專題六尖子四邊形中的相似問題專題答案

專題六尖子四邊形中的相似問題專題答案四邊形中的相似問題專題題型一：平行四邊形中的相似問題例14．（2006?威海）已知：如圖①，在?ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)．過O的直線MN交直線AB于點(diǎn)M，交直線CD于點(diǎn)N；過O的另一條直線PQ交直線AD于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q，連接PN、MQ．（1）試證明△PON與△QOM全等；（2）若點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)，其他條件不變，則△PON與△QOM又有怎樣的關(guān)系？試就點(diǎn)O在圖②所示的位置，畫出圖形，證明你的猜想；（3）若點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），設(shè)OD：OB=k，PN=x，MQ=y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=．點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，把全等三角形，相似三角形放在平行四邊形的背景下，綜合利用這些知識(shí)來(lái)解題．15．（2010?成都）已知：在菱形ABCD中，O是對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖甲，P為線段BC上一點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q，當(dāng)O是BD的中點(diǎn)時(shí)，求證：OP=OQ；（2）如圖乙，連接AO并延長(zhǎng)，與DC交于點(diǎn)R，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OR的長(zhǎng)．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：綜合題．分析：（1）求簡(jiǎn)單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ODQ≌△OBP．（2）首先求AS的長(zhǎng)，要通過構(gòu)建直角三角形求解；過A作BC的垂線，設(shè)垂足為T，在Rt△ABT中，易證得∠ABT=∠DCB=60°，又已知了斜邊AB的長(zhǎng)，通過解直角三角形可求出AT、BT的長(zhǎng)；進(jìn)而可在Rt△ATS中，由勾股定理求出斜邊AS的值；由于四邊形ABCD是菱形，則AD∥BC，易證得△ADO∽△SBO，已知了AD、BS的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例線段可得出OA、OS的比例關(guān)系式，即可求出OA、OS的長(zhǎng)；同理，可通過相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值；由OR=OS﹣RS即可求出OR的長(zhǎng)．解答：（1）證明：∵ABCD為菱形，∴AD∥BC．∴∠OBP=∠ODQ∵O是BD的中點(diǎn)，∴OB=OD在△BOP和△DOQ中，∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ∴△BOP≌△DOQ（ASA）∴OP=OQ．（2）解：如圖，過A作AT⊥BC，與CB的延長(zhǎng)線交于T．∵ABCD是菱形，∠DCB=60°∴AB=AD=4，∠ABT=60°∴AT=ABsin60°=TB=ABcos60°=2∵BS=10，∴TS=TB+BS=12，∴AS=．∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB．∴，則，∴∵AS=，∴OS=AS=．同理可得△ARD∽△SRC．∴，則，∴，∴．∴OR=OS﹣RS=．（12分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)；（2）中能夠正確的構(gòu)建出直角三角形，求出AS的長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵．17．（2010?寧波）如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，?ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G．（1）求∠DCB的度數(shù)；（2）連接OE，以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸，△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與射線DC的交點(diǎn)為H．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面積為3，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論．分析：（1）由于平行四邊形的對(duì)角相等，只需求得∠DAO的度數(shù)即可，在Rt△OAD中，根據(jù)A、D的坐標(biāo)，可得到OA、OD的長(zhǎng)，那么∠DAO的度數(shù)就不難求得了．（2）①根據(jù)A、D的坐標(biāo)，易求得E點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到AE、OE的長(zhǎng)，由此可判定△AOE是等邊三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知∠OF′E=∠EFA，通過等量代換可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可證得所求的三角形相似．②過E作CD的垂線，設(shè)垂足為M，則EM為△EGH中GH邊上的高，根據(jù)△EGH的面積即可求得GH的長(zhǎng)，在①題已經(jīng)證得△DEG∽△DHE，可得DE2=DG?DH，可設(shè)出DG的長(zhǎng)，然后表示出DH的值，代入上面的等量關(guān)系式中，即可求得DG的長(zhǎng)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知：DG=AF，由此得到AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，需注意的是，在表示DH的長(zhǎng)時(shí)，要分兩種情況考慮：一、點(diǎn)H在G的右側(cè)，二、點(diǎn)H在G的左側(cè)．解答：解：（1）在直角△OAD中，∵tan∠OAD=OD：OA=，∴∠A=60°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C=∠A=60°；（2）①證明：∵A（﹣2，0），D（0，2），且E是AD的中點(diǎn)，∴E（﹣1，），AE=DE=2，OE=OA=2，∴△OAE是等邊三角形，則∠AOE=∠AEO=60°；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，∴∠OF′E=∠DEH；∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，∴∠DGE=∠DEH，又∵∠GDE=∠EDH，∴△DGE∽△DEH．②過點(diǎn)E作EM⊥直線CD于點(diǎn)M，∵CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DE?sin60°=2×=，∵S△EGH=?GH?ME=?GH?=3，∴GH=6；∵△DHE∽△DEG，∴=即DE2=DG?DH，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，設(shè)DG=x，DH=x+6，∴4=x（x+6），解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣（舍），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1﹣，0）；當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)時(shí)，設(shè)DG=x，DH=x﹣6，∴4=x（x﹣6），解得：x1=3+，x2=3﹣（舍），∵△DEG≌△AEF，∴AF=DG=3+，∵OF=AO+AF=3++2=+5，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣﹣5，0），綜上可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別是F1（1﹣，0），F(xiàn)2（﹣﹣5，0）．點(diǎn)評(píng)：此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，主要有：平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大．題型二：梯形中的相似問題21．（2000?朝陽(yáng)區(qū)）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上，且AD=a，BC=b．（1）如果點(diǎn)E、F分別為AB、DC的中點(diǎn)，如圖．求證：EF∥BC，且EF=；（2）如果，如圖，判斷EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代數(shù)式表示EF．請(qǐng)證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例．分析：（1）連接AF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于M，利用ASA可證△ADF≌△MCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是EF就轉(zhuǎn)化為△ABM的中位線，那么EF=BM，而CM=AD，所以EF=BM=（BC+CM）=（BC+AD）；（2）證法和（1）相同，只是換成求線段的長(zhǎng)．先利用平行線分線段成比例定理的推論，可得AF：FM=AD：CM=DF：FC=m：n，從而在△ABM中，AE：BE=AF：FM，再利用比例線段的性質(zhì)，就有AE：AB=AF：AM，再加上一個(gè)公共角，可證△AEF∽△ABM，則∠AEF=∠ABM，那么EF∥BM，從而有EF：BM=AE：AB=m：（m+n），而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求，把BM代入上式即可求EF．解答：（1）證明：連接AF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，（1分）∵AD∥BM，∴∠D=∠1，∵點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，∴DF=FC，又∵∠2=∠3，∴△ADF≌△MCF，∴AF=FM，AD=CM，（3分）∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABM的中位線，∴EF∥BC，EF=BM，∵BM=BC+CM=BC+AD，∴EF=（AD+BC），即EF=（a+b）；（5分）（2）答：EF∥BC，EF=，證明：連接AF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵AD∥BM，∴又∵，在△ABM中，有=∴EF∥BC，（9分）∴==，∴EF=BM=，（10分）而，∴CM=，（11分）∴EF=（b+），∴EF=．點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、比例線段的性質(zhì)等知識(shí)．10．（2007?岳陽(yáng)）已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°，（1）如圖1，E為AB上任意一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，則有AD∥BC；（2）若將等腰Rt△ABC改為正△ABC，如圖2所示，E為AB邊上任一點(diǎn)，△CDE為正三角形，連接AD，上述結(jié)論還成立嗎？答成立；（3）若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，如圖3，E為AB上任一點(diǎn)，△DEC∽△ABC，連接AD，請(qǐng)問AD與BC的位置關(guān)系怎樣？答：AD∥BC．請(qǐng)你在上述3個(gè)結(jié)論中，任選一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：幾何綜合題．分析：欲證AD∥BC，可以根據(jù)等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ACD∽△BCE，再證明AD與BC的內(nèi)錯(cuò)角相等，得出結(jié)論．解答：解：（1）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=45°．∴=，∠DCA=∠ECB．∴△ACD∽△BCE．∴∠DAC=∠EBC=45°．∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC．（2）∵△ABC和△DEC是正三角形，∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°．∴=，∠DCA=∠ECB．∴△ACD∽△BCE．∴∠DAC=∠EBC=60°．∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC．成立．（3）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，△ABC∽△DEC，∴∠ACB=∠DCE．∴=，∠DCA=∠ECB．∴△ACD∽△BCE．∴∠DAC=∠EBC．∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC．點(diǎn)評(píng)：觀察測(cè)量，然后進(jìn)行推理證明，是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的基本規(guī)律．本題考查了等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定．注意證明方式相同．8．（2008?安徽）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．（1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：幾何綜合題．分析：此題的圖形比較復(fù)雜，需要仔細(xì)分析圖形．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根據(jù)AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出所求線段的比例關(guān)系．解答：解：（1）∵四邊形ACED是平行四邊形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．（2）∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位線，∴BP=PR，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵點(diǎn)R是DE中點(diǎn)，∴DR=RE．，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．題型三：矩形中的相似問題12．（2008?廈門）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長(zhǎng)；（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=AC?AP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：菱形的判定；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：開放型；存在型．分析：（1）因?yàn)槭菍?duì)折所以AO=CO，利用三角形全等證明EO=FO，四邊形便是菱形；（2）因?yàn)槊娣e是24，也就是AB、BF的積可以求出，所以求周長(zhǎng)只要求出AB、BF的和就可以，而結(jié)合勾股定理它們和的平方減去乘積二倍就是AF的平方；（3）因?yàn)锳C=AO所以可以從與△AOE相似的角度考慮，即過E作EP⊥AD．解答：（1）證明：連接EF交AC于O，當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE=OF（2分）∴四邊形AFCE是菱形．（3分）（2）解：四邊形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．設(shè)AB=x，BF=y，∵∠B=90，∴（x+y）2﹣2xy=100①又∵S△ABF=24，∴xy=24，則xy=48．②（5分）由①、②得：（x+y）2=196（6分）∴x+y=14，x+y=﹣14（不合題意舍去）∴△ABF的周長(zhǎng)為x+y+AF=14+10=24．（7分）（3）解：過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)．（9分）證明：由作法，∠AEP=90°，由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP（AA），∴=，則AE2=AO?AP（10分）∵四邊形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE2=AC?AP（11分）∴2AE2=AC?AP（12分）即P的位置是：過E作EP⊥AD交AC于P．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查（1）菱形的判定方法“對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形”，（2）相似三角形的判定和性質(zhì)．30．（2006?成都）已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)C，D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點(diǎn)F，H，G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）設(shè)DE=m（0＜m＜12），試用含m的代數(shù)式表示的值；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題．分析：（1）通過構(gòu)建相似三角形來(lái)求解，過點(diǎn)H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N兩點(diǎn)．那么MH就是三角形ADE的中位線，MH=m，那么HN=12﹣m，只要證出兩三角形相似，就可表示出FH：HG的值，已知了一組對(duì)頂角，一組直角，那么兩三角形就相似，F(xiàn)H：HG=MH：NH，也就能得到所求的值．（2）可通過構(gòu)建相似三角形求解，過點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K，那么HN=KB，MH=AK，根據(jù)FH：HG=1：2，就能求出m的值，也就求出了MH，HN的長(zhǎng)，又知道了HK的長(zhǎng)，那么通過三角形AKH和HKP相似我們可得出關(guān)于AK，KH，KP的比例關(guān)系，就可求出KP的長(zhǎng)，然后BP=KP﹣KB就能求出BP的長(zhǎng)了．解答：解：（1）過點(diǎn)H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N兩點(diǎn)，∵FP是線段AE的垂直平分線，∴AH=EH，∵M(jìn)H∥DE，∴Rt△AHM∽R(shí)t△AED，∴==1，∴AM=MD，即點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴AM=MD=6，∴MH是△ADE的中位線，MH=DE=m，∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABNM是矩形，∵M(jìn)N=AD=12，∴HN=MN﹣MH=12﹣m，∵AD∥BC，∴Rt△FMH∽R(shí)t△GNH，∴，即（0＜m＜12）；（2）過點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K，則四邊形AKHM和四邊形KBNH都是矩形．∵，解得m=8，∴MH=AK=m=8=4，HN=KB=12﹣m=12﹣8=8，KH=AM=6，∵Rt△AKH∽R(shí)t△HKP，∴，即KH2=AK?KP，又∵AK=4，KH=6，∴62=4?KP，解得KP=9，∴BP=KP﹣KB=9﹣8=1．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，要充分利用好正方形的性質(zhì)，通過已知和所求的條件構(gòu)建出相似三角形來(lái)求解是解題的關(guān)鍵．13．（2009?寧波）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（﹣8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形OA′B′C′，此時(shí)OA′、B′C′分別與直線BC相交于P、Q．（1）四邊形OA′B′C′的形狀是矩形，當(dāng)α=90°時(shí)，的值是；（2）①如圖2，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在y軸正半軸上時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí)，求△OPB′的面積；（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0°＜α≤180°時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使BP=BQ？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；直角三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定；坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)有一