人教課標(biāo)實驗A版選修4-1第二講直線和圓的位置關(guān)系五與圓有關(guān)的比例線段優(yōu)秀

6．什么是圓冪定理？答：我們把相交弦定理及推論、切割線定理及推論統(tǒng)稱為圓冪定理．怎樣把這些定理聯(lián)系起來進(jìn)行記憶和運(yùn)用呢？用運(yùn)動觀點看圓冪定理及切線長定理．在圖1中，P是⊙O內(nèi)一點，過P作兩條弦AB、CD，得相交弦定理：PA·PB＝PC·PD．讓點P動起來，若P運(yùn)動到⊙O上，作兩弦PA、PC，可認(rèn)為P、B、D三點重合，此時仍有PA·PB＝PC·PD，如圖2所示．若P運(yùn)動到⊙O外，作兩割線PAB、PCD，則得切割線定理的推論(也叫做割線定理)：PA·PB＝PC·PD，如圖3所示．若割線PBA和PDC的夾角逐漸變大，當(dāng)點A和點B重合時，則PA是⊙O的切線，此時割線定理為PA·PA＝PC·PD即PA2＝PC·PD，割線定理變?yōu)楦罹€定理，如圖4．若割線PCD繼續(xù)運(yùn)動，使∠APC繼續(xù)擴(kuò)大，直到C、D兩點重合時，則PC為⊙O的切線，此時切割線定理為PA2＝PC·PC即PA＝PC，切割線定理變成了切線長定理，如圖5所示．以上通過點、線段的運(yùn)動把圓冪定理中的幾個定理和切線長定理聯(lián)系和統(tǒng)一起來了．用運(yùn)動觀點進(jìn)行一題多變，理解圓冪定理在各題中的應(yīng)用．〔例1〕圖6中，⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB上任意一點P作兩圓的一條割線，分別交⊙O于C、D，交⊙O＇于E、F．求證：PC·PD＝PE·PF．證明：在⊙O中，弦AB、CD相交于P，則PA·PB＝PC·PD．在⊙O＇中，弦AB、EF相交于P，PA·PB＝PE·PF．所以PC·PD＝PE·PF．在兩個圓中分別用相交弦定理得等積式，再通過等量得出結(jié)論．若將例1中的P點的位置、有關(guān)的線段以及兩圓的位置進(jìn)行變換可得以下練習(xí)題：(1)若⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB上任意一點P作兩弦交⊙O于C、D，交⊙O＇于E、F，如圖7所示．求證：PC·PD＝PE·PF．(2)圖8中，⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB的延長線上一點P，作兩圓的割線PCD、PEF．則PC·PD＝PE·PF．(3)圖9中，⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB的延長線上一點P，作⊙O的切線PC和⊙O＇的割線PEF，則PC2＝PE·PF．(4)圖10中，若⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB的延長線上一點P，作兩圓的切線PC、PD，則PC＝PD．(5)如圖11中，⊙O和⊙O＇相交于A、B兩點，過AB的延長線上一點P作⊙O的切線PC，切點為C，此切線交⊙O＇于E、F兩點，則PC2＝PE·PF．(6)圖12中，⊙O和⊙O＇外切于A，PA是兩圓的公切線，PCD、PEF是兩圓的割線，則PC·PD＝PE·PF．(7)圖13中，⊙O和⊙O＇內(nèi)切于A，PA是兩圓的