人教課標實驗版八年級上冊第十一章全等三角形1三角形全等的判定市賽一等獎

綜合應(yīng)用題本節(jié)知識的綜合應(yīng)用包括：(1)全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用；（2）全等三角形的性質(zhì)、判定及平行線的綜合應(yīng)用等.例4如圖13－32所示，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF.求證EB∥CF.（分析）欲證EB∥CF，只需證明∠E=∠F或∠FCB=∠EBC.證法1：∵AB∥CD（已知），∴∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（ASA）.∴OC=OB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.又∵AE=DF（已知）,∴OD+DF=OA+AE，即OF=OE.在△COF和△BOE中，∴△COF≌△BOE（SAS）.∴∠F=∠E（全等三角形的對應(yīng)角相等）.∴EB∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.證法2：∵AB∥CD(已知),∴∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（ASA）∴CD=AB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）,∵∠3=∠4，∴∠CDF=∠BAE.在△CDF和△BAE中，∴△CDF≌△BAE（SAS）.∴∠F=∠E（全等三角形的對應(yīng)角相等）,∴EB∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.例5如圖13－33所示，D是△ABC的邊AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB.求證BD=AB-FC.（分析）因為BD=AB-AD，而欲證BD=AB-FC，所以只需證明AD=FC即可.而欲證AD=FC，就需證△ADE≌△CFE.證明:∵AB∥FC（已知）.∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.∴在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴AD=FC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.又∵BD=AB-AD，∴BD=AB-FC.學(xué)生做一做如圖13－34所示，已知∠ACE=90°，AC=EC,ED⊥CB，AF⊥CB，交CB的延長線于F.求證DF+AF=CF.老師評一評因為DF+DC=FC，而欲證DF+AF=CF，所以只需證AF=DC，而欲證AF=DC，只需證△ACF≌△CED即可.證明過程如下：∵ED⊥BC,AF⊥BC（已知）,∴∠AFC=∠CDE=90°（垂直的定義）.又∵∠ACE=90°(已知),∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.在Rt△AFC和Rt△CDE中，∴Rt△AFC≌Rt△CDE（AAS）.∴AF=DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.又∵DF+DC=FC，∴DF+AF=FC.例6如圖13－35所示，AD是△ABC的角平分線，∠B=2∠C.求證AB+BD=AC.(分析)在證明AB+BD=AC時，只需延長AB到點E，使AE=AB+BD，然后證明AE=AC.或者在AC上截取AE=AB，再證明CE=BD即可.證法1：如圖13－35所示，延長AB到E，使BE=BD，連接DE，∴∠E=∠BDE（等邊對等角）.又∵∠ABC=2∠C（已知）,∠ABC=∠E+∠BDE，∴2∠E=2∠C,∴∠E=∠C.又∵AD是∠BAC的平分線（已知）,∴∠1=∠2（角平分線的定義）.在△ADE和△ADC中，∴△ADE≌△ADC（AAS）.∴AE=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∴AB+BE=AC，即AB+BD=AC.證法2：如圖13－36所示，在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD是∠BAC的平分線（已知）,∴∠1=∠2（角平分線的定義）.在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（SAS）.∴BD=DE，∠B=∠AED（全等三角形的性質(zhì)）.又∵∠AED=∠C+∠EDC，且∠B=2∠C，∴2∠C=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC.∴ED=EC（等角對等邊）.∴AB+BD=AE+EC=AC.即AB+BD=AC.【說明】在解決問題時，有時需要利用全等三角形，但圖中還沒有直接的全等三角形，這種情況下，需要通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形.完成恰當添輔助線的任務(wù)，我們的思維要經(jīng)歷一個觀察、聯(lián)想、構(gòu)造的過程.學(xué)生做一做如圖13－37所示，E為AD的中點，BE平分∠ABC，且AB+CD=BC.求證CE平分∠BCD.老師評一評欲證CE平分∠BCD，只需證明∠DCE=∠ECB，因此需要構(gòu)造全等三角形，我們可以在BC上截取BF=AB，連接EF，再證明△EDC≌△EFC即可.證明過程如下：在BC上截取BF=AB，連接EF，∵BE平分∠ABC（已知）,∴∠1=∠2（角平分錢定義）.在△ABE和△FBE中，∴△ABE≌△FBE(SAS).∴AE=EF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.又∵E為AD的中點（已知）,∴AE=ED（中點的定義）.∴EF=ED（等量代換）.