2022-2023學年云南省曲靖市會澤縣茚旺高級中學高二數學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，集合，則（）A． B． C． D．2．若X是離散型隨機變量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．33．函數在上的極大值為（）A． B．0 C． D．4．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率（）A． B． C． D．5．有6名學生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌又會跳舞，現從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數為()A．18 B．15 C．16 D．256．已知盒中裝有大小形狀完全相同的3個紅球、2個白球、5個黑球.甲每次從中任取一球且不放回，則在他第一次拿到的是紅球的前提下，第二次拿到白球的概率為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，、分別是雙曲線左、右兩支上關于坐標原點對稱的兩點，且直線的斜率為.、分別為、的中點，若原點在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．9．有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙，需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數為（）A．24 B．14 C．10 D．910．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，則的離心率為（）A． B． C． D．11．設是含數的有限實數集，是定義在上的函數，若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（）A． B． C． D．12．給出下列說法：（1）命題“，”的否定形式是“，”；（2）已知，則；（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為，則回歸直線方程為；（4）對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；（5）若將一組樣本數據中的每個數據都加上同一個常數后，則樣本的方差不變.其中正確說法的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．冪函數在區(qū)間上是增函數，則________.14．若方程有實數解，則的取值范圍是____.15．函數的定義域為_______________．16．已知拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且，過弦的中點作準線的垂線，垂足為，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點，分別為與的中點.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.18．（12分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個等式;(2)用數學歸納法證明你的猜想.19．（12分）如圖，在棱長為3的正方體中，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知10件不同產品中有3件是次品，現對它們一一取出（不放回）進行檢測，直至取出所有次品為止．（1）若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數有多少？（2）若恰在第6次取到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數是多少？21．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用數學歸納法證明：.22．（10分）為了研究玉米品種對產量的，某農科院對一塊試驗田種植的一批玉米共10000株的生長情況進行研究，現采用分層抽樣方法抽取50株作為樣本，統(tǒng)計結果如下：高莖矮莖總計圓粒111930皺粒13720總計242650（1）現采用分層抽樣的方法，從該樣本所含的圓粒玉米中取出6株玉米，再從這6株玉米中隨機選出2株，求這2株之中既有高莖玉米又有矮莖玉米的概率；（2）根據玉米生長情況作出統(tǒng)計，是否有95%的把握認為玉米的圓粒與玉米的高莖有關？附：0.050.013.8416.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集運算可得到解。詳解：解絕對值不等式，得；由對數函數的真數大于0，得根據集合的運算得所以選C點睛：本題考查了解絕對值不等式，對數函數的定義域，集合的基本運算，是基礎題。2、C【解析】

本題考查期望與方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得結論．【詳解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故選C.考點：離散型隨機變量的期望方差.3、A【解析】

先算出，然后求出的單調性即可【詳解】由可得當時，單調遞增當時，單調遞減所以函數在上的極大值為故選：A【點睛】本題考查的是利用導數求函數的極值，較簡單.4、C【解析】

記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結合條件概率公式求得結果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.5、B【解析】名會唱歌的從中選出兩個有種,名會跳舞的選出名有種選法,但其中一名既會唱歌又會跳舞的有一個,兩組不能同時用他,共有種，故選B.6、D【解析】

設“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，分別計算出，的值，由條件概率公式可得，可得答案.【詳解】解：設“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，可得：，,則所求事件的概率為：,故選：D.【點睛】本題主要考查條件概率與獨立事件的計算，屬于條件概率的計算公式是解題的關鍵.7、C【解析】

根據、分別為、的中點，故OM平行于,ON平行于，再由向量點積為0得到四邊形是矩形，通過幾何關系得到點A的坐標，代入雙曲線得到齊次式，求解離心率.【詳解】因為、分別為、的中點，故OM平行于,ON平行于，因為原點在以線段為直徑的圓上，根據圓的幾何性質得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB兩點關于原點對稱得到，四邊形對角線互相平分，所以四邊形是矩形，設角,根據條件得到，將點A代入雙曲線方程得到：解得故答案為C.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質及其應用，對于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).8、A【解析】

設CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝9、B【解析】分析：利用兩個計數原理即可得出.詳解：由題意可得，不同的選擇方式.故選：B.點睛：切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行；分類的關鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步．10、C【解析】

由題意得到關于a,c的齊次式，然后求解雙曲線的離心率即可.【詳解】由雙曲線的通徑公式可得，由結合雙曲線的對稱性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性質有：，即：，據此有：，，解得：，雙曲線中，故的離心率為.本題選擇C選項.【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．11、B【解析】

利用函數的定義即可得到結果.【詳解】由題意得到：問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當f（1）=，，0時，此時得到的圓心角為，，0，然而此時x=0或者x=1時，都有2個y與之對應，而我們知道函數的定義就是要求一個x只能對應一個y，因此只有當x=，此時旋轉，此時滿足一個x只會對應一個y，故選B．【點睛】本題考查函數的定義，即“對于集合A中的每一個值，在集合B中有唯一的元素與它對應”(不允許一對多).12、B【解析】

根據含有一個量詞的命題的否定，直接判斷（1）錯；根據正態(tài)分布的特征，直接判斷（2）對；根據線性回歸方程的特點，判斷（3）正確；根據獨立性檢驗的基本思想，可判斷（4）錯；根據方差的特征，可判斷(5)正確.【詳解】（1）命題“，”的否定形式是“，”，故（1）錯；（2）因為，即服從正態(tài)分布，均值為，所以；故（2）正確；（3）因為回歸直線必過樣本中心，又已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為，所以，即所求回歸直線方程為：；故（3）正確；（4）對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；故（4）錯；（5）若將一組樣本數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差不變.故（5）錯.故選：B.【點睛】本題主要考查命題真假的判定，熟記相關知識點即可，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據冪函數的定義求出m的值，判斷即可．【詳解】若冪函數在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，則由m1﹣3m+3＝1解得：m＝1或m＝1，m＝1時，f（x）＝x，是增函數，m＝1時，f（x）＝1，是常函數（不合題意，舍去），故答案為1．【點睛】本題考查了冪函數的定義，考查函數的單調性問題，是一道基礎題．14、【解析】

關于x的方程sinxcosx＝c有解，即c＝sinxcosx＝2sin（x-）有解，結合正弦函數的值域可得c的范圍．【詳解】解：關于x的方程sinx-cosx＝c有解，即c＝sinx-cosx＝2sin（x-）有解，由于x為實數，則2sin（x-）∈[﹣2，2]，故有﹣2≤c≤2【點睛】本題主要考查兩角差的正弦公式、正弦函數的值域，屬于中檔題．15、{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}【解析】分析：這里的cosx以它的值充當角，要使sin（cosx）＞0轉化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范圍．詳解：由sin（cosx）＞0?2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．又∵﹣1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1；故所求定義域為{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}．故答案為：{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}.點睛：本題主要考查了函數的定義域及其求法及復合函數單調性的判斷，求三角函數的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數線．16、.【解析】分析：過P、Q分別作準線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設，，可得，由余弦定理得：，進而根據基本不等式，求得的取值范圍，從而得到本題答案.詳解：如圖：過P、Q分別作準線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設，，由拋物線定義，得，在梯形中，，，由余弦定理得：，則的最小值為.故答案為：.點睛：本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質，基本不等式求最值，余弦定理的應用等知識，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）先連接，，根據線面平行的判定定理，即可得出結論；（2）先以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線的的方向向量與平面的法向量，由向量夾角公式求出向量夾角余弦值，即可得出結果.【詳解】（1）證明：如圖，連接，.在三棱柱中，為的中點.又因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設平面的法向量為，則，令，得.記與平面所成角為，則.【點睛】本題主要考查線面平行的判定、以及線面角的向量求法，熟記線面平行的判定定理以及空間向量的方法即可，屬于常考題型.18、(1)；(2)(i)當時,等式顯然成立；(ii)見證明；【解析】

（1）猜想第個等式為.（2）先驗證時等式成立，再假設等式成立，并利用這個假設證明當時命題也成立.【詳解】（1）猜想第個等式為.（2）證明：①當時，左邊，右邊，故原等式成立；②設時，有，則當時，故當時，命題也成立，由數學歸納法可以原等式成立.【點睛】數學歸納法可用于證明與自然數有關的命題，一般有2個基本的步驟：（1）歸納起點的證明即驗證命題成立；（2）歸納證明：即設命題成立并證明時命題也成立，此處的證明必須利用假設，最后給出一般結論.19、(1)(2)【解析】

（1）分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，進而求出向量，代入向量夾角公式，結合異面直線夾角公式，即可得到答案；（2）利用向量垂直，求得兩個平面的法向量，利用向量所成角的余弦值進而求得二面角的余弦值.【詳解】(1)因為兩兩垂直，所以分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．因為棱長為3,，則，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是.(2)平面的法向量是設平面的法向量是，又因為所以即令，則，，所以．所以所以二面角的余弦值是.【點睛】該題考查的是有關利用向量解決空間立體幾何的問題，涉及到的知識點有用向量法求異面直線所成角的余弦值，二面角的余弦值，在解題的過程中，正確建立空間直角坐標系是解題的關鍵.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據題意，分析可得前4次取出的都是正品，第5次和第10次中取出2件次品，剩余的4個位置任意排列，由排列數公式計算可得答案；（2）根據題意，分析可得若第6次為最后一件次品，另2件在前5次中出現，前5次中有3件正品，由排列、組合數公式計算可得答案．【詳解】解：（1）根據題意，若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，則前4次取出的都是正品，第5次和第10次中取出2件次品，剩余的4個位置任意排列，則有種不同測試方法，（2）若第6次為最后一件次品，另2件在前5次中出現，前5次中有3件正品，則不同的測試方法有種．【點睛】本題考查排列、組合的應用，注