教育與心理統(tǒng)計(jì)課件第四章差異量數(shù)

教育與心理統(tǒng)計(jì)課件第四章差異量數(shù)第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一第四章差異量數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、離散程度各測(cè)度值的計(jì)算方法2、離散程度各測(cè)度值的特點(diǎn)及應(yīng)用場(chǎng)合3、偏態(tài)與峰態(tài)的測(cè)度方法第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一離中趨勢(shì)數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度（離散程度）從另一個(gè)側(cè)面說明了集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表程度不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測(cè)度值第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一全距（極差）(range)一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡(jiǎn)單測(cè)度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布7891078910

R

=max(xi)-min(xi)**R越大，說明離散程度越大。計(jì)算公式為第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一百分位差（percentile）為了避免極端數(shù)據(jù)的影響，將數(shù)據(jù)的兩端各截去10%，即P10和P90之間的距離作為差異量數(shù)。第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一百分等級(jí)分?jǐn)?shù)表示分?jǐn)?shù)在整個(gè)分?jǐn)?shù)分布中所處的百分位置。其中：

PR：百分等級(jí)X：對(duì)應(yīng)的原始分?jǐn)?shù)f：該分?jǐn)?shù)所在組的次數(shù)Lb：該分?jǐn)?shù)所在組的精確下限

Fb：小于L的各組次數(shù)之和N：總次數(shù)

i：組距**百分等級(jí)一般只用整數(shù)不用小數(shù)。第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一例：如下表示，求分?jǐn)?shù)為77的百分等級(jí)分?jǐn)?shù)。組別fF80—78—76—74—72—4719125474336175解：第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一百分位分?jǐn)?shù)意義：

1、原始分?jǐn)?shù)在次數(shù)分布中的特定地位分?jǐn)?shù)。2、表示總體中有p%的分?jǐn)?shù)小于PP。計(jì)算公式：第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一【例】：用下面的次數(shù)分布表計(jì)算該分布的百分位差P90-P10。組別f向上累加次數(shù)65-115760-415655-615250-814645-1613840-2412235-349830-216425-164320-112715-91610-77合計(jì)157注意：組位在第一次大于N*m/100的F所在組！第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一解：先計(jì)算P90和P10兩個(gè)百分位數(shù)。

（如何確定PP所在的組位？）第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一四分位數(shù)(quartile)1、排序后處于25%和75%位置上的值不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)Q1Q2Q325%25%25%25%第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一四分位數(shù)

(位置的確定)原始數(shù)據(jù)：順序數(shù)據(jù)：第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù)解：Q1位置=(300)/4=75

Q3位置=(3×300)/4

=225從累計(jì)頻數(shù)看，Q1在“不滿意”這一組別中；Q3在“一般”這一組別中四分位數(shù)為

Q1

=不滿意

Q3

=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的次數(shù)分布回答類別甲城市次數(shù)(戶)累計(jì)次數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(9個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(10個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一四分位差

(quartiledeviation)對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度也稱為內(nèi)距或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差的一半。

Q

=（Q3

–Q1）/2反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一四分位差解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2,一般為3,滿意為4,非常滿意為5。已知

Q1=不滿意=2

Q3

=

一般=3四分位差：

Q=(Q3-

Q1)/2

=(3–2)/2

=0.5甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的次數(shù)分布回答類別甲城市次數(shù)(戶)累計(jì)次數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一平均差

(meandeviation)各變量值與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少計(jì)算公式為未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一【例】：有5名被試的錯(cuò)覺實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求其平均差。解：已知n=5x=18.6被試12345錯(cuò)覺量1618202217第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一平均差某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均差計(jì)算表按銷售量分組組中值(xc)次數(shù)(fi)140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合計(jì)—120—2040求該電腦公司銷售量的平均差第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一解：含義：每一天的銷售量平均數(shù)相比，平均相差17臺(tái)第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(varianceandstandarddeviation)為了避免負(fù)數(shù)出現(xiàn)，數(shù)據(jù)離散程度的最常用測(cè)度值反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一總體方差計(jì)算公式：總體標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式：第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(simplevarianceandstandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

樣本方差

自由度(degreeoffreedom)一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為

n

時(shí)，若樣本均值x

確定后,只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)則不能自由取值例如，樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則x

=5。當(dāng)x

=5

確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，它是σ2的無偏估計(jì)量第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算原始數(shù)據(jù)：【例】：計(jì)算6、5、7、4、6、8、這一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解：（1）公式法計(jì)算（2）計(jì)算器計(jì)算法第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一分組數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均差計(jì)算表按銷售量分組組中值(Xc)次數(shù)(fi)140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合計(jì)—120—55400第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一樣本標(biāo)準(zhǔn)差

含義：每一天的銷售量與平均數(shù)相比，平均相差21.58臺(tái)。

**計(jì)算器的算法？！第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一總標(biāo)準(zhǔn)差的合成：【例】：在三個(gè)班級(jí)進(jìn)行某項(xiàng)能力研究，三個(gè)班測(cè)查結(jié)果的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差如下，求三個(gè)班的總標(biāo)準(zhǔn)差。班級(jí)nxS14210316236110123509817第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和意義性質(zhì)（1）每一個(gè)觀測(cè)值都加上一個(gè)相同常數(shù)C之后，計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差。（2）每一個(gè)觀測(cè)值都乘以一個(gè)相同的常數(shù)C，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差等原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)。（3）每一個(gè)觀測(cè)值都乘以同一個(gè)常數(shù)C（C≠0），再加一個(gè)常數(shù)d，所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)C。第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一意義：（1）方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)。其值越大，次數(shù)分布越分散，反之，其值越小，離散越小。（2）

標(biāo)準(zhǔn)差具備一個(gè)良好的差異量數(shù)應(yīng)具備的條件：①反應(yīng)靈敏，每個(gè)數(shù)據(jù)取值變化，方差與標(biāo)準(zhǔn)關(guān)都隨之變化；②計(jì)算公式嚴(yán)密確定；③容易計(jì)算；④適合代數(shù)運(yùn)算；⑤受抽樣變動(dòng)影響，即不同樣本的標(biāo)準(zhǔn)差或方差比較穩(wěn)定；⑥簡(jiǎn)單明了，這一點(diǎn)其他差異量數(shù)比較稍有不足，但其意義還是較明確的。（3）標(biāo)準(zhǔn)差與其他各種差異量數(shù)相比，具有數(shù)學(xué)上的優(yōu)越性，特別是當(dāng)已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差后，就可以知道落在平均數(shù)上下各一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差、兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，或三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)所占的百分比。

第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用

差異系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一差異系數(shù)(coefficientofvariation)1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比

2.對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測(cè)度

3.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響4.用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5.計(jì)算公式為第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一差異系數(shù)某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號(hào)產(chǎn)品銷售額（萬元）x1銷售利潤(rùn)（萬元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)的離散程度第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一解：結(jié)論：計(jì)算結(jié)果表明，cv1<cv2，說明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤(rùn)的離散程度Cv1=536.25309.19=0.577cv2=32.521523.09=0.710第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

(standardscore)1.也稱標(biāo)準(zhǔn)化值或Z分?jǐn)?shù)2. 對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量3. 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)4. 用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理5.計(jì)算公式為第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)均值等于02. 方差等于1第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（圖示）z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在改組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)化值9個(gè)家庭人均月收入標(biāo)準(zhǔn)化值計(jì)算表家庭編號(hào)人均月收入（元）標(biāo)準(zhǔn)化值z(mì)

123456789150075078010808509602000125016300.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.5561.8530.1160.996第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一經(jīng)驗(yàn)法則經(jīng)驗(yàn)法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對(duì)稱分布時(shí)約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的優(yōu)點(diǎn)1、

可比性2、

可加性3、

明確性4、

穩(wěn)定性第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用：1、

用于比較幾個(gè)分屬性質(zhì)不同的觀測(cè)值在各自數(shù)據(jù)分布相對(duì)位置的高低2、

計(jì)算不同質(zhì)的觀測(cè)值的總和或平均值，以表示在團(tuán)體中的相對(duì)位置。3、表示標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一偏態(tài)與峰態(tài)的度量第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)差和中心動(dòng)差（p86）FOLM=F.L0xi第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一級(jí)動(dòng)差二級(jí)動(dòng)差三級(jí)動(dòng)差（偏態(tài)指標(biāo)）四級(jí)動(dòng)差（峰態(tài)指標(biāo)）第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一偏態(tài)與峰態(tài)分布的形狀扁平分布尖峰分布偏態(tài)峰態(tài)左偏分布右偏分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一偏態(tài)第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一偏態(tài)

(skewness)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearson于1895年首次提出數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測(cè)度2. 偏態(tài)系數(shù)=0為對(duì)稱分布3. 偏態(tài)系數(shù)>0為右偏分布4. 偏態(tài)系數(shù)<0為左偏分布第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一偏態(tài)系數(shù)(skewnesscoefficient)根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算第49頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一偏態(tài)系數(shù)

某電腦公司銷售量偏態(tài)及峰度計(jì)算表按銷售量份組(臺(tái))組中值(Mi)頻數(shù)fi140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~240145155165175185195205215225235491627201710845-256000-243000-128000-27000017000800002160002560006