(guān)矩形”的另兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)y=±的圖象與點(diǎn)〃、。的“相關(guān)矩形”有

X

兩個(gè)公共點(diǎn),求出4的最大值和最小值即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）①???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,4）,

...點(diǎn)4、8的“相關(guān)矩形”如圖所示,

點(diǎn)4、8的“相關(guān)矩形"周長=2x（2+4）=12

故答案為：12;

②由定義知,4,是點(diǎn)4c的“相關(guān)矩形”的對(duì)角線,

又：點(diǎn)40的相關(guān)矩形是正方形，且4（2,0）

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,2）或（4,-2）

設(shè)直線461的解析式為5=丘+九

將（2,0）,（4,2）代入解得&=1"=—2

/.y=無一2

將（2,0）,（4,一2）代入解得左=一1,6=2

；?y=-x+2

???符合題意得直線力。的解析式為y=x—2或y=-x+2.

⑵?.?點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(3,-4),點(diǎn)0的坐標(biāo)為(6,-2),

...點(diǎn)的“相關(guān)矩形”的另兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-2),(6,-4)

當(dāng)函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過(3,-2)時(shí),仁-6,

X

當(dāng)函數(shù)y=A的圖象經(jīng)過(6,-4)時(shí),k=-24,

X

二函數(shù)y=&的圖象與點(diǎn)A。的“相關(guān)矩形”有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，發(fā)的取值范圍是：-24<-6

x

本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答此題需要理解“相關(guān)矩形”的定義,綜合性較高，一定要注意將

新舊知識(shí)貫穿起來.

21.(湖北省荊州市2021年中考數(shù)學(xué)真題)小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后,對(duì)函數(shù)^=-(國-1)2進(jìn)行了探究，在

經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線步驟后,得到如

下的函數(shù)圖像.請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題:

（1）觀察探究：

①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì):;

②方程-（忖-1）2=-1的解為:；

③若方程一（國一I）：=。有四個(gè)實(shí)數(shù)根,則。的取值范圍是.

（2）延伸思考：

將函數(shù)y=一（國一I）?的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y=-（|x-2|-l）2+3