平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)

平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一第三章平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)平均數(shù)（mean）用于反映資料的集中性，即觀測(cè)值以某一數(shù)值為中心而分布的性質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）與變異系數(shù)（variationcoefficient）反映資料的離散性，即觀測(cè)值分散變異的性質(zhì)。第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)平均數(shù)一、平均數(shù)的意義和種類二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法三、算術(shù)平均數(shù)的重要特性四、算術(shù)平均數(shù)的作用五、總體平均數(shù)第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一一、平均數(shù)的意義和種類平均數(shù)(average)是數(shù)據(jù)的代表值，表示資料中觀察值的中心位置，并且可作為資料的代表而與另一組資料相比較，借以明確二者之間相差的情況。平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有：算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）中位數(shù)（median）眾數(shù)（mode）幾何平均數(shù)（geometricmean）調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean）第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一算術(shù)平均數(shù):一個(gè)數(shù)量資料中各個(gè)觀察值的總和除以觀察值個(gè)數(shù)所得的商數(shù)，稱為算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)，記作。因其應(yīng)用廣泛，常簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)(mean)。均數(shù)的大小決定于樣本的各觀察值。012345678910平均數(shù)=5平均數(shù)=61234567141、算術(shù)平均數(shù)第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一2、中位數(shù)中位數(shù):將資料內(nèi)所有觀察值從大到小排序，居中間位置的觀察值稱為中數(shù)(median)，計(jì)作Md。當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列，找到中間的1個(gè)數(shù)（n為奇數(shù)）或2個(gè)數(shù)（n為偶數(shù)），之后求平均即可。0123456789101214012345678910中位數(shù)=5中位數(shù)=5第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一眾數(shù):資料中最常見的一數(shù)，或次數(shù)最多一組的中點(diǎn)值，稱為眾數(shù)(mode)，記為M0。如棉花纖維檢驗(yàn)時(shí)所用的主體長(zhǎng)度即為眾數(shù)。3、眾數(shù)眾數(shù)可能不存在可能有多個(gè)眾數(shù)多用于屬性數(shù)據(jù)01234567891011121314眾數(shù)=9沒有眾數(shù)第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一幾何平均數(shù):如有n個(gè)觀察值，其相乘積開n次方，即為幾何平均數(shù)(geometricmean)，用G代表。其計(jì)算公式如下：

4、幾何平均數(shù)第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即：第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一調(diào)和平均數(shù):（harmonicmean）各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H。即

（4.6）5、調(diào)和平均數(shù)第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)于同一資料：算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。(一)直接法主要用于未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可通過下式計(jì)算：（4.1）簡(jiǎn)寫：第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一【例1】某植保站測(cè)得10只某類害蟲的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（mg），求其平均數(shù)。由于Σx=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n=10得：即10只害蟲的平均體重為528.5mg。第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一（二）加權(quán)法（4.2）式中：xi-第i組的組中值；fi-第i組的次數(shù)；k-分組數(shù)第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi

在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi稱為是xi

的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一【例2】從A、B兩小區(qū)分別抽取4個(gè)和5個(gè)小麥麥穗，測(cè)得其樣本如下，用兩種方法計(jì)算其平均值，并比較計(jì)算結(jié)果。

第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一【例3】140行水稻產(chǎn)量（P38），用兩種方法求其平均數(shù)，并比較計(jì)算結(jié)果。（1）直接法：第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一（2）加權(quán)法：第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一1、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算與每一個(gè)數(shù)（值）都有關(guān)。

2、如果是n1個(gè)值的平均數(shù),是n2個(gè)值的平均數(shù)，那么全部n1＋n2個(gè)值的算術(shù)平均數(shù)是（加權(quán)平均數(shù)）

三、算術(shù)平均數(shù)的重要特性第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

3、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。

或簡(jiǎn)寫成第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

4、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。（常數(shù)）或簡(jiǎn)寫為：第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一5、若A為任意常數(shù)，第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一6、平均數(shù)是有單位的數(shù)值，與原資料單位相同。注意：必須性狀同質(zhì)時(shí)，才有代表性。第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一算術(shù)平均數(shù)是描述觀測(cè)資料的重要特征數(shù)，它的作用主要有以下兩點(diǎn)：1.指出數(shù)據(jù)資料的中心位置，標(biāo)志著資料所代表性狀的數(shù)量水平和質(zhì)量水平。2.可以作為樣本或資料的代表數(shù)據(jù)與其他資料進(jìn)行比較。四、算術(shù)平均數(shù)的作用第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：

（4.3）

式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量。五、總體平均數(shù)第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)變異數(shù)平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。每個(gè)樣本有一批觀察值，除以平均數(shù)作為樣本的集中性表現(xiàn)外，還應(yīng)該考慮樣本內(nèi)各個(gè)觀察值的變異情況，才能通過樣本的觀察數(shù)據(jù)更好地描述樣本，乃至描述樣本所代表的總體，為此必須有度量變異的統(tǒng)計(jì)數(shù)。常用的描述變異程度指標(biāo)有：1、極差（range）2、方差（variance）3、標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）4、變異系數(shù)（variationcoefficient）第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一一、極差極差(range)，又稱全距，記作R，是資料中最大觀察值與最小觀察值的差數(shù)。極差雖可以對(duì)資料的變異有所說明，但它只是兩個(gè)極端數(shù)據(jù)決定的，沒有充分利用資料的全部信息，而且易于受到資料中不正常的極端值的影響。所以用它來代表整個(gè)樣本的變異度是有缺陷的。第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一二、方差為了正確反映資料的變異度，較合理的方法是根據(jù)樣本全部觀察值來度量資料的變異度。這時(shí)要選定一個(gè)數(shù)值作為共同比較的標(biāo)準(zhǔn)。平均數(shù)既作為樣本的代表值，則以平均數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn)較為合理，但同時(shí)應(yīng)該考慮各樣本觀察值偏離平均數(shù)的情況，為此這里給出一個(gè)各觀察值偏離平均數(shù)的度量方法。第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，()，稱為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，即Σ()=0，因而不能用離均差之和Σ()來表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差，即Σ|x–x|/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異程度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負(fù)，且離均差之和為零的問題。先將各個(gè)離均差平方，即()2，再求離均差平方和，即，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)；第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量稱為均方（meansquare,縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即

S2=（4.7）第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為σ2。對(duì)于有限總體而言，σ2的計(jì)算公式為：（4.8）第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)差為方差的正平方根值，用以表示資料的變異度,其單位與觀察值的度量單位相同。從樣本資料計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：同樣，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差用表示：

第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S，即：三、標(biāo)準(zhǔn)差第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一由于所以（4.9）式可改寫為：（4.10）第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為：