2023屆江蘇省三校數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．2．設銳角的三個內(nèi)角的對邊分別為且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．3．下列命題中真命題的個數(shù)是（）①，；②若“”是假命題，則都是假命題；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．34．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg5．有本相同的數(shù)學書和本相同的語文書，要將它們排在同一層書架上,并且語文書不能放在一起，則不同的放法數(shù)為（）A． B． C． D．6．設，則的值為（）A．29 B．49C．39 D．597．某校1000名學生的某次數(shù)學考試成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，正態(tài)變量X在區(qū)間，，內(nèi)取值的概率分別是，，，則成績X位于區(qū)間(52,68]的人數(shù)大約是（）A．997B．954C．683D．3418．設函數(shù)f(x)＝axA．193 B．163 C．139．1-2x5展開式中的x3系數(shù)為（A．40 B．-40 C．80 D．-8010．設實數(shù)，則下列不等式一定正確的是()A． B．C． D．11．已知隨機變量，若，則的值為()A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.412．定義在上的偶函數(shù)的導函數(shù)為,若對任意的正實數(shù),都有恒成立,則使成立的實數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)與的圖象有且只有三個交點，則實數(shù)的取值范圍為________．14．已知函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）﹣m有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．15．某高中十佳校園主持人比賽上某一位選手得分的莖葉統(tǒng)計圖如圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為______．16．已知函數(shù)，，則的最小值是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）男生4人和女生3人排成一排拍照留念.（1）有多少種不同的排法（結(jié)果用數(shù)值表示）？（2）要求兩端都不排女生，有多少種不同的排法（結(jié)果用數(shù)值表示）？（3）求甲乙兩人相鄰的概率.（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求的取值范圍.19．（12分）在正項等比數(shù)列{}中，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列{}滿足，求數(shù)列{}的前項和．20．（12分）如圖，在棱長為3的正方體中，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.22．（10分）現(xiàn)從某高中隨機抽取部分高二學生,調(diào)査其到校所需的時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學生到校所需時間不少于1小時,則可申請在學校住宿.若該校錄取1200名新生,請估計高二新生中有多少人可以申請住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學校的高二新生中任選4名學生,用表示所選4名學生中“到校所需時間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)可以得出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可以得出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，從而解出不等式對任意的恒成立時的取值范圍．【詳解】是偶函數(shù)，所以得出函數(shù)的對稱軸為，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以．因為不等式對任意的恒成立，所以．選擇A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的對稱軸和奇偶性的綜合問題，在解決此類題目時要搞清楚每一個條件能得出什么結(jié)論，把這些結(jié)論綜合起來即得出結(jié)果．屬于較難的題目．2、C【解析】因為△為銳角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因為，所以，又因為，所以；由，即，所以，令，則，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值域為，故選C點睛：本題解題關(guān)鍵是利用正弦定理實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化得到周長關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，易錯點是限制角的取值范圍.3、B【解析】若，，故命題①假；若“”是假命題，則至多有一個是真命題，故命題②是假命題；依據(jù)全稱命題與特征命題的否定關(guān)系可得命題“”的否定是“”，即命題③是真命題，應選答案B．4、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．5、A【解析】由題意，故選A．點睛：本題是不相鄰問題，解決方法是“插空法”，先把數(shù)學書排好（由于是相同的數(shù)學書，因此只有一種放法），再在數(shù)學書的6個間隔（含兩頭）中選3個放語文書（語文書也相同，只要選出位置即可），這樣可得放法數(shù)為，如果是5本不同的數(shù)學書和3本不同的語文書，則放法為．6、B【解析】

根據(jù)二項式特點知，，，，，為正，，，，，為負，令，得.【詳解】因為，，，，為正，，，，，為負，令，得，故選：B.【點睛】本題主要考查了二項式的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】分析：先由圖得，再根據(jù)成績X位于區(qū)間(52,68]的概率確定人數(shù).詳解：由圖得因為，所以成績X位于區(qū)間(52,68]的概率是，對應人數(shù)為選C.點睛：利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個.8、D【解析】

由題，求導，將x=-1代入可得答案.【詳解】函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)=3ax解得a=10故選D【點睛】本題考查了函數(shù)的求導，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

由二項式定理展開式的通項公式，賦值即可求出。【詳解】1-2x5展開式的通項公式是T令r=3，所以x3系數(shù)為C53【點睛】本題主要考查如何求二項式定理的展開式中某一項的系數(shù)。10、D【解析】

對4個選項分別進行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由于a＞b＞0，，A錯；當0＜c＜1時，ca＜cb；當c＝1時，ca＝cb；當c＞1時，ca＞cb，故ca＞cb不一定正確，B錯；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C錯．，D對；故選D．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．11、D【解析】

根據(jù)題意隨機變量可知其正態(tài)分布曲線的對稱軸，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解，即可得出答案．【詳解】根據(jù)正態(tài)分布可知，故．故答案選D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)求指定區(qū)間的概率．12、A【解析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解．詳解：設，則，由已知當時，，∴在上是減函數(shù)，又∵是偶函數(shù)，∴也是偶函數(shù)，，不等式即為，即，∴，∴，即．故選A．點睛：本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式．解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)．新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造．如，，，等等．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令，求導數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而求出a的范圍．【詳解】由題意得，，

，令，則令，解得：或，

令，解得：，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

，

，且當時，，當時，

所以函數(shù)與的圖象有且只有三個交點，

則只需和圖象有且只有三個交點，

故

故答案為：【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．14、m=2或m≥3【解析】分析：畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，求出m的范圍即可.詳解：畫出函數(shù)的圖象，如圖：若函數(shù)y=f（x）﹣m有2個零點，結(jié)合圖象：或.故答案為：或.點睛：對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域來解決，解的個數(shù)也可化為函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝a交點的個數(shù)．15、【解析】

由題意，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為83，84，85，86，87，先求出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此能求出所剩數(shù)據(jù)的方差．【詳解】解：某高中十佳校園主持人比賽上某一位選手得分的莖葉統(tǒng)計圖如圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為：83，84，85，86，87，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，所剩數(shù)據(jù)的方差為：．故答案為1．【點睛】本題考查方差的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．16、【解析】

計算導數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性進而判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：令，則由，所以所以，則在遞減所以，又則所以函數(shù)在遞增所以所以故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間的最值，難點在于構(gòu)造函數(shù)二次求導，注意細節(jié)，需要通過判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)情況才能代值計算，考查對問題的分析能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）5040；（2）1440；（3）.【解析】

（1）根據(jù)排列的定義及排列數(shù)公式,即可求得總的排列方法.（2）根據(jù)分步計數(shù)原理,先把兩端的位置安排男生,再安排中間5個位置即可.（3）根據(jù)捆綁法計算甲乙兩人相鄰的排列方法,除以總數(shù)即可求得甲乙兩人相鄰的概率.【詳解】（1）男生4人和女生3人排成一排則總的安排方法為種（2）因為兩端不安排女生,所以先把兩端安排男生,共有種剩余5人安排在中間位置,總的安排方法為種根據(jù)分步計數(shù)原理可知兩端不安排女生的方法共有種（3）甲乙兩人相鄰,兩個人的排列為把甲乙看成一個整體,和剩余5人一起排列,總的方法為因為男生4人和女生3人排成一排總的安排方法為種所以甲乙兩人相鄰的概率為【點睛】本題考查了排列組合的綜合應用,對特殊位置要求及相鄰問題的求法,屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導數(shù)，解不等式和并與定義域取交集可分別得出該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和遞增區(qū)間；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由題中條件得出，于此可解出實數(shù)的取值范圍?！驹斀狻浚á瘢┖瘮?shù)的定義域為，當時，，，令，即，解得，令，即，解得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ），，由得，，當時，，當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，∴函數(shù)在上有兩個不同的零點，只需，解得，∴的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，解題時常用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，將零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值與最值的符號問題，若函數(shù)中含有單參數(shù)問題，可利用參變量分離思想求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題。19、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)已知條件且可解得公比,再代入通項公式即可得到;(2)利用錯位相減法可求得.【詳解】設正項等比數(shù)列{an}的公比為(,（1）∵∴,所以∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的求法,考查了等差中項,考查了利用錯位相減法求和,本題屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)【解析】

（1）分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，進而求出向量，代入向量夾角公式，結(jié)合異面直線夾角公式，即可得到答案；（2）利用向量垂直，求得兩個平面的法向量，利用向量所成角的余弦值進而求得二面角的余弦值.【詳解】(1)因為兩兩垂直，所以分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．因為棱長為3,，則，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是.(2)平面的法向量是設平面的法向量是，又因為所以即令，則，，所以．所以所以二面角的余弦值是.【點睛】該題考查的是有關(guān)利用向量解決空間立體幾何的問題，涉及到的知識點有用向量法求異面直線所成角的余弦值，二面角的余弦值，在解題的過程中，正確建立空間直角坐標系是解題的關(guān)鍵.21、（1）；（2）【解析】

(1)直接由正弦定理可得，從而可得答案.

(2)由余弦定理可得，再由面積公式可求答案.【詳解】解：（1）由，得，，∴，又因為為銳角三角形，∴.（2）由余弦定理可知，，即，解得，∴.【點睛】本題考查