希爾伯特變換的分析與應(yīng)用

論文（設(shè)計(jì)）題目：希爾伯特變換的分析與應(yīng)用

PAGEII希爾伯特變換的分析與應(yīng)用摘要希爾伯特（Hilbert）變換是信號(hào)分析處理技術(shù)中的一種重要方法，它可以將信號(hào)進(jìn)行90度相移，并能有效地提取復(fù)雜信號(hào)的瞬時(shí)參數(shù)——瞬時(shí)振幅、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率。文中詳細(xì)討論了希爾伯特的特點(diǎn)及算法，并介紹希爾伯特變換在探地雷達(dá)數(shù)據(jù)處理、數(shù)字I-Q下變頻器及通信解調(diào)中的應(yīng)用。[關(guān)鍵詞]

Hilbert變換，探地雷達(dá)，信號(hào)處理，瞬時(shí)參數(shù)

ABSTRACTHilberttransformissignal(theanalysistechnologyisakindofimportantmethod,itcandeliversignalsto90degreesphaseshift,andcaneffectivelyextractcomplexsignalinstantaneousparameter,theinstantaneousamplitude,instantaneousphaseandinstantaneousfrequency.ThispaperdiscussesindetailthecharacteristicsandHilbert,andintroducetheHilberttransformationalgorithminGPRdataprocessing,digitalI-Qundertheapplicationofinverterandcommunicationdemodulation.[Keywords]HilbertTransform,groundpenetratingradar,signalprocessing,instantaneousparameters目錄一、引言 1（一）背景及意義 1（二）希爾伯特變換的發(fā)展現(xiàn)狀 2二、希爾伯特變換的分析 3（一）希爾伯特變換的定義 31、卷積積分 32、相位 33、解析信號(hào)的虛部 4（二）希爾伯特變換的性質(zhì) 5三、希爾伯特變換的應(yīng)用 7(一)希爾伯特變換在探地雷達(dá)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用 71、在探地雷達(dá)中的應(yīng)用 72、公式 83、算法 94、希爾伯特變換C程序 105、在探地雷達(dá)中的應(yīng)用效果 14（二）數(shù)字I-Q下變頻器 151、希爾伯特變換 152、基于希爾伯特變換的數(shù)字I-Q下變頻器 16（三）希爾伯特變換在解調(diào)中的應(yīng)用 171、希爾伯特變換 172、在解調(diào)中的應(yīng)用 183、解調(diào)性能分析 19四、結(jié)論與前景展望 20（一）結(jié)論 20（二）前景展望 21參考文獻(xiàn) 22致謝 23希爾伯特變換的分析與應(yīng)用一、引言（一）背景及意義在通信系統(tǒng)中，經(jīng)常需要對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為同相分量和正交分量。由于希爾伯特變換可以提供90度的相位變化而不影響頻譜分量的幅度，即對(duì)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換就相當(dāng)于對(duì)該信號(hào)進(jìn)行正交移相，使它成為自身的正交對(duì)。因此，希爾伯特在通信領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。對(duì)HHT采樣頻率、終止準(zhǔn)則、曲線擬合、邊界處理以及模態(tài)混疊等問(wèn)題進(jìn)行了分析，并基于HHT的時(shí)間特征尺度概念，提出了一種新的邊界處理方法：邊界局部特征尺度延拓法，較好地改善了邊界效應(yīng)對(duì)EMD分解的影響。將HHT用于電力系統(tǒng)的信號(hào)處理，并根據(jù)HHT的信號(hào)突變檢測(cè)性能，提出了一種超高壓輸電線路的EMD故障測(cè)距方法。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法能很好地實(shí)現(xiàn)故障定位及測(cè)距。物理意義：希爾伯特可看成一種濾波，其本質(zhì)上是對(duì)所有輸入信號(hào)的90度相移器；對(duì)于穩(wěn)定的實(shí)因果信號(hào)，其傅立葉變換的實(shí)部和虛部滿足希爾伯特變換關(guān)系，同時(shí)其對(duì)數(shù)幅度譜和相位譜之間也滿足此關(guān)系，前提是該信號(hào)為最小相位信號(hào)。工程意義：對(duì)于自由度為一維的條信號(hào)，比如PAM，其等效基帶信號(hào)是實(shí)的，這意味著對(duì)應(yīng)的基帶頻譜是共軛對(duì)稱的，即一半的頻譜是冗余的，那么就可以將頻譜濾除一半再進(jìn)行傳輸，這就形成了所謂的單邊帶調(diào)制(SSB)。而理論上，一個(gè)信號(hào)和其Hilbert變化后的值相加，就可以得到所謂解析信號(hào)，該信號(hào)只保留原信號(hào)的正頻譜。而單邊帶調(diào)制雖然節(jié)省傳輸頻率，但為了進(jìn)行邊帶濾波，必須進(jìn)行復(fù)雜的頻譜成形，發(fā)送和接收的復(fù)雜度都比較高，相干載波的相位誤差所造成的影響大。所以，選擇PAM信號(hào)進(jìn)行頻譜濾除的濾波器具有一定的滾降，即保留部分PAM信號(hào)中的冗余頻譜，這樣就成為VSB調(diào)制。（二）希爾伯特變換的發(fā)展現(xiàn)狀近年來(lái)，隨著現(xiàn)代信號(hào)的向前發(fā)展，人們從不同的研究領(lǐng)域和應(yīng)用角度出發(fā)，提出了拓展經(jīng)典Hilbert變換，提出了分?jǐn)?shù)階Hilbert變換，拓展了它的應(yīng)用范圍。比如子波構(gòu)造，特別是時(shí)序列信號(hào)的解析子波分析；基于離散時(shí)間的分?jǐn)?shù)階希爾伯特變換的調(diào)制與解調(diào)系統(tǒng)；利用廣義化后的Hilbert構(gòu)造的廣義解析信號(hào)進(jìn)行圖像邊緣的檢測(cè)等等。在數(shù)字與信號(hào)處理的領(lǐng)域中，一個(gè)實(shí)值函數(shù)的希爾伯特變換在此標(biāo)示為H——是將信號(hào)s(t)與1/(πt)做卷積，以得到s(t)。因此，希爾伯特變換結(jié)果s(t)可以被解讀為輸入是線性非時(shí)變系統(tǒng)的輸出，而此系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為1/(πt)。這是一項(xiàng)有用的數(shù)學(xué)，用在描述一個(gè)以實(shí)數(shù)值載波做調(diào)制的信號(hào)之復(fù)數(shù)包絡(luò)，出現(xiàn)在通訊理論中。在通信系統(tǒng)中，經(jīng)常需要對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為同相分量和正交分量。由于希爾伯特變換可以提供90度的相位變化而不影響頻譜分量的幅度，即對(duì)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換就相當(dāng)于對(duì)該信號(hào)進(jìn)行正交移相，使它成為自身的正交對(duì)。因此，希爾伯特在通信領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。例如：利用希爾伯特變換進(jìn)行諧波恢復(fù)，希爾伯特變換在故障診斷中的應(yīng)用，希爾伯特變換在信號(hào)解調(diào)中的應(yīng)用，希爾伯特變換在語(yǔ)音信號(hào)處理中的應(yīng)用等。二、希爾伯特變換的分析希爾伯特變換是以著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特(David)來(lái)命名。在信號(hào)處理的領(lǐng)域中，一個(gè)實(shí)值函數(shù)的希爾伯特變換(Hilberttransform)，是將信號(hào)s(t)與1/(πt)做卷積，以得到s(t)。因此，希爾伯特變換結(jié)果s(t)可以被解讀為輸入是線性非時(shí)變系統(tǒng)的輸出，而此系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為1/(πt)。用在描述一個(gè)以實(shí)數(shù)值載波做調(diào)制的信號(hào)之復(fù)數(shù)包絡(luò)。（一）希爾伯特變換的定義1、卷積積分設(shè)實(shí)值函數(shù)，其中，它的希爾伯特變換為(2-1)常記為(2-2)由于是函數(shù)與的卷積積分，故可寫(xiě)成=*(2-3)2、相位設(shè)，根據(jù)(2-3)式和傅里葉變換性質(zhì)可知，是的傅里葉變換和的傅里葉變換的乘積。由(2-4)得可表達(dá)為所以是一個(gè)相移系統(tǒng)，即希爾伯特變換等效于的相移，對(duì)正頻率產(chǎn)生的相移，對(duì)負(fù)頻率產(chǎn)生相移，或者說(shuō)，在時(shí)域信號(hào)中每一頻率成分移位波長(zhǎng)。因此，希爾伯特變換又稱為90度移相器。3、解析信號(hào)的虛部為進(jìn)一步理解希爾伯特變換的意義，引入解析函數(shù):(2-5)也可以寫(xiě)成(2-6)其中，稱為希爾伯特變換的包絡(luò)；稱為瞬時(shí)響應(yīng)信號(hào)。希爾伯特變換包絡(luò)定義為(2-7)相位定義為(2-8)瞬時(shí)頻率定義為(2-9)根據(jù)傅里葉變換式(2-10)為計(jì)算，由知(2-11)其中

因此，可以簡(jiǎn)單地從得到，而的虛部即。（二）希爾伯特變換的性質(zhì)①線性性質(zhì)若a，b為任意常數(shù)，且，，則有(2-12)②移位性質(zhì)(2-13)③希爾伯特變換的希爾伯特變換(2-14)此性質(zhì)表明，兩重希爾伯特變換的結(jié)果僅使原函數(shù)加一負(fù)號(hào)，由此可以進(jìn)一步得到(2-15)④逆希爾伯特變換(2-16)為與的卷積，可表示為(2-17)其中，。⑤奇偶特性如果原函數(shù)是的偶（奇），則其希爾伯特變換就是的奇（偶）函數(shù)，即(2-18)⑥能量守恒根據(jù)帕塞瓦爾定理可知和因而有(2-19)⑦正交性質(zhì)(2-20)⑧調(diào)制性質(zhì)對(duì)任意函數(shù)，其傅里葉變換是帶限的，即則有(2-21)⑨卷積性質(zhì)(2-22)另外，希爾伯特變換具有周期性和同域性，即希爾伯特變換不改變?cè)瘮?shù)的周期性，也不改變域表示，而不像傅里葉變換那樣，把時(shí)間函數(shù)（信號(hào)）從時(shí)域表示換成頻域表示。⑩常用希爾伯特變換：三、希爾伯特變換的應(yīng)用(一)希爾伯特變換在探地雷達(dá)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用1、在探地雷達(dá)中的應(yīng)用探地雷達(dá)（GroundPenetratingRadar）是近幾年迅速發(fā)展起來(lái)高分辨高效率的無(wú)損探測(cè)技術(shù)，向地下發(fā)送脈沖形式的高頻寬帶電磁波，利用地下介質(zhì)電性參數(shù)差異，根據(jù)回波信號(hào)的振幅、波形和頻率等運(yùn)動(dòng)學(xué)特征來(lái)分析和推斷介質(zhì)結(jié)構(gòu)和物性特征，具有快速便捷、操作簡(jiǎn)單、抗干擾和場(chǎng)地適應(yīng)能力強(qiáng)、探測(cè)分辨率高等方面的特點(diǎn)，目前已成為工程檢測(cè)和勘察最為活躍的技術(shù)方法之一。雷達(dá)的探測(cè)必須經(jīng)歷數(shù)據(jù)的采集、處理和解釋等三個(gè)步驟，數(shù)據(jù)處理的目的就是要壓制干擾，以最大限度的分辨在雷達(dá)圖像剖面上顯示反射波，提取有效信息，因此信號(hào)處理的好壞直接關(guān)系到最終資料解釋的正確與否，是至為關(guān)鍵的一步。

探地雷達(dá)的資料處理在理論上屬于數(shù)字信號(hào)處理范疇，希爾伯特（Hilbert）變換在本質(zhì)上是一種全通濾波器，是信號(hào)分析處理中的一種重要方法，Hilbert變換巧妙地應(yīng)用解析表達(dá)式中的實(shí)部與虛部的正弦和余弦關(guān)系，定義出任意時(shí)刻的瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)相位及瞬時(shí)幅度，使得對(duì)于短信號(hào)和復(fù)雜信號(hào)的瞬時(shí)參數(shù)的提取成為可能，從而能更有效地、真實(shí)地獲取信號(hào)中所含的信息，有利于分析地下介質(zhì)的分布情況。下面將Hilbert變換用于探地雷達(dá)資料的數(shù)據(jù)處理中，提取出瞬時(shí)振幅、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率，即“三瞬”信息，為后續(xù)的雷達(dá)資料解釋提供了很好的依據(jù)。2、公式雷達(dá)記錄的Hilbert變換公式

（3-1）變換因子的時(shí)間響應(yīng)為

（3-2）其頻率響應(yīng)

由上式可知，一個(gè)是實(shí)信號(hào)經(jīng)過(guò)Hilbert變換之后，相位譜要發(fā)生90o相移，因此Hilbert變換又可稱為90o相移濾波。3、算法設(shè)一個(gè)解析信號(hào)可表示為依賴于時(shí)間的復(fù)變量

(3-3)式中，是信號(hào)本身，是它的正交。正交是記錄信號(hào)的90o相移翻版。對(duì)作Hilbert變換就可得到

(3-4)代入方程式(3-3)，我們有：

(3-5)或

(3-6)這樣，要得到探地雷達(dá)單道的解析信號(hào)只要對(duì)該道加上下列算子：當(dāng)在傅立葉變換域中是解析的，這個(gè)算子對(duì)負(fù)頻率就是零。因此復(fù)數(shù)道不包含負(fù)頻率成分。一旦算出了，就可以指數(shù)形式表達(dá)：

(3-7)式中（3-8）及

(3-9)這里代表瞬時(shí)振幅，代表瞬時(shí)相位。對(duì)瞬時(shí)相位還可用下面一種方法計(jì)算。對(duì)方程（3-7）兩邊取對(duì)數(shù)得，

(3-10)

因此

(3-11)式中，是虛部。瞬時(shí)頻率是瞬時(shí)相位函數(shù)的時(shí)間變化速率：

(3-12)對(duì)方程式(3-11)求導(dǎo)：

(3-13)為實(shí)際實(shí)現(xiàn)，方程式(3-13)寫(xiě)成差分方程：

(3-14)最后對(duì)方程式(3-14)簡(jiǎn)化得(3-15)4、希爾伯特變換C程序希爾伯特變換c程序用于相位的求取。#definePI3.1415926

#definePI26.2831853

#include"stdio.h"

#include"math.h"

/*

inv=1forwardtransform;inv=-1inversetransform

*/

fft(floatsr[]，floatsx[]，intm0，intinv)

{

inti，j，lm，li，k，lmx，np，lix，mm2;

floatt1，t2，c，s，cv，st，ct;

if(m0<0)

return;

inv=-inv;

lmx=1;

for(i=1;i<=m0;++i)

lmx+=lmx;

//get2**m0

cv=PI2/(double)lmx;

ct=cos(cv);

st=sin(cv)*inv;

np=lmx;mm2=m0-2;

/*fftbutterflynumeration*/

for(i=1;i<=mm2;++i)

{

lix=lmx;lmx/=2;

c=ct;s=st;

for(li=0;li<np;li+=lix)

{

j=li;k=j+lmx;

t1=sr[j]-sr[k];t2=sx[j]-sx[k];

sr[j]+=sr[k];sx[j]+=sx[k];sr[k]=t1;sx[k]=t2;

++j;++k;

t1=sr[j]-sr[k];t2=sx[j]-sx[k];

sr[j]+=sr[k];sx[j]+=sx[k];

sr[k]=c*t1-s*t2;sx[k]=s*t1+c*t2;

}

for(lm=2;lm<lmx;++lm)

{

cv=c;c=ct*c-st*s;s=st*cv+ct*s;

for(li=0;li<np;li+=lix)

{

j=li+lm;k=lmx+j;

t1=sr[j]-sr[k];t2=sx[j]-sx[k];

sr[j]+=sr[k];sx[j]+=sx[k];

sr[k]=c*t1-s*t2;sx[k]=s*t1+c*t2;

}

}

cv=ct;ct=2.0*ct*ct-1.0;st=2.0*st*cv;

}

/*4pointsDFT*/

if(m0>=2)

for(li=0;li<np;li+=4)

{

j=li;k=j+2;

t1=sr[j]-sr[k];t2=sx[j]-sx[k];

sr[j]+=sr[k];

sx[j]+=sx[k];

sr[k]=t1;sx[k]=t2;

++j;++k;

t1=sr[j]-sr[k];t2=sx[j]-sx[k];

sr[j]+=sr[k];sx[j]+=sx[k];

sr[k]=-inv*t2;sx[k]=inv*t1;

}

/*2pointsDFT*/

for(li=0;li<np;li+=2)

{

j=li;k=j+1;

t1=sr[j]-sr[k];t2=sx[j]-sx[k];

sr[j]+=sr[k];sx[j]+=sx[k];

sr[k]=t1;sx[k]=t2;

}

/*sortaccordingtobitreversal*/

lmx=np/2;j=0;

for(i=1;i<np-1;++i)

{

k=lmx;

while(k<=j)

{

j-=k;k/=2;

}

j+=k;

if(i<j)

{

t1=sr[j];sr[j]=sr[i];sr[i]=t1;

t1=sx[j];sx[j]=sx[i];sx[i]=t1;

}

}

/*

ifInverseFFT，multiply1.0/np

*/

if(inv!=1.0)

return;

t1=1.0/np;

for(i=0;i<np;++i)

{

sr[i]*=t1;sx[i]*=t1;

}

}

main()

{

floatxr[2048]，xi[2048]，xt[2048];

inti，np，nfft，k，nf;

floatt，dt，df，f，hf;

floatf0=10，f1=20，f2=30;

FILE*fp1，*fp2;

charfil1[60]，fil2[60];

printf("ENTERTIMESIGNALFILE\n");

scanf("%s"，fil1);

printf("ENTERAMPLITUDESPECTRUMFILE\n");

scanf("%s"，fil2);

printf("SAMPLEPOINTS?\n");

scanf("%d"，&np);

printf("SAMPLEINTERVAL(S)?\n");

scanf("%f"，&dt);

printf("HIGHCUTOFFFREQUENCY(Hz)?\n");

scanf("%f"，&hf);

fp1=fopen(fil1，"w");

fp2=fopen(fil2，"w");

for(i=0;i<np;i++)

{t=(i-np/2)*dt;

if(t!=0.0)xt[i]=1.0/(PI*t);

elsext[i]=0.0;

xr[i]=xt[i];

}

//calculatefftpoint

k=log(np*1.0)/log(2.0);

if(np>pow(2.0，k*1.0))k=k+1;

nfft=pow(2.0，k*1.0);

df=1.0/(nfft*dt);

nf=hf/df+1;

printf("nfft=%d

k=%d\n"，nfft，k);

printf("dt=%f

df=%f

nf=%d\n"，dt，df，nf);

//fillzero

if(np<nfft)

{for(i=np;i<nfft;i++)

xr[i]=0;

}

for(i=0;i<nfft;i++)

xi[i]=0.0;

//calculatefft

fft(xr，xi，k，1);

//outputamplitudeandargument

for(i=0;i<nf;i++)

{f=i*df;

fprintf(fp2，"%d%8.2f%12.4f%12.4f\n"，i，f，atan(xr[i]/xi[i])，sqrt(xr[i]*xr[i]+xi[i]*xi[i]));

}

fft(xr，xi，k，-1);

for(i=0;i<np;i++)

{t=i*dt;

fprintf(fp1，"%10d%10.4f%10.4f%10.4f\n"，i+1，t，xt[i]，xr[i]);

}

fclose(fp1);

fclose(fp2);

}5、在探地雷達(dá)中的應(yīng)用效果石剛在文獻(xiàn)[12]中，利用Hilbert變換算法對(duì)某地下人防通道采集的探地雷達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，探測(cè)天線為100MHz，剖面時(shí)間窗為140ns，處理結(jié)果如圖1所示，橢圓圈出人防通道的具體位置。在圖1中，(a)是原始剖面，(b)是對(duì)原始剖面進(jìn)行Hilbert變換后的瞬時(shí)振幅剖面，(c)是對(duì)原始剖面進(jìn)行Hilbert變換的瞬時(shí)相位剖面，(d)是對(duì)原始剖面進(jìn)行變Hilbert變換的瞬時(shí)頻率剖面。從結(jié)果對(duì)比來(lái)看，Hilbert變換對(duì)公路塌陷有良好的反應(yīng)，在Hilbert變換運(yùn)算過(guò)程中，通過(guò)求取瞬時(shí)振幅、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率剖面，強(qiáng)化了介質(zhì)對(duì)雷達(dá)波的反射和吸收對(duì)比度，從而在某種程度上可以提高異常信號(hào)的分辨能力。圖1

Hilbert剖面（二）數(shù)字I-Q下變頻器在通信系統(tǒng)中，人們提出利用數(shù)字方式產(chǎn)生具有高平衡度I-Q信道的方法。在該方法中，I信道的數(shù)據(jù)從單信道的下變頻器得到，Q信道的數(shù)據(jù)通過(guò)對(duì)I信道的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理產(chǎn)生，從而把I-Q信道輸出之間的不平衡度保持在最低限度。以數(shù)字I-Q下變頻器為例，通過(guò)對(duì)數(shù)字化后的輸入信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換以確定，其時(shí)域希爾伯特變換是利用的定義，并通過(guò)FFT反變換來(lái)獲得。1、希爾伯特變換函數(shù)的希爾伯特變換定義為與函數(shù)的卷積。這可表示為(3-16)其中，表示卷積，和表示時(shí)域中的一個(gè)希爾伯特變換，。頻域中的希爾伯特變換可表示為(3-17)由于的傅里葉變換為(3-18)所以，只要將的負(fù)頻率乘以，而正頻率乘以，即可得頻域內(nèi)的希爾伯特變換。當(dāng)輸入信號(hào)時(shí)，其傅里葉變換為(3-19)將其負(fù)頻率乘以，而正頻率乘以，得(3-20)對(duì)等式兩邊同時(shí)求傅里葉反變換，得(3-21)上式表明，正弦函數(shù)的希爾伯特變換就是負(fù)的余弦函數(shù)，結(jié)果是將輸入信號(hào)移相了。同理，如輸入信號(hào)是余弦函數(shù)，則希爾伯特變換就為正弦函數(shù)。結(jié)果也移相了。因此，希爾伯特變換可以提供90度得相位變化而不影響頻譜分量的幅度大小。2、基于希爾伯特變換的數(shù)字I-Q下變頻器基于希爾伯特變換的數(shù)字I-Q下的變頻器的結(jié)構(gòu)如下圖2所示：BPFBPFA/D延時(shí)單元希爾伯特濾波器頻移或抽取圖2變頻器的結(jié)構(gòu)圖中頻信號(hào)首先被直接采樣，然后分上下兩路，一路信號(hào)經(jīng)過(guò)延遲單元，另一路信號(hào)經(jīng)過(guò)希爾伯特變換網(wǎng)絡(luò)，從而得到正交數(shù)字信號(hào)。在數(shù)字接收機(jī)中，輸入信號(hào)被數(shù)字化并進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT）以確定，其時(shí)域希爾伯特變換是利用對(duì)的定義，并通過(guò)FFT反變換來(lái)獲得。此外，在離散域中，數(shù)據(jù)的點(diǎn)數(shù)必須有限（例如為2M+1）。對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化并取其點(diǎn)數(shù)為有限值，這相當(dāng)于給輸入信號(hào)加了一個(gè)矩形窗。用一個(gè)有限沖激響應(yīng)濾波器FIR就可以近似理想的希爾伯特變換。實(shí)際應(yīng)用中，通常采用半帶濾波器和級(jí)聯(lián)積分梳狀濾波器。（三）希爾伯特變換在解調(diào)中的應(yīng)用1、希爾伯特變換一般情況下，通信系統(tǒng)接收到的解調(diào)信號(hào)可以表示為（3-22）在調(diào)幅、調(diào)頻、調(diào)相等不同的調(diào)制方式下，分別對(duì)應(yīng)于、、的變化。如果調(diào)頻信號(hào)通過(guò)間接調(diào)頻實(shí)現(xiàn)，那么調(diào)制信號(hào)可表示為（3-23）在正交解調(diào)法中，利用同相和正交兩個(gè)分量求得如下：其中，（3-24）即正交解調(diào)法中的同相和正交兩個(gè)分量，根據(jù)、，就可以對(duì)各種調(diào)制方式進(jìn)行解調(diào)。利用和求、如下：（3-25）（3-26）希爾伯特變換的定義：給定實(shí)值函數(shù)，它的希爾伯特變換記作。希爾伯特變換有一條重要的性質(zhì)：設(shè)低頻限帶信號(hào)的傅里葉變換為，帶寬為，則當(dāng)時(shí)，有那么對(duì)已調(diào)信號(hào)，，，其希爾伯特變換為（3-27）由式（3-23）及式（3-27）可得（3-28）（3-29）將式（3-28）和式（3-29）與式（3-25）和式（3-26）對(duì)比，我們可以看出兩者是及其相似的，但兩者在實(shí)際的實(shí)現(xiàn)上有很大的不同。2、在解調(diào)中的應(yīng)用依據(jù)希爾伯特變換的定義和性質(zhì)，設(shè)計(jì)的解調(diào)器結(jié)構(gòu)如圖3所示：A/DA/D延時(shí)器希爾伯特濾波器幅度提取與相位提取基帶信號(hào)解調(diào)圖3通用解調(diào)器結(jié)構(gòu)經(jīng)過(guò)采樣后，信號(hào)離散化為，則（3-30）由希爾伯特變換的定義可知，的希爾伯特變換實(shí)際上是與沖激響應(yīng)為的系統(tǒng)卷積，所以可以通過(guò)希爾伯特濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換。在數(shù)字信號(hào)處理中設(shè)計(jì)希爾伯特濾波器時(shí)，一般采用窗化法來(lái)設(shè)計(jì)。它的沖激響應(yīng)為（3-31）為窗函數(shù)，為濾波器的階數(shù)。這樣當(dāng)通過(guò)濾波器時(shí)就會(huì)產(chǎn)生的延時(shí)，因此必須加上延時(shí)器，以保證信號(hào)和它的希爾伯特變換保持同步，得到準(zhǔn)確的和。3、解調(diào)性能分析同正交解調(diào)器相比，大大簡(jiǎn)化了系統(tǒng)在中頻段的處理，去掉了不通用的鎖相環(huán)路，使得系統(tǒng)通用性大大增強(qiáng)?？梢圆捎脤Ｓ玫臄?shù)字信號(hào)處理芯片實(shí)現(xiàn)希爾伯特濾波器和幅度相位提取模塊，而將基帶信號(hào)的處理交給DSP等通用數(shù)字信號(hào)處理芯片。根據(jù)不同的解調(diào)需要，系統(tǒng)在基帶信號(hào)處理上可以極為方便的更新算法。在這種方式下，基帶的匹配濾波和判決都為線性運(yùn)算，因此加性噪聲不會(huì)變?yōu)槌诵栽肼?，不?huì)產(chǎn)生門(mén)限效應(yīng)，解調(diào)的性能不受信噪比影響。值得注意的是，在希爾伯特變換解調(diào)中必須求得基帶信號(hào)的幅度和相位。幅度的計(jì)算為平方和開(kāi)方運(yùn)算，是非線性運(yùn)算，因此在受到噪聲影響時(shí)，在不同的信噪比下，系統(tǒng)性能不同，存在門(mén)限效應(yīng)。從而影響了系統(tǒng)的實(shí)用性。四、結(jié)論與前景展望（一）結(jié)論綜上所述可以得到如下結(jié)論：(1)Hilbert變換揭示了由傅里葉變換聯(lián)系的時(shí)域和頻域之間的一種等價(jià)互換關(guān)系，Hilbert變換作為一種信號(hào)處理算法，能有效地提取出探地雷達(dá)復(fù)雜信號(hào)的“三瞬”信息，從上面的分析和應(yīng)用效果也可以看出，經(jīng)過(guò)Hilbert變換后的雷達(dá)剖面圖較原始的雷達(dá)時(shí)距剖面圖更為清晰，瞬時(shí)多參數(shù)波形剖面相互參照綜合分析，避免了由于單一使用時(shí)距剖面分析所造成的解釋偏差，提高了探地雷達(dá)的解釋精度。（2）基于希爾伯特變換的數(shù)字I-Q下變頻器的主要優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字化程度高，數(shù)字I-Q下變頻器將會(huì)得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。（3）由于基帶處理全部采用數(shù)字方式，其復(fù)雜性主要受器件性能影響，因而不會(huì)改變整個(gè)體系結(jié)構(gòu)。（二）前景展望目前對(duì)于希爾伯特變換的研究已經(jīng)深入到多個(gè)層面，在社會(huì)生活生產(chǎn)中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。它被廣泛用于通信、雷達(dá)、語(yǔ)言處理、數(shù)字化醫(yī)學(xué)超聲成像等這類需要用到信號(hào)正交分解技術(shù)的系統(tǒng)中。隨著現(xiàn)代信號(hào)的向前發(fā)展，人們從不同的研究領(lǐng)域和應(yīng)用角度出發(fā)，提出了擴(kuò)展經(jīng)典希爾伯特變換，提出了分?jǐn)?shù)階希爾伯特變換，拓展了它的應(yīng)用范圍。比如子波構(gòu)造，特別是時(shí)序列信號(hào)的解析子波