考研高數(shù)復(fù)習(xí)資料公式大全

目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章函數(shù)與極限 1第二節(jié)數(shù)列的極限 1第三節(jié)函數(shù)的極限 1第四節(jié)無窮小與無窮大 2第五節(jié)極限運(yùn)算法則 2第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限 3第七節(jié)無窮小的比較 4第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 4第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 5第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 5第二章導(dǎo)數(shù)與積分 6第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念 6第二節(jié)函數(shù)求導(dǎo)法則 7第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù) 7第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所決定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率 8第五節(jié)函數(shù)的微分 8第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 9第一節(jié)微分中值定理 9第二節(jié)羅必達(dá)法則 9第三節(jié)泰勒公式 10第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 11第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值和最小值 12第七節(jié)曲率 13第四章不定積分 13第一節(jié)不定積分的概念和性質(zhì) 13第二節(jié)換元積分法 14第三節(jié)分部積分法 15第四節(jié)有理函數(shù)的積分 15第五章定積分 16第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì) 16第二節(jié)微積分基本公式 17第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法 17第四節(jié)反常積分 18第六章定積分的應(yīng)用 19第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 19第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 20第七章微分方程 21第一節(jié)微分方程的基本概念 21第二節(jié)可分離變量的微分方程 21第三節(jié)齊次方程 21第四節(jié)一階線性微分方程 22第五節(jié)可降階的高階微分方程 22第六節(jié)高階線性微分方程 22第七節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程 23第八節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程 24第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 24第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念 24第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù) 25第三節(jié)全微分 26第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 26第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 27第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法 28第十章重積分 29第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì) 29第二節(jié)二重積分的計(jì)算法 29第四節(jié)重積分的應(yīng)用 30第一章行列式 32第一節(jié)二階與三階行列式 32第三節(jié)n階行列式的定義 32第五節(jié)行列式的性質(zhì) 32第六節(jié)行列式按行（列）展開 33第七節(jié)克拉默法則 34第二章矩陣及其運(yùn)算 34第一節(jié)矩陣 34第二節(jié)矩陣的運(yùn)算 35第三節(jié)逆矩陣 37第四節(jié)矩陣分塊法 37第三章矩陣的初等變換與線性方程組 38第一節(jié)矩陣的初等變換 38第二節(jié)矩陣的秩 39第三節(jié)線性方程組的解 39第四章向量組的線性相關(guān)性 40第一節(jié)向量組及其線性組合 40第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性 41第三節(jié)向量組的秩 41第四節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu) 41第五節(jié)向量空間 42第五章相似矩陣及二次型 42第一節(jié)向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性 42第二節(jié)方陣的特征值與特征向量 44第三節(jié)相似矩陣 44第四節(jié)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 45第五節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 45第七節(jié)正定二次型 45常用公式 47——Tg 49第一章函數(shù)與極限第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限：設(shè)為一數(shù)列，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，那么就稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于，記為，或。引入記號(hào)“”表示“對(duì)于任意給定的”或“對(duì)于每一個(gè)”，記號(hào)“”表示“存在”。收斂數(shù)列的性質(zhì)：1（極限的唯一性）如果數(shù)列收斂，那么他的極限唯一。2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界。但有界函數(shù)卻不一定收斂。3（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果，且（或），那么存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有（或）。推論：如果數(shù)列從某項(xiàng)起有（或），且，那么（或）。4（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列收斂于，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是。如果數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列是發(fā)散的。定律：（1）如果，則。（2）如果數(shù)列有極限，但數(shù)列不一定有極限。第三節(jié)函數(shù)的極限自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或（當(dāng)）。左極限：x從的左側(cè)趨于（記作）。右極限：x從的右側(cè)趨于（記作）。時(shí)有沒有極限，與在點(diǎn)是否有定義并無關(guān)系。函數(shù)當(dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限有極限各自存在并且相等，即。自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限：設(shè)當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義。如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么小），總存在著正數(shù)X，使得當(dāng)滿足不等式，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或（當(dāng)）。函數(shù)極限的性質(zhì)：1（函數(shù)極限的唯一性）如果存在，那么這極限唯一。2（函數(shù)極限的局部有界性）如果，那么存在常數(shù)和，使得當(dāng)時(shí)，有。3（函數(shù)極限的局部保號(hào)性）如果，且（或），那么存在常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有（或）。推論：如果在的某一去心鄰域內(nèi)（或），且，那么（或）。如果（），那么就存在的某一去心鄰域，當(dāng)時(shí)，就有。第四節(jié)無窮小與無窮大無窮小：如果函數(shù)當(dāng)（或）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)為當(dāng)（或）時(shí)的無窮小。定理：在自變量的同一變化過程（或）中，函數(shù)具有極值A(chǔ)的充分必要條件是，其中是無窮小。無窮大：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或大于某一正數(shù)時(shí)有意義）。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)X），只要適合不等式（或），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總滿足不等式，那么稱函數(shù)為當(dāng)（或）時(shí)的無窮大。定理：在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮?。环粗?，如果為無窮小，且，則為無窮大。第五節(jié)極限運(yùn)算法則1有限個(gè)無窮小的和也是無窮小。2有界函數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小。推論：常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小。3如果，那么（1）；（2）；（3）若，則。推論：如果存在，而是整數(shù)，則4設(shè)有數(shù)列和。如果，那么①②③當(dāng)且時(shí)，。5如果，而，那么。若，則。若，則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則：函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則。第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限數(shù)列夾逼準(zhǔn)則：如果數(shù)列，及滿足下列條件：（1）從某項(xiàng)起，即，當(dāng)時(shí)，有（2），那么數(shù)列的極限存在，且。函數(shù)夾逼準(zhǔn)則：如果（1）當(dāng)（或）時(shí)，（2），那么存在，且等于A。定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。定理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界，則在的左極限必定存在?？挛鳂O限存在準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，就有。兩個(gè)重要極限：，。第七節(jié)無窮小的比較兩個(gè)無窮小之間的比較：如果，就說是比高階的無窮小，記作；如果，就說是比低階的無窮小；如果，就說與是同階無窮??；如果，就說是關(guān)于的階無窮小；如果，就說是的等價(jià)無窮小，記作。定理：與是等價(jià)無窮小的充分必要條件為。定理：設(shè)，且存在，則。常用等價(jià)無窮小（當(dāng)時(shí)）：以下所有的x都可以替換為：第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的增量：函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果或，那么函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。左連續(xù)：如果存在且等于，即，就說函數(shù)再點(diǎn)左連續(xù)。右連續(xù)：如果存在且等于，即，就說函數(shù)再點(diǎn)右連續(xù)。區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)：在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)的間斷點(diǎn)：如果函數(shù)有下列三種情形之一：（1）在沒有定義；（2）雖在有定義，但不存在；（3）雖在定義，且存在，但，則函數(shù)在點(diǎn)為不連續(xù)，而點(diǎn)稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)：.如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但左極限和右極限都存在，那么稱為函數(shù)的第一列間斷點(diǎn)。左右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)：左右極限有一個(gè)不存在，或兩個(gè)都不存在。無窮間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。注意：間斷點(diǎn)為。第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)和在點(diǎn)連續(xù)，則它們的和（差）、積及商（當(dāng)時(shí)）都在點(diǎn)連續(xù)。反函數(shù)的連續(xù)性：如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，那么他的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，。若，而函數(shù)在連續(xù)，則或，其中，。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，。若函數(shù)在連續(xù)，且，而函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在也連續(xù)。定理：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間都是連續(xù)的。定律：對(duì)于形如的函數(shù)（通常稱為冪指數(shù)函數(shù)），如果，，那么。第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，在左端點(diǎn)a右連續(xù)，那么函數(shù)就是在閉區(qū)間上連續(xù)的。有界性與最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)（即），那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。介值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值及，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。求的漸近線的方法：（1）垂直漸近線：是垂直漸近線或。（2）水平漸近線：時(shí)是水平漸近線。（3）斜漸近線：時(shí)是斜漸近線，。（2）若是連續(xù)的周期函數(shù)，周期為T，則，，即在任何長(zhǎng)度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。（3）以T為周期的充要條件是。（4）設(shè)連續(xù)函數(shù)以T為周期，則的全體原函數(shù)以T為周期的充要條件是。（6）。（7）假定在為連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，在的全體原函數(shù)均為偶函數(shù)；當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，在只有唯一原函數(shù)為奇函數(shù)。第二章導(dǎo)數(shù)與積分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即，也可記作，或。導(dǎo)函數(shù)定義式：或。顯然，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即。函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在并相等。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，就說在閉區(qū)間上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即，其中是切線的頃角（切線和x軸正方向的夾角）。切線方程：曲線在點(diǎn)處的切線方程為。法線方程：曲線在點(diǎn)處的法線方程為。定律：函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；反之，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。定律：（1）設(shè)在I上可導(dǎo)，若在I上為奇函數(shù)在I上為偶函數(shù)；若在I上為偶函數(shù)在I上為奇函數(shù)。（2）設(shè)在X上可導(dǎo)，以T為周期在X上也以T為周期。（3）設(shè)在可導(dǎo)，在連續(xù)而不可導(dǎo)，則（）在處。（4），則先考察的點(diǎn)，這些點(diǎn)可能是不可導(dǎo)點(diǎn)，再考察這些點(diǎn)中的點(diǎn)，這些點(diǎn)一定是不可導(dǎo)點(diǎn)。第二節(jié)函數(shù)求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：設(shè)，都可導(dǎo)，則反函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，則它的反函數(shù)在內(nèi)也可導(dǎo)，且或。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)，而且及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或。常用初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式： 第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的導(dǎo)數(shù)。把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即或。n階導(dǎo)數(shù)。常用高階導(dǎo)數(shù)： 萊布尼茨公式：二項(xiàng)式定理：第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所決定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，并注意。冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法：對(duì)于一般形式的冪指函數(shù)，則可以對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，即，然后再求導(dǎo)；或?qū)⒑瘮?shù)關(guān)系式表示為。由參數(shù)方程所決定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：若參數(shù)方程確定y與x之間的關(guān)系，則。第五節(jié)函數(shù)的微分微分：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，如果增量可表示為，其中A是不依賴于的常數(shù)，那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變?cè)隽康奈⒎?，記作，即。函?shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)。函數(shù)的微分：函數(shù)在任意點(diǎn)x的微分，稱為函數(shù)的微分，記作或，即。自變量的微分：自變量x的增量稱為自變量的微分，記作，即。于是函數(shù)的微分又可記作。從而有。微分的幾何意義：對(duì)于可微函數(shù)而言，當(dāng)是曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，就是曲線上的點(diǎn)的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)和都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的微分為。第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的，有（或），那么。駐點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（駐點(diǎn)為）。羅而定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（3）在區(qū)間斷點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式成立。幾何意義：如果連續(xù)曲線的弧上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于弦AB。定理：如果函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)?？挛髦兄刀ɡ恚喝绻瘮?shù)及滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（3）對(duì)于任一，，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式成立。定理：（1）設(shè)在連續(xù)，在n階可導(dǎo)，若在中有個(gè)不同的點(diǎn)取相同的函數(shù)值，則，使得。（2）設(shè)在連續(xù)，在n階可導(dǎo)，在無零點(diǎn)，則在至多有n個(gè)不同的根。第二節(jié)羅必達(dá)法則未定式：如果當(dāng)（或）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零或趨于無窮大，即或，那么極限可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式。羅必達(dá)法則Ⅰ：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零或都趨于無窮（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，及都存在，且（3）存在（或?yàn)闊o窮大），那么。羅必達(dá)法則Ⅱ：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零或都趨于無窮（2）當(dāng)時(shí)時(shí)，及都存在，且（3）存在（或?yàn)闊o窮大），那么。注意：如果不是未定式，就不能用羅必達(dá)法則。當(dāng)存在或?yàn)闊o窮大時(shí)，也存在或?yàn)闊o窮大，且等于；但反之不存在時(shí)，可能存在。對(duì)于的形式，，則。第三節(jié)泰勒公式泰勒中值定理：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意，有 這里是與x之間的某個(gè)值。其中稱為函數(shù)按的冪展開的n階泰勒多項(xiàng)式，式稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式，稱為拉格朗日余項(xiàng)。上式為按的冪展開的帶佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式，稱為佩亞諾余項(xiàng)。邁克勞林公式（在泰勒公式中，?。毫?，得到帶有拉格朗日型余項(xiàng)的邁克勞林公式：帶有佩亞諾余項(xiàng)的邁克勞林公式：常用泰勒公式：①②③④⑤無窮小階的運(yùn)算：（1）（2）（3）（4），其中在有界。第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，那么（1）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加（2）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少。曲線凹凸性：設(shè)在區(qū)間I上連續(xù)如英國(guó)對(duì)I上任意的兩點(diǎn)，恒有，那么稱在I上的圖形是（向上）凹的（或凹?。?；如果恒有，那么稱在I上的圖形是（向上）凸的（或凸?。?。定理：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的（2）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的。拐點(diǎn)：如果曲線在經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，曲線的凹凸性改變了，或的符號(hào)改變了，那么就稱點(diǎn)為這曲線的拐點(diǎn)。注意：拐點(diǎn)是（間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)為）。的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)都可能是的拐點(diǎn)，對(duì)于這兩種情況都要分別判斷在左右兩側(cè)的符號(hào)，符號(hào)不同時(shí)，才是的拐點(diǎn)，符號(hào)相同，則不是的拐點(diǎn)。第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值和最小值極大值（極小值）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)的任一x，有（或），那么就稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值）。定理：設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)，且在處取得極值，那么。但的地方，不一定取得極值。定理：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，那么（1）若時(shí)，，而時(shí)，，則在處取得極大值（2）若時(shí)，，而時(shí)，，則在處取得極小值（3）若時(shí)，的符號(hào)保持不變，則在處沒有極值。定理：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且，，那么（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值。注意：閉區(qū)間上的最大值或最小值可能是駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)或端點(diǎn)值。第七節(jié)曲率弧s與x的關(guān)系：。s的絕對(duì)值等于這段弧的長(zhǎng)度?；∥⒎止剑呵剩?，表示弧的彎曲程度。對(duì)于圓來說，半徑越小，曲率越大，彎曲得越厲害。直角坐標(biāo)方程的曲率：參數(shù)方程的曲率：曲率半徑：第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念和性質(zhì)原函數(shù)：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，即對(duì)任意，都有或，那么函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間I上的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任一都有。簡(jiǎn)單的說，就是連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。注意：如果I上有第一類間斷點(diǎn)，則在I上一定不存在原函數(shù)；如果I上有第二類間斷點(diǎn)，則在I上可能存在原函數(shù)，比如，在存在間斷點(diǎn)。不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間I上的不定積分，記作。其中記號(hào)稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量。定律：不定積分可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)：。積分曲線：函數(shù)的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線。記號(hào)與d連在一起時(shí)，或者抵消，或者抵消后差一個(gè)常數(shù)?；痉e分表： 不定積分的性質(zhì)：第二節(jié)換元積分法第一類換元法：設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式。對(duì)于積分，總可作變換，把它化為。對(duì)于或型函數(shù)的積分，總可依次作變換或，求得結(jié)果。對(duì)于型函數(shù)，總可利用三角恒等式：，化成的多項(xiàng)式，然后求解。第二類換元法：設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且。又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式，其中是的反函數(shù)。三角替換：（1），則，（2），則，（3），則，，（4），則可配方成上述形式，再進(jìn)行替換。第三節(jié)分部積分法分部積分法：或選取u和dv要注意：（1）v要容易求出（2）要比容易求出分部積分常見形式：①，，，進(jìn)行n次分部積分，每次均取，，為，多項(xiàng)式部分為。②，，，取為，，，等為，分部積分一次后被積函數(shù)的形式發(fā)生變化。③，，兩部分都可做，但是最好用做。第四節(jié)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式的商稱為有理函數(shù)。當(dāng)分子多項(xiàng)式的次數(shù)小于分母多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，稱這有理函數(shù)為真分式，否則稱為假分式。把真分式化為部分分式之和：對(duì)于真分式，如果分母可分解為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積，且與沒有公因式，那么它可拆分為兩個(gè)真分式之和，這個(gè)步驟叫做把真分式或?yàn)椴糠址质街?。利用多?xiàng)式的除法總可以將一個(gè)假分式化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式。如果被積函數(shù)中含有簡(jiǎn)單根式或，可以令這個(gè)簡(jiǎn)單根式為u。第五章定積分第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)在上的定積分：其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。定積分幾何意義：定積分在幾何上表示曲線、兩條直線、與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。在上即取得正直又取得負(fù)值時(shí)，定積分表示在x軸上方圖形面積減去x軸下方圖形面積所得之差。定理：（1）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積。（2）設(shè)在區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積。（3）若在上有界，則在上有定積分，若在上無界，則在上沒有定積分。（4）在上有積分，但是不一定有原函數(shù)，只有當(dāng)在上連續(xù)時(shí)才有原函數(shù)。定積分的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（2）（3）（4）設(shè)，則。（5）如果在區(qū)間上，則。（6）如果在區(qū)間上，則。（7）如果在區(qū)間上，，則。（8）（6）設(shè)M及m分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，則，即。（7）定積分中值定理：如果函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：。其中稱為在區(qū)間上的平均值。（8）定理：（1）若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則；若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則。（2）若是連續(xù)的周期函數(shù)，周期為T，則，，即在任何長(zhǎng)度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。（3）以T為周期的充要條件是。（4）設(shè)連續(xù)函數(shù)以T為周期，則的全體原函數(shù)以T為周期的充要條件是。（5），，其中。（6）。（7）假定在為連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，在的全體原函數(shù)均為偶函數(shù)；當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，在只有唯一原函數(shù)為奇函數(shù)。第二節(jié)微積分基本公式定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)。注意：定積分是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，而不定積分是的任意一個(gè)原函數(shù)。定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)就是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。牛頓-萊布尼茨公式：如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則（這個(gè)公式也叫微分基本公式）。變限積分的求導(dǎo)方法：若，則第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法：假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件（1），（2）在（或）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域，則有（定積分的換元公式）。應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意：（1）用把原來變量x代換成新變量t時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新變量t的積分限（2）求出的一個(gè)原函數(shù)后，不必像計(jì)算不定積分那樣再把變換成原來變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上下限分別代入中然后相減就行了。定積分的分部積分公式：，或。第四節(jié)反常積分無窮限的反常積分：（1）函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即，這時(shí)也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，則稱函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分沒有意義，習(xí)慣上稱為反常積分發(fā)散，這時(shí)記號(hào)就不再表示數(shù)值了。（2）函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即，這時(shí)也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散。（3）函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果反常積分和都收斂，則稱上述兩反常積分之和為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即，這時(shí)也稱反常積分收斂，否則就稱反常積分發(fā)散。注意：當(dāng)和之中有一個(gè)不存在時(shí)，發(fā)散。無界函數(shù)的反常積分：暇點(diǎn)：如果函數(shù)在點(diǎn)a的任意鄰域內(nèi)都無界，那么點(diǎn)a稱為函數(shù)的暇點(diǎn)。（1）函數(shù)在上的反常積分：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，點(diǎn)a為的暇點(diǎn)。取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在上的反常積分，仍然記作，即。這時(shí)也稱反常積分收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散。（2）函數(shù)在上的反常積分：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，點(diǎn)b為的暇點(diǎn)。取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在上的反常積分，仍然記作，即。這時(shí)也稱反常積分收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散。（3）函數(shù)在上的反常積分:設(shè)函數(shù)在上除點(diǎn)c外連續(xù)，點(diǎn)c為的暇點(diǎn)，如果兩個(gè)反常積分與都收斂，則定義；否則，就稱反常積分發(fā)散。注意：只要與其中一個(gè)發(fā)散，則發(fā)散。第六章定積分的應(yīng)用第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積：直角坐標(biāo)情形：直角坐標(biāo)面積元素，直角坐標(biāo)面積：。極坐標(biāo)的情形：極坐標(biāo)面積元素：（扇形面積），極坐標(biāo)下的面積：旋轉(zhuǎn)體的體積：繞x軸旋轉(zhuǎn)：體積元素；面積繞y軸旋轉(zhuǎn)：體積平行截面面積為已知的立體的體積：表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積，且為連續(xù)函數(shù)，則體積元素，所求立體體積為。平面曲線的弧長(zhǎng)：（1）弧由參數(shù)方程表示，則弧長(zhǎng)元素，弧長(zhǎng)。（2）弧由直角坐標(biāo)方程（）表示，則弧長(zhǎng)元素，弧長(zhǎng)。（3）弧由極坐標(biāo)方程：（）表示，則弧長(zhǎng)元素，弧長(zhǎng)。旋轉(zhuǎn)面的（側(cè)）面積：在x軸上方有一平面曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面，其面積為：（1）若為直線段，則，其中l(wèi)為的長(zhǎng)度，，分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)。（2）設(shè)以弧長(zhǎng)為參數(shù)的方程，，則。（3）設(shè)的參數(shù)方程為，，則，其中，在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。（4）設(shè)的方程為，則，其中在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。（5）設(shè)的極坐標(biāo)方程為，則，其中在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用電場(chǎng)力：把一個(gè)帶電荷量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，把一個(gè)單位正電荷放在距O點(diǎn)為r的地方，則它所受到的電場(chǎng)力為，把正電荷從移動(dòng)到，則功元素為，功為。活塞中氣體膨脹：功元素為，功為，其中。推導(dǎo)，，，。把容器中的水抽出：。水壓力：（水深為h處的壓強(qiáng)為）。引力：，（是線密度）。第七章微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程。微分方程的階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。微分方程的一般形式：。微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)，就是說把這函數(shù)代入微分方程能使該方程稱為恒等式，這個(gè)函數(shù)就叫做微分方程的解。微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。初始條件的一般形式：一階微分方程時(shí)，；二階微分方程時(shí)，，。微分方程的特解：確定了通解中的任意常數(shù)，就得到微分方程的通解，特解不含任意常數(shù)。第二節(jié)可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程：如果以一個(gè)一階微分方程能寫成的形式，即能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和，另一端只含x的函數(shù)和，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?？赏ㄟ^兩邊求積分來求得方程的解。放射性元素的衰變速度：，放射性元素衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的元素含量M成正比。水從孔口流出的流量：第三節(jié)齊次方程齊次方程：如果一階方程可化成的形式，那么就稱這方程為齊次方程。推導(dǎo)：，，，，。第四節(jié)一階線性微分方程一階線性微分方程：方程叫做一階線性微分方程，因?yàn)樗鼘?duì)于未知函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)是一次方程。如果，則方程稱為齊次的；如果，則方程稱為非齊次的。方程叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程。非齊次一階線性微分方程的通解：或。上式右端第一項(xiàng)是齊次方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次方程的一個(gè)特解。由此可知，一階非其次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和。第五節(jié)可降階的高階微分方程（1），經(jīng)一次積分，得，同理經(jīng)n次積分得。（2）不顯含y的二階微分方程，令，原方程化為p的一階方程。（3）不顯含x的二階微分方程，令，原方程可化為以p為未知函數(shù)，y為自變量的一階方程（）第六節(jié)高階線性微分方程二階線性微分方程：叫做二階線性微分方程。當(dāng)方程右端時(shí)，方程叫做齊次的，當(dāng)時(shí)，方程叫做非齊次的。線性相關(guān)：設(shè)，，…，為定義在I區(qū)間上的n個(gè)函數(shù)，如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)，，…，，使得當(dāng)時(shí)有恒等式成立，那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，如果兩函數(shù)之比為常數(shù)，那么它們線性相關(guān)，否則線性無關(guān)。定理：如果函數(shù)和是方程的兩個(gè)解，那么也是的解，但不一定是通解。定理：如果函數(shù)和是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，那么就是的通解。定理：如果，，…，是n階齊次線性方程的n個(gè)線性無關(guān)的解，此方程的通解為，其中，，…，為任意常數(shù)。定理：設(shè)是二階非齊次線性方程的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，那么是二階非齊次線性微分方程的通解。定理：（疊加原理）設(shè)非齊次線性方程的右端是兩個(gè)函數(shù)之和，即，而與分別是方程與的特解，那么就是的特解。第七節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程：，其中p，q是常數(shù)。特征方程：是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程。的通解：（1）當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，。其通解為。（2）當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根。其通解為。（3）當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根，，其中，。其通解為。n階常系數(shù)齊次線性微分方程：，它的特征方程為。（1）特征方程的根中有單實(shí)根r，則它在微分方程通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)為。（2）特征方程的根中有一對(duì)單復(fù)根，則它在微分方程通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)為。（3）特征方程的根中有k重實(shí)根r，則它在微分方程通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)為。（4）特征方程的根中有一對(duì)k重復(fù)根，則它在微分方程通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)為。第八節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式：（1），是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式，，則的特解為其中是與相同次數(shù)（m次）的多項(xiàng)式，而k按不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0，1，2。（2），其中，分別是x的l次、n次多項(xiàng)式，且有一個(gè)可為零，則微分方程的特解為其中，是m次多項(xiàng)式，，而k按（或）不是特征方程的根，或是特征方程的單根依次取0或1。第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)：設(shè)D是的一個(gè)非空子集，稱映射為定義在D上的二元函數(shù)，通常記為，或，，其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量。二重極限：二重極限存在，是指以任何方式趨于時(shí)，都無限趨于一個(gè)數(shù)。反過來，如果當(dāng)以不同方式趨于時(shí)，趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。多元函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)镈，為D的聚點(diǎn)，且。如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)：如果函數(shù)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在D上連續(xù)。間斷點(diǎn)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，為D的聚點(diǎn)。如果函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。定律：一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。有界性與最大值最小值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。介值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定取得介于最大值和最小值之間的任何值。第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在而x在處有增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量，如果存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作，，。同理可得在點(diǎn)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義。偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作，，或。注意：（1）對(duì)一元函數(shù)來說，可看做函數(shù)的微分與自變量的微分之商；而偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，不能看做分子與分母之商。（2）如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必連續(xù)；但對(duì)多元函數(shù)來說，即使偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。的二階偏導(dǎo)數(shù)：，叫做混合偏導(dǎo)數(shù)。定理：如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。第三節(jié)全微分全增量：定理：（1）如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在；但是偏導(dǎo)數(shù)存在卻不一定可微分。（2）函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)存在但不一定可微分，只有偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)連續(xù)，才能保證函數(shù)在該點(diǎn)可微分。（3）多元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，并不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，且函數(shù)連續(xù)也不一定能保證偏導(dǎo)數(shù)存在。（4）函數(shù)在某點(diǎn)可微分，那么它在該點(diǎn)必連續(xù)；但是函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，但它在該點(diǎn)卻不一定可微分。（5）。全微分：函數(shù)在點(diǎn)的全微分為。對(duì)于三元函數(shù)，它的全微分。第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形：如果函數(shù)及都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且。推廣：設(shè)，，，，則的全導(dǎo)數(shù)為。多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形：如果函數(shù)及都在點(diǎn)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有，。其他情形：（1）如果函數(shù)在點(diǎn)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有，。（2）設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)具有對(duì)自變量x及y的偏導(dǎo)數(shù)，且有，。注意：與是不同的，是把復(fù)合函數(shù)中的y看做不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，是把中的u及y看做不變的而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。全微分形式的不變性：設(shè)函數(shù)，，，則的全微分為。第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)存在定理1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有。隱函數(shù)存在定理2：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有，。隱函數(shù)存在定理3：設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比式）在點(diǎn)不等于零，則方程組，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，，它們滿足條件，，并有，，，。第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法極大、極小值點(diǎn)：使函數(shù)得到極大、極小值的點(diǎn)叫做函數(shù)的極大、極小值點(diǎn)。二元函數(shù)的駐點(diǎn)：凡是能使，同時(shí)成立的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn)。定理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則有，。定理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，令，，，則在處是否取得極值的條件如下：（1）時(shí)具有極值，且當(dāng)是有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；（2）時(shí)沒有極值；（3）時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，需另作考慮。注意：如果函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點(diǎn)不是駐點(diǎn)，但也可能是極值點(diǎn)，所以求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)該考慮偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。定義在有界閉區(qū)域D上的函數(shù)最大最小值的求法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先做拉格朗日函數(shù)，其中為參數(shù)，求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程聯(lián)立起來，由這方程組解出x，y及，這樣得到的就是函數(shù)在附加條件下可能的極值點(diǎn)。推廣：函數(shù)在附加條件，下的極值，可以先做拉格朗日函數(shù)。第十章重積分第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)二重積分：函數(shù)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作或，其中叫做被積函數(shù)，或叫做被積表達(dá)式，或叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫做積分區(qū)域。二重積分的性質(zhì)：（1）設(shè)、為常數(shù)，則。（2）如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分區(qū)域的二重積分的和。（3）如果在D上，，為D的面積，則。（4）如果在D上，，則有。推論。（5）設(shè)M、m分別是在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，是D的面積，則有，所以。（6）二重積分中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)，使得。第二節(jié)二重積分的計(jì)算法X型區(qū)域D：設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式，來表示，從而二重積分可表示為。Y型區(qū)域D：設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式，來表示，從而二重積分可表示為。利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分：。要把二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)，只要把被積函數(shù)中的x、y分別換成，，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素?fù)Q成極坐標(biāo)中的面積元素。設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式，，則二重積分可以表示為：。定律：如果二重積分的被積函數(shù)，積分區(qū)域，則這個(gè)二重積分等于兩個(gè)單積分的乘積。對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)在有界區(qū)域D上連續(xù)：（1）若D關(guān)于x軸對(duì)稱，則，其中為D中x軸上方的部分。（2）若D關(guān)于y軸對(duì)稱，則，其中為D中y軸右邊的部分。（3）若D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（且），則，其中為D的x軸上方的部分或D中y軸右邊的部分。（4）若D關(guān)于直線對(duì)稱（且），且被積函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即，則，，，其中為D中直線上方或下方的部分。第四節(jié)重積分的應(yīng)用曲面的面積：設(shè)曲面S由方程給出，D為曲面S在面上的投影區(qū)域，函數(shù)在D上具有偏導(dǎo)數(shù)和，則曲面S的面積為。推廣：若曲面的方程為，則可把曲面投影到面上，。若曲面的方程為，則可把曲面投影到面上，。質(zhì)心：有一平面薄片，占有面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)處的面密度為，假定在D上連續(xù)，則薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為，。均勻平面質(zhì)心的坐標(biāo)或平面圖形的形心:,,其中為閉區(qū)域D的面積。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：設(shè)有一薄片，占有面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)處的面密度為，假定在D上連續(xù)，則薄片對(duì)x軸以及對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，。對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

第一章行列式第一節(jié)二階與三階行列式主對(duì)角線：副對(duì)角線：第三節(jié)n階行列式的定義n階行列式：記作，簡(jiǎn)記作，其中為行列式D的元。定律：,其中為自然數(shù)1,2，…，n的一個(gè)排列，t為這個(gè)排列的逆序數(shù)，共有項(xiàng)。對(duì)角行列式：。（不是對(duì)角行列式）上（下）三角形行列式：主對(duì)角線以下（上）的元素都為零的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值與對(duì)角行列式一樣。第五節(jié)行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式：，，行列式稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。（1）行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。（3）如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用k乘此行列式。（5）行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面。（6）行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。（7）若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如第i列的元素都是兩數(shù)之和，則D等于下列兩個(gè)行列式之和:（8）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。例如k乘第j列加到i列上，記作。注意：不能寫成，在行列式中變化的永遠(yuǎn)是加號(hào)前面的行或列。，。第六節(jié)行列式按行（列）展開代數(shù)余子式：在n階行列式中，把元所在的第i行和第j列劃去后，留下來的階行列式叫做元的余子式，記作，記，叫做元的代數(shù)余子式。引理：一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除元外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即。定理：（行列式按行（列）展開法則）行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即范德蒙德行列式：推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即或。定律：在行列式按第i行展開的展開式中，用，，…，依次代替，，…，，可得。同樣，在行列式按第j列展開的展開式中，用，，…，代替中的第j列，可得第七節(jié)克拉默法則克拉默法則：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，那么方程組有唯一解，，…，，其中是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式。定理：（1）如果線性方程組的系數(shù)行列式，則一定有解，且解是唯一的。（2）如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。（3）如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則齊次方程組沒有非零解。（4）如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。以上定理可簡(jiǎn)化為：（1）），。（2）必有零解，。第二章矩陣及其運(yùn)算第一節(jié)矩陣定義：有個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，記作。行矩陣（行向量）：列矩陣（列向量）：同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣。零矩陣：元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O。線性變換：n個(gè)變量，，…，與m個(gè)變量，，…，之間的關(guān)系式表示從變量，，…，到變量，，…，的線性變換。A叫做線性變化的系數(shù)矩陣。n階單位矩陣：對(duì)角矩陣：，簡(jiǎn)記作第二節(jié)矩陣的運(yùn)算（一）矩陣A與B的和：設(shè)有兩個(gè)矩陣和，那么矩陣A與B的和記作，規(guī)定為。加法運(yùn)算規(guī)律：（二）數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣A的乘積記作或，規(guī)定為。數(shù)與矩陣相乘運(yùn)算規(guī)律：（三）矩陣與矩陣相乘：設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)矩陣，其中，并把此乘積記作。乘積矩陣的元就是A的第i行與B的第j列的乘積?？山粨Q的：若，則稱方陣A與B是可交換的。注意：下列公式一般情況下不成立，只有矩陣A與B可交換時(shí)才成立：，，，。一般情況下。注意：（1）不能得出或的結(jié)論。（2），也不能得出的結(jié)論。（3），則，。矩陣相乘運(yùn)算規(guī)律：（四）矩陣的冪：（五）矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新的矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作。矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律：對(duì)稱矩陣：如果，那么A就稱為對(duì)稱矩陣，它的元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等。反對(duì)稱矩陣：。（六）方陣的行列式：有n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式，稱為方陣A的行列式，記作或。注意：n階方陣是個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而n階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù)。方陣行列式的運(yùn)算法則：注意：（1）沒有。（2）對(duì)于n階矩陣A，B，一般來說，但總有。伴隨矩陣：，，其中是行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式。第三節(jié)逆矩陣逆矩陣：對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B，使，則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱作A的逆矩陣。A的逆矩陣記作，即若，則。定理：（1）若矩陣A可逆，則。（2）若，則矩陣A可逆，且，其中為矩陣A的伴隨矩陣。（3）矩陣A可逆的充分必要條件就是。逆矩陣運(yùn)算規(guī)律：（1）若A可逆，則亦可逆，且。（2）若A可逆，則可逆，且。（3）若A，B為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且。（4），。矩陣A的m次多項(xiàng)式：定律：（1）若，則（2）若，則第四節(jié)矩陣分塊法（1），，則。（2），則。（3），，則，其中。（4），則。（5），則，，其中A和都是方陣。（6），則。第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié)矩陣的初等變換矩陣的初等行變換：（1）對(duì)調(diào)兩行（）。（2）以數(shù)乘某一行中的所有元素（）。（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去（）。矩陣A與B行等價(jià)：如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B行等價(jià)。矩陣A與B列等價(jià)：如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B列等價(jià)。矩陣A與B等價(jià)：如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)。矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：（1）反身性（2）對(duì)稱性，若，則（3）傳遞性，若，，則行階梯形矩陣：階梯形，每個(gè)臺(tái)階只有一行。行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0。一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一的。標(biāo)準(zhǔn)型：矩陣的左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素全為零。任何矩陣都可以變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型。定理：設(shè)A與B為矩陣，那么（1）A與B行等價(jià)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使。（2）A于B列等價(jià)的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，是。（3）A與B等價(jià)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使。初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嚱?jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。定理：（1）用初等矩陣P左乘A，所得就是對(duì)矩陣A做了一次與P同樣的行初等變換。（2）用初等矩陣P右乘A，所得就是對(duì)矩陣A做了一次與P同樣的列初等變換。（3）初等矩陣均可逆，且其逆矩陣是同類型的初等矩陣，例如，。推論：方陣A可逆的充分必要條件是A與E行等價(jià)。，F(xiàn)為行最簡(jiǎn)形，則，，。，，所以。，則，，。第二節(jié)矩陣的秩矩陣A的k階子式：在矩陣A中，任取k行與k列，位于這些行這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。矩陣的秩：設(shè)在A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有階子式全等于零，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作。矩陣秩的性質(zhì)：（1） （2）（3）若，則 （4）若P、Q可逆，則（5），特別的，當(dāng)為非零向量時(shí)，有（6） （7）（8）若，則 （9）設(shè)，若A為列滿秩矩陣，則（10）第三節(jié)線性方程組的解定理：n元線性方程組（1）無解的充分必要條件是（2）有唯一解的充分必要條件是（3）有無限多解的充分必要條件是定理：（1）n元齊次方程組有非零解的充分必要條件是。（2）線性方程組有解的充分必要條件是。（3）矩陣方程有解的充分必要條件是。（4）設(shè)，則。第四章向量組的線性相關(guān)性第一節(jié)向量組及其線性組合n維向量：n個(gè)有次序的數(shù)，，…，所組成的數(shù)組稱為n維向量。注意：列向量一般用，，，表示，行向量一般用，，，表示。向量組：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。線性組合：給定向量組A：，，…，，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)，，…，，表達(dá)式稱為向量組A的一個(gè)線性組合，，，…，稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。向量b能由向量組A線性表示：給定向量組A：，，…，和向量b，如果存在一組數(shù)，，…，使，則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱向量b能由向量組A線性表示。（1）向量b能由向量組A線性表示的充分必要條件是。（2）向量b能由向量組A線性表示，也就是方程組有解。向量組等價(jià)：設(shè)有兩個(gè)向量組A和B，若B中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。（1）若矩陣A與B行等價(jià)，則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。（2）若矩陣A與B列等價(jià)，則A的列向量組與B的列向量組等價(jià)。（3）向量組B能由向量組A線性表示，其含義是矩陣方程有解。定理：（1）向量組B能由向量組A線性表示的充分必要條件是。（2）向量組A與向量組B等價(jià)的充分必要條件是。（3）向量組B能由向量組A線性表示，則。第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性定義：給定向量組A：，，…，，如果存在不全為零的數(shù)，，…，，使，則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。定律：向量組A線性相關(guān)，也就是在向量組A中至少有一個(gè)向量能由其余個(gè)向量線性表示。定理：（1）向量組，，…，線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)m，向量組線性無關(guān)的充分必要條件是。（2）若向量組A：，，…，線性相關(guān)，則向量組B：，，…，，也線性相關(guān)。反言之，若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)。（3）m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)，特別地，個(gè)n維向量一定線性相關(guān)。（4）設(shè)向量組A：，，…，線性無關(guān)，而向量組B：，，…，，線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表達(dá)式是唯一的。（5）若向量組，，…，線性無關(guān)，則它的任一個(gè)延伸組，，…，必線性無關(guān)。第三節(jié)向量組的秩定義：設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個(gè)向量，，…，，滿足①向量組：，，…，線性無關(guān)；②向量組A中任意個(gè)向量都線性相關(guān)，那么稱向量組是向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)組；最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r稱為向量組A的秩，記作。定理：（1）矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。（2）若是矩陣A的一個(gè)最高階非零子式，則所在的r列即是A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，所在的r行即是A的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。（3）向量組B能由向量組A線性表示的充分必要條件是。（4）若向量組B能由向量組A線性表示，則。（5）如果矩陣與的行向量組等價(jià)，則方程組與同解，從而A的列向量組各向量之間與B的列向量組之間有相同的線性關(guān)系。最大無關(guān)組的等價(jià)定義：設(shè)向量組：，，…，是向量組A的一個(gè)部分組，且滿足①向量組線性無關(guān)；②向量組A的任何一個(gè)向量都能由向量組線性表示，那么向量組便是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組。行最簡(jiǎn)型取自由變量的原則：先由最簡(jiǎn)型看出自由變量的個(gè)數(shù)，然后按照自由變量所在的列去掉后不改變矩陣的秩這一原則取自由變量。第四節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理：（1）若，為的解，則也是的解。（2）若為的解，則也是的解。方程的通解：方程的全體解所組成的集合叫做S，如果能求得解集S的一個(gè)最大無關(guān)組：，，…，，那么方程的任意解都可由最大無關(guān)組線性表示，所以最大無關(guān)組的任何線性組合都是方程的通解?；A(chǔ)解系：齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。定理：設(shè)矩陣A的秩，則n元齊次線性方程組的解集S的秩。注意：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系并不是唯一的，它的通解的形式也不是唯一的。定理：（1）設(shè)及都是的解，則為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解。（2）設(shè)是方程的解，是方程的解，則仍是方程的解。方程的通解的求法：（1）先求出方程的基礎(chǔ)解系，則的通解是。（2）再求出一個(gè)的特解。（3）方程的通解為。第五節(jié)向量空間向量空間：設(shè)V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對(duì)于向量的加法及乘法兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合V為向量空間。所謂封閉，是指在集合V中可以進(jìn)行向量的加法及乘法兩種運(yùn)算，具體就是：若，，則，若，，則。一般的，由向量，，…，所生成的向量空間為。定義：設(shè)V為向量空間，如果r個(gè)向量，，…，，且滿足①，，…，線性無關(guān)；②V中任一向量都可以由，，…，線性表示，那么向量組，，…，就稱為向量空間的一個(gè)基，r稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r維向量空間。若把向量空間V看做向量組，則V的基就是向量組的最大無關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。若向量組，，…，是向量空間V的一個(gè)基，則V可表示為。定義：如果在向量空間V中取定一個(gè)基，，…，，那么V中任一向量x可唯一表示為，數(shù)組，，…，稱為向量x在基，，…，中的坐標(biāo)。若選單位坐標(biāo)向量，，…，為基，則以，，…，為分量的向量的向量x，可表示為。第五章相似矩陣及二次型第一節(jié)向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性內(nèi)積：設(shè)，，令，則稱為向量與的內(nèi)積。內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)x與y都是列向量時(shí)，有。內(nèi)積的性質(zhì)：（1） （2） （3）（4）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（5）施瓦茨不等