基本支撐體系數(shù)學(xué)資料競賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競賽與課外活動(dòng)指導(dǎo)專題微課

三角形的“五心”一、賽點(diǎn)要求：與三角形有關(guān)的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心，這5個(gè)重要的點(diǎn)稱為三角形的“五心”．重心是三角形的三條中線的交點(diǎn)，且各中線被這點(diǎn)分成比為2∶1的兩部分．外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，此點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，以此點(diǎn)為圓心，到一頂點(diǎn)的距離為半徑的圓經(jīng)過三角形的三頂點(diǎn)(即是三角形的外接圓)．垂心是從三角形的各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所作的三條垂線(即三高線)的交點(diǎn)．三角形三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)垂足、垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓．內(nèi)心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．此點(diǎn)到三角形三邊的距離都相等．以此點(diǎn)為圓心且到三角形一邊的距離為半徑的圓分別與三角形的三邊相切．三角形的面積等于內(nèi)切圓半徑與三角形周長的一半的積．旁心是三角形的任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，此點(diǎn)到三角形三邊所在直線的距離都相等．以此點(diǎn)為圓心且到三角形一邊所在直線的距離為半徑的圓分別切三角形一邊及其余兩邊的延長線．三角形有三個(gè)旁心．關(guān)于三角形“五心”問題包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是涉及到線共點(diǎn)，二是這“五心”的若干應(yīng)用．通過處理三角形“五心”問題，我們可以得到處理線共點(diǎn)問題的基本方法，以及如何運(yùn)用“五心”處理線段及角之間關(guān)系問題的基本思路．二、類型分解：例1證明三角形的三條內(nèi)角平分線交于同一點(diǎn).證明：設(shè)D、E、F分別是ABC的內(nèi)角平分線AD，BE，CF與邊BC，CA，AB的交點(diǎn)，則易知（如圖過D點(diǎn)作DRAC）所以從而知AD,BE,CF共點(diǎn)I.(2)證明三條高線相交與同一點(diǎn)H.當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，如圖，則有BD=ABcosB,CD=ACcosC,CE=BCcosC,AE=ABcosA,AF=ACcosA,FB=BCcosB.于是有從而知AD,BE,CF共點(diǎn)I.當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖，則BD=ABcosB,CD=ACcosC,CE=BCcosC,AE=AB（-cosA）,AF=AC（-cosA）,FB=BCcosB.于是有從而知AD,BE,CF共點(diǎn).當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，高AD,BE,CF經(jīng)過直角定點(diǎn)，即它們共點(diǎn).例2證明三角形重心定理：三角形重心到各頂點(diǎn)的距離等于過該頂點(diǎn)中線的.如圖在ABC中，AD,BE,CF為三中線，G為重心，求證：證明取CG的中點(diǎn)P，BG的中點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，EF，PE，QF.∵PQ是GBC的中位線，PQBC又∵EF是ABC的中位線，EFBC于是PQEF.∴四邊形PEFQ是平行四邊形，∴輪換頂點(diǎn)，可得.證明三角形內(nèi)心張角定理：設(shè)I是ABC的內(nèi)心，則證明因?yàn)镮為ABC內(nèi)心，所以是三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它位于ABC內(nèi)部（如圖）.同理同理可證證明三角形外心張角定理：設(shè)O是ABC的外心，且A為最大角.(1)若A則(2)若A則證明（1）如圖所示，因?yàn)锳，所以外心O在ABC內(nèi)部或BC邊的中點(diǎn).當(dāng)時(shí)，延長OA交外接圓于D，因?yàn)镺A=OB=OC,∴OAC=OCA,OAB=OBA,∴ DOC=2OAC,DOB=2OAB.∵ BOC=DOB+DOC=2(OAB+OAC=2A)同理可證， COA=2B,AOB=2C當(dāng)A=900時(shí)，O點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，BOC=1800=2A，其他兩角仍有COA=2B,AOB=2C(2)如圖所示，因?yàn)锳，所以外心O點(diǎn)在BC的下方，延長BO交外接圓于D，因?yàn)镺A=OB=OC，所以O(shè)CB=OBC,OABOBA所以AOD=2OBA,COD=2OBC,∴ AOC=AOD-COD=2(OBA-OBC)=2B同理可證：BOA=2C∴ BOC=BOA+AOC=2C+2B=3600-2A證明三角形垂心張角定理：（1）若A<900,則BHC=1800-A,CHA=1800-B,AHB=1800-C.（2）若A>900,則BHC=1800-A,CHA=B,AHB=C.證明（1）如圖所示，因?yàn)锳<900，且A為最大角，所以垂心H在ABC內(nèi),BHC=1+2(∵1=3,2=4)=3+4=(900-5)+(900-6)=C+B=1800-A.同理可證其他兩式.（2）如圖所示，因?yàn)锳>900，所以垂心H在ABC外部∵BHC=1+2=（900-4）+（900-3）=1800-（5+6）=1800-A,CHA=1=900-BCH=B(注意RtBCE)AHB=2=900-CBH=C(注意RtBCE)證明三角形的垂外心定理：三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到它的對(duì)邊距離的2倍.證法一如圖，分別取AH,BH的中點(diǎn)P，Q，則只須證明PH=OM,QH=ON,也即只須證明HPQOMN.事實(shí)上，因?yàn)镻Q為HAB的中位線，所以PQAB.又因?yàn)镸,N分別為BC,AC中點(diǎn),MN為CAB的中位線，從而MNAB.因此MNPQ.又因PD,OM同垂直于BC,∴PHIIOM,HPQ=OMN.同理，HQP=ONM.∴HPQOMN(ASA)∴OM=PH=AH,ON=QH=BH.證法二如圖，連CH,取CH的中點(diǎn)X，連NX,MX,則NX為CAH的中位線.∴NXAH.同理，MX為CBH的中位線,∴MXBH.又BHIION,∴MXIION,同理，NXIIOM,∴OMXN是一平行四邊形.∴OM=NX=AH,ON=MX=BH證法三如圖，連AO并延長到P，使OP=AO,連CP,這時(shí)ON為ACP的中位線.∴ONCP,又NOIIBE，∴CPIIBE,1=2.連PM并延長交高線BE于H,連AH并延長交BC于D,現(xiàn)在只須證明AD為高線（即H為垂心）即可，事實(shí)上.所以3=4，BM=CM,∴CMPBMH∴PM=MH,因此，在PAH中,OM為中位線.∴OMAH.又OMBC,∴ADBC,即H為垂心.此時(shí)，AH=2OM,BH=CP=2ON.證法四考慮命題與外心有關(guān)，故可嘗試作ABC的外接圓.如圖.過C引ABC外接圓直徑COP，作弦PA,PB,這時(shí)OM為CPB的中位線.∴OMBP.同理，ONAP.又ADIIOM,故AHIIPB.同理，BHIIAP,則APBH為平行四邊形.∴AD=PB=2OM,BH=PA=2ON.如圖，設(shè)I為三角形ABC內(nèi)心，且A’,B’,C’分別是IBC,ICA，IAB的外心，求證：ABC與A’B’C’有相同外心證明作ABC外接圓，延長AI交圓于A”，連BA”、CA”，易知.BIA”=(A+B)=IBA”,CIA”=(A+C)=ICA,故A”B=A”I=A”C即A”是BIC的外心，即A”與A’重合.同理，B’與B”，C’與C”分別重合，因此ABC與A’B’C’有同一個(gè)外接圓.如果1個(gè)三角形的面積和周長都被一直線平分，那么該直線是否必通過這個(gè)三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心？說明理由.下面我們來證明內(nèi)心是滿足要求的.設(shè)平分ABC的面積和周長的直線分別交AB,AC于D,E且I為ABC的內(nèi)心,r是ABC內(nèi)切圓半徑，如圖.于是有,因?yàn)橹本€ED平分ABC的周長，故有AE+AD=BD+BC+CE,所以.注意，所以，即直線DE經(jīng)過I點(diǎn).如圖，與相交于A,B兩點(diǎn)，且在的圓周.弦C交于D.證明：D是ABC的內(nèi)心.證明∵BAD=BD=BAC∴AD平分BAC.同理可證BD平分ABC,即D是ABC的內(nèi)心.在半圓的直徑AB上有2點(diǎn)P和Q，又在半圓弧上有2點(diǎn)R與S，使PQRS為一E方形.C為半圓弧上的一點(diǎn)，使三角形ABC和E方形PQRS面積相等.證明：直線AR或BS與E方形的一邊的交點(diǎn)是ABC的內(nèi)心.證明如圖，設(shè)O是圓心，半徑為1，則O也是PQ的中點(diǎn).設(shè)OQ=x,則QR=PQ=2x,即從而E方形的面積為直角三角形ABC的面積是又所以AC:BC=1:2=OQ:RQ從而ABCORQ,得BAC=ROQ=2BAR,故ABC的內(nèi)心在AR上.設(shè)內(nèi)切圓半徑r，則ABC的面積又可表示即另一方面，設(shè)AR與PS交于I，則IP:AP=IS:RS,即所以，I就是ABC的內(nèi)心..如圖，ABC的外心為O，內(nèi)心為I,R和r分別為它的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，則OI2=R2-r2證明連AI交圓O于D，連DO反向延長OD交圓O于E，連BD,BE，延長OI交圓O于G，H，過I作IFAB于F，則IF=r,DE=2R.因?yàn)镚IIH=AIID,GI=R+OI,IH=R-OI,GIIH=R2-OI2,從而有R2-OI2=AIID.由BAD=BED,AFI=EBD=900AFIEBD,則有，即AIBD=DEIF=2Rr.又IBD=ABC+DBC=ABC+BAC=BID,ID=BD.因此，即.R2-OI2=AIBD=2Rr,OI2=R2-2Rr因?yàn)镺I20，所以有.于是進(jìn)一步證得：三角形的外接圓的半徑不小于內(nèi)切圓的直徑.說明上述例10的結(jié)論，稱為歐拉定理.ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P，過P作三邊所在直線的垂線，求證此三垂足共線.已知P為ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P，PDBC,PEAB,PFCA,D,E,F為垂足.求證：D,E,F三點(diǎn)共線.證明如圖，連PA,PB.只需證明BED=FEA因?yàn)镻DBC,PEAB,PFCA,所以B,D,E,P;A,E,P,F四點(diǎn)分別共圓，則FAP=PBD,所以有BPD=FPA,從而BED=FEA.故D,E,F三點(diǎn)共線.說明（1.）人們稱此線為西姆松線（2）容易知道外接圓上任意一點(diǎn)的西姆松線平分該點(diǎn)和垂心的連線.（3）例11中，將“PEB=PFA=PDB=90改為PEB=PFA=PDB”,結(jié)論成立嗎？即有P為ABC外接圓上一點(diǎn)，過P作三邊的斜線PD，PE，PF，且有PDC=PEA=PFM，則D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.三、專題訓(xùn)練：1、設(shè)H為ABC的垂心，且BH=AC，求證：BCH=ABC.2、已知ABC的兩條高AD、BE相交于H，延長AD交外接圓于K，求證：HD=DK．3、若過三角形內(nèi)心和重心的直線平行于一邊，則三角形其他兩邊之和為這一邊的2倍．4、已知ABC中，內(nèi)心I、外心O、垂心H互不重合，但在一直線上．求證：ABC是等腰三角形．5、如圖，3只蒼蠅沿三角形ABC的邊爬行，它們形成的三角形的重心都在同一位置．證明：如果它們中的1只蒼蠅沿三角形的整個(gè)邊界爬過，那么它們的重心與ABC的重心重合．6、已知ABC中，高AD．在其內(nèi)部，過AAB，ACD的內(nèi)心Il，I2引直線分別交AB,AC于E,F.若BAC=90,則AE=AF.若AE=AF,則BAC=90也成立嗎？若仍成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由，并指出不成立的情形.專題訓(xùn)練答案：如圖，在BDH和ADC中，BH=AC,BDH=ADC=90.因HBD+ACD=900，所以CAD+ACD=900,HBD=CAD.因此BDH≌ADC，于是DH=DC,AD=BD.所以BCH=450,ABC=450所以BCH=ABC.由H,E,C,D四點(diǎn)共圓知BHD=BCA,而BCA=BKH,所以BKH=BHK,得BH=BK.又BDHK,故HD=DK.連AG交BC于D,連AI交BC于E,連BI,CI.在ADE中，因GI理有AC:CE=AI:IE=2:1,既AB=2BE,AC=2CE.從而有AB+AC=2BC.假設(shè)ABC不是等腰三角形，則O、I、H三點(diǎn)所在直線不能經(jīng)過A、B、C中的任一點(diǎn)，連AI、AH、AO,并將AH延長交BC于D,則ADBC.又將AO延長交⊙O于E,連BE，則BEAB.又，則，.若連結(jié)BO、BH、CO、CH，同理得所以又，則則有二個(gè)外心，這不可能.由此可知假設(shè)不能成立.故是等腰三角形.如果1只蒼蠅位于頂點(diǎn)A，那么，由蒼蠅形成的三角形的重心位于三角形ADE內(nèi)（如圖15—26），這里DE:BC=2:3.因?yàn)?只蒼蠅游遍了所有頂點(diǎn)，所以“蒼蠅3角形”的重心應(yīng)屬于圖中帶斜線的3個(gè)三角形區(qū)域，而它們惟一的公共點(diǎn)就是ABC的重心.（1）連結(jié)DI1,DI2,并延長DI1交AB于G.則RtABD∽R(shí)tCAD，且所以DI1I2∽ABC,從而.故得AE-AF.（2）假設(shè)，則連AI1,AI2,DI1,DI2,則AE=AF≠AD.在AB,AC上分別截取AE,AF,使得AE=AF=AD,故ADI1≌AEI1,ADI2≌AFI,得，于是或，從而≌,得又≌，得故因此不一定等于.當(dāng)時(shí)存在不成立情形.四、同步測(cè)試：1、如圖，ABC的邊長為6，8，10，一個(gè)以P為圓心且半徑為1的圓在其內(nèi)部滾動(dòng)，且總是與ABC的邊長相切.當(dāng)P第一次回到它原來的位置時(shí)，P走過的長度是多少？如圖，連接ABC的邊長的外接圓的的中點(diǎn)M,N的線段，與邊AB,AC分別相交于D，K．證明：點(diǎn)A，D，K和ABC的內(nèi)心組成菱形.3、若ABC的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R和r，I為ABC的內(nèi)心，AI的延長線交外接圓于D，則AI·ID=2Rr．4、在ABC·中，邊AB=AC，有1個(gè)圓內(nèi)切于ABC的外接圓，并且與AB，AC分別相切于戶，Q，求證：戶，Q兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)是ABC的內(nèi)切圓圓心．5、如圖，在直角ABC中，CD為斜邊AB上的高，O，Ol，O：分別為ABC，ACD，BCD的內(nèi)心．連結(jié)COl延長交AB于M，連CO：延長交AB于N．求證：OM上ON．6、已知如圖，ABC的中線AM、高BH和角平分線CD相交于一點(diǎn)，求ABC三邊o，6，c的關(guān)系．同步測(cè)試答案：1、容易計(jì)算出ABC的內(nèi)切圓半徑為2，設(shè)ABC的內(nèi)心為I,P點(diǎn)軌跡應(yīng)為ABC,如圖所示.ABC內(nèi)切圓半徑為,所以ABC的內(nèi)切圓半徑為