截交線投影作圖

截交線投影作圖第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一平面與立體表面相交，可以認為是立體被平面截切，此平面通常稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線。

一、截交線的性質(zhì)

第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一為了正確分析和表達機件的結(jié)構(gòu)形狀，我們需要了解截交線的性質(zhì)和畫法。由于立體的形狀和截平面與立體的相對位置不同，截交線的形狀也各不相同，但任何截交線都具有下列兩個基本性質(zhì)：（1）截交線一定是一個封閉的平面圖形。（2）截交線既在截平面上，又在立體表面上，截交線是截平面和立體表面的共有線。截交線上的點都是截平面與立體表面上的共有點。

因為截交線是截平面與立體表面的共有線，所以求作截交線的實質(zhì)，就是求出截平面與立體表面的共有點。第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一

平面立體的表面是平面圖形，因此平面與平面立體的截交線為封閉的平面多邊形。多邊形的各個頂點是截平面與立體的棱線或底邊的交點，多邊形的各條邊是截平面與平面立體表面的交線二、平面與平面立體相交第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一分析：截平面與棱錐的四條棱線相交，可判定截交線是四邊形，其四個頂點分別是四條棱線與截平面的交點。因此，只要求出截交線的四個頂點在各投影面上的投影，然后依次連接頂點的同名投影，即得截交線得投影。例如圖所示，求作正垂面P斜切正四棱錐的截交線。第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一作圖方法與步驟如圖所示：1．因為截平面P是正垂面，它的正面投影積聚成一條直線，可直接求出截交線各頂點的正面投影（a′）、b′、c′、（d′）。2．根據(jù)直線上點的投影規(guī)律，求出各頂點的水平投影a、b、c、d和側(cè)面投影a″、b″、c″、d″。

3．依次連接abcd和a″b″c″d″，即得截交線的水平投影和側(cè)面投影。當(dāng)用兩個以上平面截切平面立體時，在立體上會出現(xiàn)切口、凹槽或穿孔等。作圖時，只要作出各個截平面與平面立體的截交線，并畫出各截平面之間得交線，就可作出這些平面立體的投影。第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一分析：該正三棱錐的切口是由兩個相交的截平面切割而形成。兩個截平面一個是水平面，一個是正垂面，它們都垂直于正面，因此切口的正面投影具有積聚性。水平截面與三棱錐的底面平行，因此它與棱面△SAB和△SAC的交線DE、DF必分別平行與底邊AB和AC，水平截面的側(cè)面投影積聚成一條直線。正垂截面分別與棱面△SAB和△SAC交于直線GE、GF。由于兩個截平面都垂直于正面，所以兩截平面的交線一定是正垂線，作出以上交線的投影即可得出所求投影。

例如圖所示，一帶切口得正三棱錐，已知它的正面投影，求其另兩面投影。

第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一作圖方法與步驟如圖所示：1．由d′在as上作出d，由d分別作ab、ac的平行線，再由e′（f′）在兩條平行線上分別作出e和f，連接de、df即為DE、DF的水平投影。根據(jù)投影規(guī)律可在側(cè)面上求出

d″e″、d″f″，如圖3－14b所示。2．由g′分別在sa、s″a″上求出g、g″，然后分別連接ge、gf、g″e″、g″f″，如圖3－14（c）所示。第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一3．連接ef，由于ef被三個棱面的水平投影遮住而不可見，應(yīng)畫成虛線。注意棱線SA中間DG段被截去，故它的水平投影中只剩sg、ad，側(cè)面投影中只剩s″g″、a″d″，如圖所示。第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一平面與曲面立體相交產(chǎn)生的截交線一般是封閉的平面曲線，也可能是由曲線與直線圍成的平面圖形，其形狀取決于截平面與曲面立體的相對位置。曲面立體的截交線，就是求截平面與曲面立體表面的共有點的投影，然后把各點的同名投影依次光滑連接起來。 當(dāng)截平面或曲面立體的表面垂直于某一投影面時，則截交線在該投影面上的投影具有積聚性，可直接利用面上取點的方法作圖。三、平面與曲面立體相交第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一1、圓柱的截交線截交線有三種不同的形狀。

第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一分析：截平面與圓柱的軸線傾斜，故截交線為橢圓。此橢圓的正面投影積聚為一直線。由于圓柱面的水平投影積聚為圓，而橢圓位于圓柱面上，故橢圓的水平投影與圓柱面水平投影重合。橢圓的側(cè)面投影是它的類似形，仍為橢圓?？筛鶕?jù)投影規(guī)律由正面投影和水平投影求出側(cè)面投影。例：如圖所示，求圓柱被正垂面截切后的截交線。第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一作圖方法與步驟如圖所示：1．先找出截交線上的特殊點。特殊點一般是指截交線上最高、最低、最左、最右、最前、最后等點。作出這些點的投影，就能大致確定截交線投影的范圍。如圖所示，I、V兩點是位于圓柱正面左、右兩條轉(zhuǎn)向輪廓素線上的點，且分別是截交線上的最低點和最高點。III、VII兩點位于圓柱最前、最后兩條素線上，分別是截交線上的最前點和最后點。在圖上標(biāo)出它們的水平投影1、5、3、7和正面投影1′、5′、3′、7′，然后根據(jù)投影規(guī)律求出側(cè)面投影1″、5″、3″、7″，如圖所示。第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一2．再作出適當(dāng)數(shù)量的截交線上的一般點。在截交線上的特殊點之間取若干點，如圖中的II、IV、VI、VIII等點稱為一般點。作圖時，可先在水平投影上取2、4、6、8等點，再向上作投影連線，得2′、4′、6′、8′點，然后由投影關(guān)系求出2″、4″、6″、8″點，如圖所示。一般位置點越多，作出的截交線越準(zhǔn)確。第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一分析：該圓柱左端的開槽是由兩個平行于圓柱軸線的對稱的正平面和一個垂直于軸線的側(cè)平面切割而成。圓柱右端的切口是由兩個平行于圓柱軸線的水平面和兩個側(cè)平面切割而成。例：如圖所示，完成被截切圓柱的正面投影和水平投影。第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一作圖方法與步驟如圖所示：1．畫左端開槽部分。三個截平面的水平投影和側(cè)面投影均已知，只需補出正面投影。兩個正平面與圓柱面的交線是四條平行的側(cè)垂線，它們的側(cè)面投影分別積聚成點

a″、b″、c″、d″，它們的水平投影重合成兩條直線。側(cè)平面與圓柱面的交線是兩段平行于側(cè)面的圓弧，它們的側(cè)面投影反映實形，水平投影積聚為一直線。根據(jù)點的投影規(guī)律，可求出上述截交線的正面投影，如圖所示。第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一2．畫右端切口部分。各截平面的正面投影和側(cè)面投影已知，只需補出水平投影。具體作法與前面類似，如圖所示。。第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一3．整理輪廓，完成全圖，如圖所示。其間應(yīng)注意兩點：（1）圓柱的最上、最下兩條素線均被開槽切去一段，故開槽部分的外形輪廓線向內(nèi)“收縮”。（2）左端開槽底面的正面投影的中間段（a′→b′）是不可見的，應(yīng)畫成虛線。

第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一2、圓錐的截交線平面截切圓錐時，根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，其截交線有五種不同的情況。如表所示。第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一分析：因截平面為正平面，與軸線平行，故截交線為雙曲線。截交線的水平投影和側(cè)面投影都積聚為直線，只需求出正面投影。例：如圖所示，求作被正平面截切的圓錐的截交線。第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一作圖方法與步驟如圖所示：1．先求特殊點。點III為最高點，是截平面與圓錐最前素線的交點，可由其側(cè)面投影3″直接作出正面投影3′。點I、II為最低點且位于圓錐底圓上，可由平投影1、2直接作出正面投影1′、2′。2．再求一般點。用輔助圓法，在點III與點I、II間作一輔助圓，該圓與截平面的兩個交點IV、V必是截交線上的點。易作出這兩點的水平投影4、5與側(cè)面投影4″、5″，據(jù)此可求出它們的正面投影4′、5′。3．依次光滑連接1′、4′、3′、5′、2′即得截交線得正面投影，如圖所示。第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一3、圓球的截交線平面在任何位置截切圓球的截交線都是圓。當(dāng)截平面平行于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影為圓的實形，在其他兩面上的投影都積聚為直線。第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一分析：球表面的凹槽由兩個側(cè)平面和一個水平面切割而成，兩個側(cè)平面和球的交線為兩段平行于側(cè)面的圓弧，水平面與球的交線為前后兩段水平圓弧，截平面之間得交線為正垂線。例：所示，完成開槽半圓球的截交線。第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一作圖方法與步驟如圖所示：1．先畫出完整半圓球的投影，再根據(jù)槽寬和槽深尺寸作出槽的正面投影，如圖所示。2．用輔助圓法作出槽的水平投影。如圖所示。第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一3．根據(jù)正面投影和水平投影作出側(cè)面投影，如圖所示。其間應(yīng)注意兩點：（1）由于平行于側(cè)面的圓球素線被切去一部分，所以開槽部分的輪廓線在側(cè)面的投影會向內(nèi)“收縮”。（2）槽底的側(cè)面投影此時不可見，應(yīng)畫成虛線。第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一分析：頂尖頭部是由同軸的圓錐與圓柱組合而成。它的上部被兩個相互垂直的截平面P和Q切去一部分，在它的表面上共出現(xiàn)三組截交線和一條P與Q的交線。截平面P平行于軸線，所以它與圓錐面的交線為雙曲線，與圓柱面的交線為兩條平行直線。截平面Q與圓柱斜交，它截切圓柱的截交線是一段橢圓弧。三組截交線的側(cè)面投影分別積聚在截平面P和圓柱面的投影上，正面投影分別積聚在P、Q兩面的投影（直線）上，因此只需求作三組截交線的水平投影。例：如圖所示，求作頂尖頭的截交線。綜合題例第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一作圖方法與步驟如圖所示：1．作特殊點。根據(jù)正面投影和側(cè)面投影可作出特殊點的水平投影1、3