河南省開封市高三第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

第19頁(yè)/共19頁(yè)開封市高三年級(jí)第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.3 C. D.3i【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義及四則運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】化簡(jiǎn)，得其虛部為3.故選：B2.已知集合，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到集合，然后根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求集合的真子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意得，所以集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：C.3.從3名男生，2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生到社區(qū)當(dāng)志愿者，則正好抽取1名男生、1名女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)排列組合以及古典概型的計(jì)算公式即可求解.【詳解】從5個(gè)人中隨機(jī)抽取2人，總共有種，正好1個(gè)男生一個(gè)女生的情況共有,所以概率為，故選：D4.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則（）A.30 B.31 C.61 D.62【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，且，得，則.故選：D5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，則雙曲線的漸近線方程式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，故由題意可得，漸近線方程為.故選：D6.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，特殊值的函數(shù)值的符號(hào)及函數(shù)的零點(diǎn)分析，利用排除法即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故排除C；當(dāng)時(shí)，令，則或或，由圖可知，A符合，D不符合；又，故排除B；故選：A.7.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與和與的大小可得解.【詳解】∵，又，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.8.在中，，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】在中，因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，，即，所以，解得，或（舍去），所以，故選：A.9.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得該幾何體是圓錐的一部分，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，即可求解.【詳解】從三視圖中提供的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知：該幾何體的底面是圓心角為，半徑為的扇形，高是4的錐體，底面面積，所以其體積．故選：D10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得到函數(shù)的周期為，得到，根據(jù)條件，解出.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，所以，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的對(duì)稱軸為，則為周期函數(shù)，周期為.則有，設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性，且，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，?故選：.11.等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)表示計(jì)算數(shù)量積即可.【詳解】如圖所示，由題意易得，故可得，所以，故選：B12.已知正方體棱長(zhǎng)為1，P為棱的中點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別取三角形，四邊形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根據(jù)球的表面積公式求表面積即可.【詳解】設(shè)四棱錐的外接球球心為，取中點(diǎn)，連接，取三角形，四邊形的外心，，連接，，，，，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，，，，，所以，外接球的表面積.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，寫出一個(gè)與垂直的向量的坐標(biāo)______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先設(shè)出向量，利用垂直得出關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式可得答案.【詳解】設(shè)與垂直的向量的坐標(biāo)，因?yàn)?，所以，令可得，故答案為?（答案不唯一）14.兩條直線和分別與拋物線相交于不同于原點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，若直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則______．【答案】2【解析】【分析】將直線與拋物線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，由直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可得橫坐標(biāo)等于焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出的值．【詳解】聯(lián)立，解得或，可得,，聯(lián)立，解得,，當(dāng)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，，解得，所以當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．故答案為：.15.已知點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)B作圓的切線與y軸交于點(diǎn)P，則______．【答案】【解析】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系作出切線，求得，再用兩角和與差的正切公式即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)圓心為C點(diǎn)，則，，則點(diǎn)在圓上，且，由與圓相切可得：，則，，則，故，則，從而可得,故答案為：.

16.若數(shù)列滿足，（，，P為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”．記為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知為“等方差數(shù)列”，且，，則______．【答案】【解析】【分析】由為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，解出，為“等方差數(shù)列”可求，可求值.【詳解】為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則有，解得，，已知為“等方差數(shù)列”，則，有，.故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某校為了解學(xué)生每天的校內(nèi)體育鍛煉情況，隨機(jī)選取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中男生有50人．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均校內(nèi)體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖．將日均校內(nèi)體育鍛煉時(shí)間在[60，80]內(nèi)的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)”，已知樣本中“鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中有5名女生．（1）若該校共有1000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該?！板憻挄r(shí)間達(dá)標(biāo)”的學(xué)生人數(shù)；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有90%的把握認(rèn)為“鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？是否達(dá)標(biāo)性別鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)鍛煉時(shí)間未達(dá)標(biāo)合計(jì)男女合計(jì)附：0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）150人（2）列聯(lián)表見解析，沒有90%把握認(rèn)為“鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)的學(xué)生的概率再結(jié)合總的學(xué)生人數(shù)可得；（2）完成聯(lián)表求卡方，根據(jù)臨界值表判斷相關(guān)性即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖得：“鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)”的學(xué)生的概率估計(jì)為，所以該?！板憻挄r(shí)間達(dá)標(biāo)”的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為（人），【小問(wèn)2詳解】樣本數(shù)據(jù)中：“鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)”的學(xué)生人數(shù)為（人），其中女生有5人，男生有10人，

“鍛煉時(shí)間未達(dá)標(biāo)”的女生人數(shù)為50－5=45（人），男生人數(shù)為50－10=40（人），所以2×2列聯(lián)表：鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)鍛煉時(shí)間未達(dá)標(biāo)合計(jì)男104050女54550合計(jì)1585100，所以沒有90%的把握認(rèn)為“鍛煉時(shí)間達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成公差為2的等差數(shù)列，且．（1）求b；（2）若D是AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】由題意設(shè)，再利用余弦定理即可得解；（2）在中，利用余弦定理即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意設(shè)，由，解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，由D是AB的中點(diǎn)，得在中，，所以19.如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，EF是圓柱的母線，P是線段AD的中點(diǎn)，已知AB=4，BC=6．（1）證明：平面；（2）若直線AB與平面EPF所成角為60°，求三菱錐B－EPF的體積．【答案】（1）證明見解析（2）是定值【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)得到，根據(jù)圓柱的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)平面EPF得到AB與平面EPF所成角為，然后根據(jù)線面角得到，，最后根據(jù)椎體的體積公式求體積即可.【小問(wèn)1詳解】連接AF，∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，∴AB為圓O的直徑，∴，又EF是圓柱的母線，∴平面ABF，∵平面ABF，∴，又∵，，平面，∴平面ADEF，又∵P是線段AD的中點(diǎn)，∴平面ADEF即為平面EPF，∴平面EPF.【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面EPF，∴BF為三棱錐B－EPF的高，且AF為AB在平面EPF內(nèi)的射影，∴AB與平面EPF所成角為，由已知，AB=4，BC=6，∴，，，∴.20.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，P為橢圓C上一點(diǎn)（除左、右頂點(diǎn)），直線PF?，PF?與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，且，，當(dāng)m=1時(shí)，．（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷是否為定值，若是求出定值，若不是說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）的定值是【解析】【分析】（1）根據(jù)得出軸，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用以及離心率可得方程；（2）設(shè)出的方程，分別與橢圓聯(lián)立，利用，，表示出結(jié)合韋達(dá)定理可求答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，軸，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為代入橢圓方程得：，所以，即，又因?yàn)?，，解得：，，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，，，其中.由得：，所以，同理可得：，由可得，即所以，所以的定值是.21.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且存在，使得在上的值域，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)得，再分類討論的大小求單調(diào)區(qū)間即可；（2）由題意先得出，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為且，討論判斷的單調(diào)性求即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)2詳解】由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，定義在上，所以，得到：，即記函數(shù)，則上式轉(zhuǎn)化為且，又，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，與且矛盾；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，依據(jù)直線和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的差異易知，，需滿足且，只需，解得，綜上可知：a的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)的性質(zhì)是高考?jí)狠S題的核心思想，但直接構(gòu)造或者簡(jiǎn)單拆分函數(shù)依然復(fù)雜，這時(shí)候需要依賴對(duì)函數(shù)的等價(jià)變形，通過(guò)恒等變形發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)結(jié)構(gòu)再進(jìn)行構(gòu)造研究，會(huì)起到事半功倍的效果.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形．如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，曲邊三角形OPQ為勒洛三角形，且，Q在極軸上，C為的中點(diǎn)．以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求所在圓P的直角坐標(biāo)方程與直線CQ的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)O引一條射線，分別交圓P，直線CQ于A，B兩點(diǎn)，證明：為定值．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)公式，求點(diǎn)的直角坐標(biāo)，根據(jù)圓心坐標(biāo)和過(guò)極點(diǎn)，即可求圓的方程；先求的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；（2）首先設(shè)A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，再根據(jù)極坐標(biāo)方程，分別求和，，即可求解.【小問(wèn)1詳解】∵，∴P的直角坐標(biāo)為，又等邊的邊長(zhǎng)為2，∴圓P的直角坐標(biāo)方程為：，∵CQ的直角坐標(biāo)方程為：即，即，∴CQ的極坐標(biāo)方程為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，∵圓P的直角坐標(biāo)方程為：，∴圓P的極坐標(biāo)方程為：，即，∴