北京101中學(xué)2021屆上學(xué)期高三年級(jí)9月月考數(shù)學(xué)試卷

北京101中學(xué)2021屆上學(xué)期高三年級(jí)9月月考數(shù)學(xué)試卷本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1集合，則＝（）A B C DR2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（）A B C D164函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A2 B3 C4 D5的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A10 B20 C30 D6如圖是函數(shù)的部分圖象，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則下列命題正確的是（）A函數(shù)為偶函數(shù)B函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線C函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心是7設(shè)F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓交于，使得成立，則稱其為周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期，對(duì)于周期為m的序列是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的序列中，滿足的序列是（）A11010… B11011… C10001… D11001…二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分。11在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，＝_____________。12設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則＝___________，＝_____________。13已知函數(shù)的值域?yàn)?，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)___________。14已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________。15在三棱錐中，兩兩垂直，點(diǎn)T在平面ABC上的射影為D，O為三棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交對(duì)面于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是____________。①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；②△ABC是銳角三角形；③；④；⑤。三、解答題：共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16本小題13分。設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，且。（1）求角A的大??；（2）從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)，完成本題的解答。①若，求c的值；②若，求a的值。17本小題13分。如圖，在三棱柱中，⊥平面，分別為的中點(diǎn)，，。（1）求證：AC⊥平面BEF；（2）求二面角的余弦值。18（本小題14分）盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球。每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?，設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為。（1）求取球結(jié)束時(shí)，沒(méi)有取到黃球的概率；（2）求的概率分布列，并求其數(shù)學(xué)期望。19（本小題15分）橢圓過(guò)點(diǎn)，其離心率為，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)左焦點(diǎn)作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求△的內(nèi)切圓半徑的最大值。（附：三角形內(nèi)切圓半徑為該三角形面積的2倍除以周長(zhǎng)）20已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，令，試證明。21在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列（整點(diǎn)即橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）與，其中，若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②線段⊥，其中，則稱互為正交點(diǎn)列。（1）求的正交點(diǎn)列；（2）判斷是否存在正交點(diǎn)列并說(shuō)明理由；（3），是否都存在無(wú)正交點(diǎn)列的有序整點(diǎn)列并證明你的結(jié)論。

【試題答案】一、選擇題1D2D3B由三視圖在長(zhǎng)方體中作出三棱錐的直觀圖，如圖所示，則該三棱錐的體積。4A5C的通項(xiàng)公式為，又的通項(xiàng)公式為，所以的通項(xiàng)公式為（），令得，所以的系數(shù)為。6C7A8B9C10C二、填空題11－2121；121，再由，又，所以。1391415①②④⑤16（1）由正弦定理即得，化簡(jiǎn)，解得，因?yàn)?°＜A＜180°，所以A＝60°。（2）選①：由余弦定理得，即，解得。經(jīng)驗(yàn)證1，4都是解，所以c的值是1或4。選②：由，得到，所以，再由余弦定理，得，所以。17（1）三棱柱中，因?yàn)椤推矫鍭BC，所以四邊形為矩形。又分別為的中點(diǎn)，所以AC⊥EF，因?yàn)椋訟C⊥BE，所以AC⊥平面BEF。（2）由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥，又⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以EF⊥BE。如圖建立空間直角坐標(biāo)系。由題意得，，所以。設(shè)平面BCD的法向量為，則即令，則，于是。又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以。由題知二面角為鈍角，所以其余弦值為。18我們用分別表示第i次取到紅球，綠球，黃球的事件，。（1）。（2）可以取，，，。的概率分布列為：012P。19（1）因?yàn)?，所以，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）當(dāng)直線斜率為零時(shí)，△不存在，設(shè)直線的方程為，由得。設(shè)點(diǎn)，則有，設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為r，則，所以。因?yàn)?，所以。設(shè)，則，內(nèi)切圓半徑，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，所以△的內(nèi)切圓半徑的最大值為。20（1）。①當(dāng)時(shí)，，時(shí)，單調(diào)增；時(shí)，單調(diào)減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。（2）當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)增；單調(diào)減，所以，所以。21（1）設(shè)點(diǎn)列的正交點(diǎn)列是，由正交點(diǎn)列的定義可知，設(shè)，，由正交點(diǎn)列的定義可知，即解得所以點(diǎn)列的正交點(diǎn)列是。（2）由題可得，設(shè)點(diǎn)列是點(diǎn)列的正交點(diǎn)列，則可設(shè)，因?yàn)榕c相同，所以有因?yàn)?，方程②顯然不成立，所以有序整點(diǎn)列不存在正交點(diǎn)列。（3），都存在整點(diǎn)列無(wú)正交點(diǎn)列，，設(shè)，其中是一對(duì)互質(zhì)整數(shù)，，若有序整點(diǎn)列是點(diǎn)列正交點(diǎn)列，則，則有當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取，