2023屆吉林省長春市重點名校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的等差，且成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項和，則的最小值為（）A．3 B．4 C． D．2．若a|a|＞b|b|，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．|a|＞|b|C．a(chǎn)+b＞0 D．以上都有可能3．已知一段演繹推理：“因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”，則這段推理的()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．結(jié)論正確 D．推理形式錯誤4．已知p：函數(shù)有兩個零點，q：，．若為真，為假，則實數(shù)m的取值范圍為A． B．C． D．5．某西方國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為（）A．大前提錯誤 B．推理形式錯誤 C．小前提錯誤 D．非以上錯誤6．由曲線，直線所圍成的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．7．已知且,則的最大值為()A． B． C． D．8．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A． B． C． D．9．已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為，，則（）A． B． C．2 D．410．已知點，點在拋物線上運動，點在圓上運動，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．11．已知三棱錐的四個頂點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，，畫該三棱錐的三視圖的俯視圖時，以平面為投影面，得到的俯視圖可以為（）A． B． C． D．12．己知復(fù)數(shù)z滿足，則A． B． C．5 D．25二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的值為______.14．由曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為__________．15．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，這對對角線所成的角為的概率為________16．根據(jù)所示的偽代碼，若輸入的的值為-1,則輸出的結(jié)果為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明.18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的零點個數(shù)；（2）若，，證明：，.19．（12分）若不等式的解集是，求不等式的解集．20．（12分）大型綜藝節(jié)目,《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學(xué)會盲擰也是很容易的根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān)為了驗證這個結(jié)論，某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示，并邀請其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如表所示．（Ⅰ）將表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（Ⅱ）現(xiàn)從表中成功完成時間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人對他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，求2人成功完成時間恰好在同一組內(nèi)的概率．附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．21．（12分）已知的展開式中第4項和第8項的二項式系數(shù)相等．(Ⅰ)求的值和這兩項的二項式系數(shù)；(Ⅱ)在的展開式中，求含項的系數(shù)（結(jié)果用數(shù)字表示）．22．（10分）已知數(shù)列的前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到數(shù)列{an}的通項公式，前n項和，從而可得，換元，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值．【詳解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比數(shù)列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，則t2≥6﹣2＝1當(dāng)且僅當(dāng)t＝3，即n＝2時，∴的最小值為1．故選：B．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，考查基本不等式，屬于中檔題．2、A【解析】

利用已知條件，分類討論化簡可得.【詳解】因為，所以當(dāng)時，有，即；當(dāng)時，則一定成立，而和均不一定成立；當(dāng)時，有，即；綜上可得選項A正確.故選：A.【點睛】本題主要考查不等關(guān)系的判定，不等關(guān)系一般是利用不等式的性質(zhì)或者特值排除法進(jìn)行求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).3、A【解析】

分析該演繹推理的大前提、小前提和結(jié)論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷正誤，可以得出正確的答案．【詳解】該演繹推理的大前提是：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，小前提是：是指數(shù)函數(shù)，結(jié)論是：是增函數(shù)．其中，大前提是錯誤的，因為時，函數(shù)是減函數(shù)，致使得出的結(jié)論錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了演繹推理的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)演繹推理的三段論是什么，進(jìn)行逐一判定，得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

由p∨q為真，p∧q為假，知p，q有一個真命題一個假命題，由p得△=m1-4＞0，解得m＞1或m＜-1．由q，得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m＜3，分兩種情況求出實數(shù)m的取值范圍．解答：解：∵p∨q為真，p∧q為假∴p，q中一個真命題一個假命題，由p：函數(shù)f（x）=x1+mx+1有兩個零點，得△=m1-4＞0，解得m＞1或m＜-1．由q：x∈R，4x1+4（m-1）x+1＞0得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m＜3，當(dāng)p真q假時，有即m≥3或m＜-1當(dāng)p假q真，有即1＜m≤1∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，1]∪[3，+∞）．故選B．5、B【解析】

根據(jù)三段論的推理形式依次去判斷大前提和小前提，以及大小前提的關(guān)系，根據(jù)小前提不是大前提下的特殊情況，可知推理形式錯誤.【詳解】大前提：“鵝吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確，小前提：“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能進(jìn)行類比，所以不符合三段論的推理形式，可知推理形式錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查三段論推理形式的判斷，關(guān)鍵是明確大小前提的具體要求，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由，解得，解得，解得，所圍成的平面圖形的面積為，則，，故選C.7、A【解析】

根據(jù)絕對值三角不等式可知；根據(jù)可得，根據(jù)的范圍可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：當(dāng)，即時，即：，即的最大值為：本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)最值的求解，難點在于對于絕對值的處理，關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)放縮為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，從而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解得到最值.8、B【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求結(jié)果.詳解：因為，所以,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,選B.點睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為9、A【解析】

由題意，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式，求的公比，進(jìn)而可求解，得到答案．【詳解】由題意得，，，公比，則，故選A．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

根據(jù)已知條件先求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，過點作，垂足為點，求得圓的圓心和半徑，運用圓外一點到圓上的點的距離的最值和拋物線的定義，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.【詳解】如圖：拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點，過點作，垂足為點，由拋物線的定義可得,圓的圓心為，半徑，可得的最大值為，由，可令，則，即，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，所以的最小值為故選：C【點睛】本題考查了拋物線定義以及基本不等式求最小值，考查了計算能力，屬于較難題.11、C【解析】點在的投影為，點在的投影為，在的投影為，在的投影為，連接四點，注意實線和虛線，得出俯視圖，選C12、B【解析】

先計算復(fù)數(shù)再計算.【詳解】故答案選B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義，先得到，化簡整理，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，即，整理得，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查由函數(shù)奇偶性求參數(shù)的問題，熟記偶函數(shù)的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】

轉(zhuǎn)化為定積分求解.【詳解】如圖：,曲線與直線及所圍成的封閉圖形的為曲邊形,因為,曲線與直線及的交點分別為，且，，所以，.由曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為.【點睛】本題考查定積分的意義及計算.15、【解析】

正方體的面對角線共有12條，能夠數(shù)出每一條對角線和另外的8條構(gòu)成8對直線所成角為60°，得共有12×8對對角線所成角為60°，并且容易看出有一半是重復(fù)的，得正方體的所有對角線中，所成角是60°的有48對，根據(jù)古典概型概率公式求解即可．【詳解】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與上平面A1B1C1D1中一條對角線A1C1成60°的直線有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八對直線，總共12條對角線；∴共有12×8＝96對面對角線所成角為60°，而有一半是重復(fù)的；∴從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有48對．而正方體的面對角線共有12條，所以概率為：故答案為【點睛】本題考查正方體面對角線的關(guān)系，考查了古典概型的概率問題，而對于本題知道96對直線中有一半是重復(fù)的是求解本題的關(guān)鍵．16、【解析】

通過讀條件語句，該程序是分段函數(shù)，代入即可得到答案.【詳解】根據(jù)偽代碼，可知，當(dāng)時，，故答案為.【點睛】本題主要考查條件程序框圖的理解，難度不大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析.【解析】分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證時不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)時成立，利用放縮法證明時，不等式也成立．詳解：證明：①當(dāng)時，左邊，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，，∵，∴，∴當(dāng)時，不等式成立.由①②知對于任意正整數(shù)，不等式成立.點睛：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．18、（1）（2）見解析【解析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導(dǎo)得，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負(fù)來判斷它的零點個數(shù)；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知其在定義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證?！驹斀狻浚?）解：因為，所以.令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，所以的零點個數(shù)為1.（2）證明：因為，從而.又因為，所以要證，恒成立，即證，恒成立，即證，恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以.設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以，所以，所以，恒成立，即，.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù)以及證明不不等式，運用了構(gòu)造新的函數(shù)的方法。19、【解析】

由不等式的解集和方程的關(guān)系，可知，是方程的兩根，利用韋達(dá)定理求出，再代入不等式，解一元二次不等式即可.【詳解】解：由已知條件可知，且方程的兩根為，；由根與系數(shù)的關(guān)系得解得．所以原不等式化為解得所以不等式解集為【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，還考查一元二次不等式解集與一元二次方程的關(guān)系以及利用韋達(dá)定理求值.20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)總?cè)藬?shù)和表格中的數(shù)據(jù)可以完成，計算卡方觀測值，結(jié)合卡方觀測值所在區(qū)間判定；（Ⅱ）根據(jù)古典概型的求解方法求解.【詳解】解：Ⅰ依題意，補充完整的表1如下：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計男23730女91120總計321850由表中數(shù)據(jù)計算的觀測值為所以能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)．(Ⅱ)從成功完成時間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人，基本事件總數(shù)為種，這2人恰好在同一組內(nèi)的基本事件為種，故所求的概率為．【點睛】本題主要考查獨立性檢驗和古典概率的求解，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).21、（Ⅰ）；（Ⅱ）285【解析】

(Ⅰ)由題意知：得到，代入計算得到答案.(Ⅱ)分別計算每個展開式含項的系數(shù)，再把系數(shù)相加得到答案.【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴；（Ⅱ）方法一：含項的系數(shù)為.方法二：含的系數(shù)為.【點睛】本題考查了展開式的二項式系數(shù)，特定項系數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】試題