隨機變量及其分布

隨機變量及其分布第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例1.“拋硬幣”試驗中，規(guī)定“出現(xiàn)正面”時X取1，“出現(xiàn)反面”時X取0，則X為隨機變量.進行n次獨立重復試驗，每次試驗中事件A出現(xiàn)的概率為p,則n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)Y為隨機變量.Y的取值y=0,1,2,…,n.從一批次品率為p的產(chǎn)品中逐件抽取產(chǎn)品，每次經(jīng)檢驗后仍放回再抽下一件，直到抽到次品為止，則抽取的次數(shù)Z為隨機變量。Z的取值z=1,2,3,……從一批燈泡中隨機抽取一只，觀察其壽命T,則T為隨機變量，T的取值t∈[0,C].隨機變量滿足某個關系式，就表達一個隨機事件.如“擲骰子，觀察得點數(shù)X”試驗中關系式X=32≤x<4X=3.5x≥1事件得3點得2點或3點不可能事件必然事件第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日定義：設X為隨機變量，對任意實數(shù)x，{X≤x}為隨機事件，函數(shù)F(x)=P{X≤x}

稱為X的分布函數(shù).分布函數(shù)性質：F(x)單調非減；0≤F(x)≤1；且3.F(x+0)=F(x)（右連續(xù)）;4.P{a<X≤b}=F(b)-F(a)xabxx證：{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a}{X≤a}{X≤b}∴P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例2.在一個均勻陀螺的圓周上，均勻地刻上區(qū)間[a,b)上的諸值，旋轉這陀螺，求它停下時圓周與桌面的觸點刻度

X的分布。解：F(x)abxx1xxF(x)=P{X≤x}=第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日Xx1x2……xn……pkp1p2……pn……分布律也可用表格的形式給出：離散隨機變量—其可能值為有限個或可列個。設X的所有可能值為xk(k=1,2,3,…),X取各個可能值的概率P{X=xk}=pk(k=1,2,3,…),

稱為離散隨機變量的分布律.由概率的定義，pk滿足：Pk≥0,k=1,2,…;p1+p2+p3+…=1.2.2離散隨機變量及其分布律

第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日Xx1x2……xk……Pp1p2……pk……一般，設離散隨機變量X的分布律為：則X的分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}=即Pk=F(xk)-F(xk-1)F(x)xx1<x2<...<xk<...第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日Z123……k.……pkp(1-p)p(1-p)2p……(1-p)k-1p……Y012……k……npk(1-p)nCn1p(1-p)n-1Cn2p2(1-p)n-2……Cnkpk(1-P)n-k……pnX01pk0.50.5

例1.求下列離散隨機變量X，Y，Z的分布律1.“拋硬幣”試驗中，規(guī)定“出現(xiàn)正面”時X取1，“出現(xiàn)反面”時X取0。2.進行n次獨立的重復試驗，每次試驗中事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),不出現(xiàn)的概率為1-p（稱這一系列重復的獨立試驗為n重伯努利試驗），n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)為Y。3.從一批次品率為p的產(chǎn)品中逐件抽取產(chǎn)品，每次經(jīng)檢驗后仍放回再抽下一件，直到抽到次品為止，抽取的次數(shù)為Z。第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例2.一口袋中有標有數(shù)字-1，2，2，2，3，3的6個球，從中任取1球，球上標有數(shù)字X，則隨機變量X的分布律：X-123p1/63/62/6第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例3.設隨機變量X的分布律為：求X的分布函數(shù)。解：F(x)=P{X≤x}=X-123pk1/61/21/3XXXX-1231第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日三種重要的離散隨機變量的分布律：（0-1）分布：隨機變量X只可能取0，1兩個值，其分布律:P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1(0<p<1)X01pk1-pp第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日進行n次獨立的重復試驗（n重伯努利試驗），每次試驗中事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),不出現(xiàn)的概率為1-p,n次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)為Y.稱Y服從參數(shù)為n，p的二項分布。記為Y~b(n,p),其分布律為：Y012……k……npk(1-p)nCn1p(1-p)n-1Cn2p2(1-p)n-2……Cnkpk(1-P)n-k……pnn=1時，P{X=k}=pk(1-p)1-k，

即為（0-1）分布。2.二項分布：第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例4.已知一批元件一級品率為0.2，從中隨機抽取20只，問其中恰有k只（k=0，1，2,…,20）為一級品的概率。解：這是不放回抽樣。但由于元件總數(shù)很大，且抽查的元件數(shù)很小，可當作放回抽樣處理。

檢查20只元件相當于做20重伯努利試驗，設X為20只元件中一級品的只數(shù)，則X~b(20,0.2)P(X=k)=C20k(0.2)k(0.8)20-k,k=0,1,2,…,20第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日kP(X=k)00.01210.05820.13730.20540.21850.17560.10970.05580.02290.007100.002k≥11,P(X=k)<0.001X~b(20,0.2)第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例5.8門炮同時向某一目標各發(fā)一枚炮彈，當不少于2枚命中時，目標就被摧毀。設在一次射擊中，每門炮的命中率均為0.6，求摧毀目標的概率P。解：觀察8門炮是否命中目標相當于做8重伯努利試驗，設X為8炮齊發(fā)命中目標的炮彈數(shù)，則X~b(8,0.6)P=P(X≥2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.48-8×0.6×0.47=0.991n較大時,計算P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k

較麻煩，當n很大，p又很小，且np=為較小的常數(shù)，可證：第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日3.泊松（Poisson）分布：設X的可能值為：0，1，2，3,…,k,…為大于0的常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記作：

具有泊松分布的隨機變量在實際應用中很多。例如，一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)X，每個字印錯的概率p很小，總字數(shù)n很大，觀察這n個字錯不錯可看作n重伯努利試驗，X~b(n,p),∴X近似服從泊松分布。又如某地區(qū)在一天內郵遞遺失的信件數(shù)、某醫(yī)院在一天內的急診人數(shù)、某地區(qū)一個時間間隔內發(fā)生交通事故的次數(shù)、在一個時間間隔內某種放射性物質發(fā)出的并經(jīng)過計數(shù)器的粒子數(shù)等都服從泊松分布。第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日2.3連續(xù)隨機變量及其概率密度設隨機變量X的分布函數(shù)F(x)可表為如下形式，其中f(x)非負，則稱X為連續(xù)隨機變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)。4.若f(x)在點x處連續(xù)，則有F/(x)=f(x)。概率密度f(x)的性質：1.f(x)≥0;2.3.對任意實數(shù)x1,x2(x1≤x2),P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)=連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)F(x)連續(xù).第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日連續(xù)隨機變量X取任一點的概率為0.證：0≤P{X=x0}≤P{x0-△x<X≤x0}=F(x0)-F(x0-△x)→F(x0)-F(x0)=0(△x→0+)∴P{X=x0}=0x0x0-△xX我們知道，不可能事件的概率等于0，但反之未必！P{x1<X≤x2}=P{x1≤X≤x2}=P{x1<X<x2}=P{x1≤X<x2}第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例1.設燈泡壽命X的概率密度為：試確定常數(shù)k;求燈泡在300小時內損壞的概率；燈泡壽命超過300小時的概率；求X的分布函數(shù)。3.P{X>300}=1-P{X≤300}=1-0.3935=0.6065;4.F(x)=P{X≤x}=X≤200,F(x)=0;X>200,F(x)=解：1.∴k=e/200;2.P{X≤300}==0.3935;第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例2.設連續(xù)隨機變量X的分布函數(shù)求A,B的值;求X落在區(qū)間(0,ln2)內的概率；求X的概率密度f(x)。3.f(x)=F/(x)=∴B=-A=-1;0=F(0)=解：1.1=F(+∞)=A;

2.P{0<x<ln2}=F(ln2)-F(0)=1/2;第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日三種重要的連續(xù)隨機變量均勻分布設連續(xù)隨機變量X具有概率密度：則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，記為X~U(a,b)。

X的分布函數(shù)F(x)=第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日2.指數(shù)分布設連續(xù)隨機變量X的概率密度為為常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為。X的分布函數(shù)第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日服從指數(shù)分布的隨機變量X具有無記憶性：證：P{X>s+t|X>s}

如果X是某一元件的壽命，已知元件已使用了s小時，它還能繼續(xù)使用至少t小時的條件概率，與從開始時算起至少能使用t小時的概率相等。即元件對它已使用過s小時無記憶。第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日3.正態(tài)分布設連續(xù)隨機變量X的概率密度為其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布(高斯分布)。記為顯然f(X)

≥0;可證：（教材53頁）第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日特別，當時，稱X服從標準正態(tài)分布。其概率密度其分布函數(shù)標準正態(tài)分布表（284頁）第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例3.設X~N(0,1),計算

(1)P{X<2.35}

(2)P{X<-1.24}

(3)P{|X|<1.54}==P{-1.54<X<1.54}=表的逆用：已知則z=？（z≈1.28）第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日引理：若，則證：Z的分布函數(shù)為P{x1<X≤x2}=，則它的分布函數(shù)令u=,得P{Z≤x}=∴證畢。P{Z≤x}=若F(x)=P{X≤x}=對任意區(qū)間(x1,x2],有第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例4.設Y~N(1.5,4),計算(1)P{Y<3.5}

(2)P{Y<-4}

(3)P{Y>2}

(4)P{|Y|<3}=

=

=

=第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日

3倍標準差原理

(3)=0.6826=0.9974=0.9544設則(2)(1)（57頁）第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例5.將一溫度調節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內。調節(jié)器整定在d℃,液體的溫度X（以℃計）是一個隨機變量，且X~N(d,0.52)。（1）若d=90，求X<89的概率；（2）若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問d至少為多少？解：(1)所求概率為P{X<89}==1-0.9772=0.0228;(2)按題意需求d滿足：

0.99≤P{X≥80}=故亦即即第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日設隨機變量X~N(0,1),則稱為標準正態(tài)分布的由圖形的對稱性可知：若滿足條件：第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布。如一個地區(qū)的成年男子的身高，體重，某零件內徑的測量誤差，半導體器件中的熱噪聲電流或電壓等。一般，若影響隨機變量X取值的因素有很多，但每個因素的作用都不大，則X服從或近似服從正態(tài)分布。第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日2.4隨機變量的函數(shù)的分布

設有兩個隨機變量X和Y，當X取可能值x時，Y取可能值y=g(x)，則稱Y為X的函數(shù)，記為：Y=g(X)。X-10125/2P1/51/101/103/103/10已知離散隨機變量X的分布律，求Y=g(X)的分布律.例1.設X的分布律為:求X-1,-2X,x2的分布律。X-1-2-1013/2P1/51/101/103/103/10-2X20-2-4-5P1/51/101/103/103/10X201425/4P1/101/5+1/10=3/103/103/10解：第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日2.已知連續(xù)隨機變量X的概率密度，求Y=g(X)的概率密度.例2.設隨機變量X的概率密度為求隨機變量Y=2X+8的概率密度fY(y)。解：分別記X，Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y)。

Fy(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤y}=P{X≤(y-8)/2}=FX([y-8]/2)∴fY(y)=F/Y(y)=fX([y-8]/2)([y-8]/2)/=第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例３.設隨機變量X～N(0,1),求Y=X2的概率密度fY(y).解：分別記X，Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{X2

≤y},故當

y≤0時，F(xiàn)Y(y)=0,∴fY(y)=0;∴

y>0時,fY(y)=F/Y(y)=

∴fY(y)=y>0時第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日例4.已知X在(0,1)區(qū)間上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度。解：在(0,1)區(qū)間內y=-2lnx的值域為y>0，求導數(shù)得于是當y0時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=0;當y>0時第35頁，共39頁，20