彈性力學第三章 應變

彈性力學第三章應變第1頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一第三章應變§3-1變形與應變概念

§3-2變形連續(xù)條件§3-3應變增量和應變速率張量

§3-4應力應變分析的相似性與差異性第2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述：1、給出各點的位移；2、給出各體素的變形。彈性體內任一點的位移，用此位移在x、y、z三個坐標軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。這三個投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點的位移并不是定值，而是坐標的函數?！?-1

變形與應變概念

第3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一由于外部因素作用（荷載或溫度改變等）引起物體內部各質點位置的改變稱位移。物體內任意一點的位移，用它在x、y、z三個坐標軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標軸正方向的為正。u(x、y、z)=rxRx

v(x、y、z)=ry

Ry

w(x、y、z)=rzRz§3-1

變形與應變概念

第4頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一位移變形位移剛體位移剛體平移剛體轉動線變形角變形*物體內各點之間不產生相對位移*物體內各點之間產生相對位移§3-1

變形與應變概念

第5頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一由于外部因素 物體內部各點空間位置發(fā)生變化位移形式剛體位移：物體內部各點位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變。變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內部各個點的相對位置?！d荷或溫度變化位移——§3-1

變形與應變概念

第6頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一剛體位移：物體內部各點位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變（即其體內任意兩點之間距保持不變）。剛體位移包括平行移動和轉動位移§3-1

變形與應變概念

第7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內部各個點的相對位置。即物體的形狀發(fā)生改變。變形位移包括形狀改變和體積改變?！?-1

變形與應變概念

第8頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一位移剛性位移：反映物體整體位置的變動變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化｛研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體內各點的相對位置變動情況，即研究變形位移?！粑灰坪瘮祽俏恢米鴺说膯沃颠B續(xù)函數。◆位移分量函數不能直接表明物體各點處材料變形的劇烈程度，還需要研究物體內各點的相對位移?！?-1

變形與應變概念

第9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

一個物體受作用力后，其內部質點不僅要發(fā)生相對位置的改變（產生了位移），而且要產生形狀的變化（產生了變形）。物體的變形程度用應變來度量，物體在某一時刻的形態(tài)與早先的形態(tài)（一般指初始狀態(tài)或未變形的狀態(tài)）之間的差別就是物體在該時刻的應變。物體變形時，其體內各質點在各方向上都會有應變。變形的度量——應變第10頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一外力作用下，物體各點發(fā)生位移，但是某點位移的大小并不能確定該處應力的大小，它與物體的整體約束有關。應變反映局部各點相對位置的變化，與應力直接相關，變形體力學中彈性力學對這種關系作了最為簡化的假設，在各向同性線彈性的條件下，彈性常數只有兩個。1、正應變2、切應變變形的度量——應變第11頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一正（線）應變σσxxdxdxuu

+du物體內一點P（x,y,z）在方向上的線應變：變形前在P點處沿方向所取的微線段：變形后Δr的增量NP(x,y,z)變形的度量——應變第12頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一正（線）應變——線素的相對伸長或縮短正應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相對應。變形的度量——應變第13頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一剪（切）應變τβα直角改變量

τγ=α+β物體內一點P(x，y，z)的兩垂直方向和方向之間的角度變化量，稱之為和方向的切應變。為變形后、兩垂直方向間角度的變化量則：變形后x、y兩垂直方向間夾角的變化量。變形的度量——應變第14頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一，，

剪（切）應變——兩正交線素夾角的減少剪應變以直角變小時為正，變大時為負，與剪應力的正負號規(guī)定相對應。變形的度量——應變第15頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一線應變①、涉及受力物體內某一點；②、涉及該點的某一方向；③、是一個無量綱的物理量；④、表征某點某方向伸長變形的線應變取正，反之取負；角應變①、涉及受力物體內某一點；②、涉及過該點的某兩相垂直方向；③、是一個有單位，無量綱的物理量。④、表征某點兩坐標軸正方向所夾直角減少的角應變取正，反之取負。變形的度量——應變第16頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變分量與位移分量的關系A點在X方向的位移分量為u，B點在X方向的位移：ABCDABCD，求線素AB、AD的正應變：線素AB的正應變?yōu)椋和?，AD的正應變?yōu)椋旱?7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一X向線素AB的轉角，Y向線素AD的轉角求剪應變，也就是線素AB與AD之間的直角的改變線素AB的轉角為：

A點在Y方向的位移分量為v，B點在Y方向的位移分量：應變分量與位移分量的關系第18頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一同理，Y向線素AD的轉角：由于變形是微小的，所以上式可將比單位值小得多的略去，得因此，剪應變?yōu)椋簯兎至颗c位移分量的關系第19頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一以上是考察了體素在XOY一個平面內的變形情況同樣方法來考察體素在XOZ和YOZ平面內的變形情況，可得：應變分量與位移分量的關系第20頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一該式表明了一點處的位移分量和應變分量所應滿足的關系，稱為幾何方程，也稱為柯西(Cauchy)關系。幾何方程是用位移導數表示應變，應變描述一點的變形，但還不足以完全描述彈性單元體的位移變化，因為沒有考慮單元體位置的改變，即單元體的剛體位移。應變分量與位移分量的關系第21頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變分量

ex、

ey、

ez、e

xy、

e

yz、

e

zx滿足張量的性質，構成一個二階應變張量。應變張量以xi記x，y，z;以ui記u，v，w第22頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一如果應變矢量qN正在平面法線N方向上，則在這一方向上剪應變?yōu)榱?，則該法線方向即為主方向（或應變主軸）。其含義為：在這些方向上，運動前是彼此垂直的，其運動后仍保持垂直，相應的應變稱為主應變。

主應變和應變張量不變量考慮一個法線為N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）斜平面上應變向量qN的三個分量：qNi=ijlj剪應變?yōu)榱愕姆较蚓褪菓冎鬏S方向；主軸方向的應變就是主應變第23頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一主方向方程有非零解的條件是其系數行列式必為零。主應變特征方程該方程一定存在三個根，設為1，

2，

3稱為該點主應變:展開得關于

的一元三次方程：

主應變和應變張量不變量第24頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一在一定的應變狀態(tài)下，物體內任一點的主應變不會隨坐標系的改變而改變，因而，特征方程中的系數J1，J2，J3必為常數，稱為應變不變量。再次展開關于

的一元三次方程：

主應變和應變張量不變量第25頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一體積應變

第一應變不變量第二應變不變量第三應變不變量

主應變和應變張量不變量第26頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變張量分解和應變偏量不變量定義平均應變：應變球張量應變偏張量該應變狀態(tài)只有體積等向膨脹或收縮，而沒有形狀畸變該應變狀態(tài)只有形狀畸變而沒有體積改變。應變張量分解：第27頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變張量分解和應變偏量不變量第28頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一用主應變表示應變偏量：注意，純剪應變狀態(tài)的條件與純剪應力狀態(tài)的條件相同，即純剪應變的必要充分條件是kk=0，因此，eij

為純剪狀態(tài)，并且ij和eij

有相同主軸。應變張量分解和應變偏量不變量第29頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變偏張量應變偏量不變量如下：應變張量分解和應變偏量不變量第30頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一由于J2=0，應變偏張量可進一步分解并解釋為都表示純剪切變形，因此eij只與單元的剪切變形有關應變張量分解和應變偏量不變量第31頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變張量的性質：（1）存在三個互相垂直的主方向，在該方向上線元只有線應變（主應變）而無切應變。主應變張量為主應變可由應變狀態(tài)特征方程求得。應變張量分解和應變偏量不變量第32頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一（2）存在三個應變張量不變量I1、I2、I3，且對于塑性變形，由體積不變條件，有（3）在與主應變方向成45方向上存在主切應變，其大小為若1≥2≥3，則最大切應變?yōu)閼儚埩糠纸夂蛻兤坎蛔兞康?3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一（4）應變張量可以分解為應變球張量和應變偏張量平均線應變應變偏張量，表示變形單元體形狀變化（塑性變形時，由于體積不變，應變偏張量就是應變張量）應變球張量，表示變形單元體體積變化。應變張量分解和應變偏量不變量第34頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一畫圓，稱為應變莫爾圓。所有可能的應變狀態(tài)都落在陰影線范圍內。由圖可知，最大切應變?yōu)閼兡獱枅A

已知主應變的值，且1>2>3，可以在-平面上，圓心和半徑分別為

（5）可以用應變莫爾圓表示一點的應變狀態(tài)。應變張量分解和應變偏量不變量第35頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一第三章應變§3-1變形與應變概念

§3-2變形連續(xù)條件§3-3應變增量和應變速率張量

§3-4應力應變分析的相似性與差異性第36頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一§3-2

變形連續(xù)條件變形前是連續(xù)的，變形后仍然是連續(xù)的。不允許出現裂紋或發(fā)生重疊現象。為保證變形前后物體的連續(xù)性，應變之間必然存在某種關系，描述這種關系的數學表達式就是應變協(xié)調方程。第37頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變協(xié)調方程

在應力分析中，已經指出必須建立平衡方程以保證物體總是處于平衡狀態(tài)。然而，在應變分析中，必須由某些條件強加于應變分量以保證變形體連續(xù)。

已知位移可以求出應變。但給定應變，那么有三個未知位移函數，有六個幾何方程。如果不對應變加以限制就不能得到一個解。為了能得到一個單值的連續(xù)位移函數，必須對應變分量加以限制，這種約束被稱為應變協(xié)調條件第38頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

六個應變分量之間要滿足一定的關系，才能保證變形體的連續(xù)性。應變分量之間的關系稱為應變連續(xù)方程或應變協(xié)調方程。分析：1）將幾何方程中的x、y

分別對y、x求兩次偏導數，可得兩式相加，得應變協(xié)調方程第39頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一該式表明，在坐標平面內，兩個線應變分量一經確定，則切應變分量也就確定。即

同理可得另外兩式，綜合在一起可得(應變連續(xù)方程或應變協(xié)調方程)應變協(xié)調方程第40頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一2）對三個切應變等式分別對z、x、y求偏導，得將上面的前兩式相加后減去第三式，得應變協(xié)調方程第41頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一與另外兩式組合得(應變連續(xù)方程或應變協(xié)調方程)再對上式兩邊對x求偏導數，得上式表明，在物體三維空間內的三個切應變分量一經確定，則線應變分量也就確定。應變協(xié)調方程第42頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一表明一點的應變分量所應滿足的關系，稱為應變連續(xù)方程，也稱應變協(xié)調方程或圣維南(Saint-Venant)方程。第43頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變連續(xù)方程的物理意義表示：只有當應變分量之間滿足一定的關系時，物體變形后才是連續(xù)的。否則，變形后會出現“撕裂”或“重疊”，變形體的連續(xù)性遭到破壞。注：如果已知一點的位移分量，則由幾何方程求得的應變分量自然滿足連續(xù)方程。但如果先用其它方法求得應變分量，則只有滿足上述應變連續(xù)方程，才能由幾何方程求得正確的位移分量。

應變協(xié)調方程第44頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一例設一物體在變形過程中某一極短時間內的位移為試求：點Ａ（1,1,1）與點B（0.5,－1,0）的應變值解由幾何方程式得應變分量為第45頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一代入點B的坐標值（0.5,－1,0），得其應變值代入點A的坐標值(1,1,1)，得其應變值應變協(xié)調方程第46頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變協(xié)調方程的張量表示：◆其數學意義：要求位移函數在其定義域內為單值連續(xù)函數，保證3個位移為未知量的6個幾何方程不相矛盾?！羝淞W意義：保證構成物體的介質在變形前后是連續(xù)的，物體任意一點的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束，即同一點不會產生兩個或兩個以上的位移。由位移函數應變自動滿足連續(xù)方程（6個）

由應變位移積分必須滿足全微分條件，變形才是協(xié)調的

第47頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一證明——應變協(xié)調方程是變形連續(xù)的必要和充分條件。變形連續(xù)的物理意義，反映在數學上則要求位移分量為單值連續(xù)函數。目標——如果應變分量滿足應變協(xié)調方程，則對于單連通域，就可以通過幾何方程積分求得單值連續(xù)的位移分量。利用位移和轉動分量的全微分，則輪換x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz

應變協(xié)調方程第48頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一如通過積分，計算出

是單值連續(xù)的，則問題可證。

保證單值連續(xù)的條件是積分與積分路徑無關第49頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一根據格林公式回代第50頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一回代到第四式

wx單值連續(xù)的必要與充分條件是

同理討論wy，wz的單值連續(xù)條件，可得其它4式——變形協(xié)調方程。由此可證變形協(xié)調方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件。

第51頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一◆變形連續(xù)性條件反映了真實情況下物體內各點應變之間的協(xié)調關系。

◆對于單連通域物體，應變分量滿足應變協(xié)調方程是保證物體變形連續(xù)的充要條件?！衾脩儏f(xié)調方程可檢驗給定的應變狀態(tài)是否為可能存在的？也可確定應變分量中的待定系數。應變協(xié)調方程第52頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應變滿足變形協(xié)調方程，保證彈性體內部的變形單值連續(xù)。邊界變形協(xié)調要求邊界位移滿足位移邊界條件。位移邊界條件——臨近表面的位移或和變形與已知邊界位移或變形相等。位移邊界條件

第53頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一稱為位移邊界條件如果物體表面的位移已知，稱為位移邊界位移邊界用Su表示。如果物體表面的位移邊界條件為：位移邊界條件

第54頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一設物體表面為S位移已知邊界Su面力已知邊界Ss則S＝Su＋Ss彈性體的整個邊界，是由面力邊界和位移邊界構成的。任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移邊界。面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉換的，例如靜定問題。某些問題，邊界部分位移已知，另一部分面力已知，這種邊界條件稱為混合邊界條件。不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，彈性體任意邊界的邊界條件數目不能超過或者少于3個，必須等于3個。位移邊界條件

第55頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一如果物體內所有質點都只在同一個坐標平面內發(fā)生變形，而在該平面的法線方向沒有變形，這種變形稱為平面變形或平面應變。平面應變狀態(tài)下的應力狀態(tài)有如下特點：1)z

即為主應力，且為x

、y

的平均值，即為中間應力，又是平均應力，是一個不變量，有三個獨立的應力分量x

、y

、xy。2)若以應力主軸為坐標軸，平面變形時應力狀態(tài)就是純切應力狀態(tài)疊加一個應力球張量。平面問題的應變協(xié)調方程第56頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一第三章應變§3-1變形與應變概念

§3-2變形連續(xù)條件§3-3應變增量和應變速率張量

§3-4應力應變分析的相似性與差異性第57頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一全量應變與增量應變§3-3

應變增量和應變速率張量

全量應變又叫有限應變、總應變，是變形歷史中某一時刻之前已經發(fā)生的應變總和。增量應變又叫瞬時應變、無限小應變，是變形歷史中某一瞬間正在發(fā)生的無限小應變。應變速率表示變形體內質點距離改變的快慢，也即各點位移速度的差別。第58頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一物體質點位移增量瞬時應變增量張量第59