2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(遼寧卷)數(shù)學(xué)理

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(遼寧卷)

數(shù)學(xué)(供理科考生使用)

注意事項(xiàng)：

i.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，答卷前，考生務(wù)必

將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

(1)。為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，卜尸卜2,則。=

(A)2(B)V3(C)V2(D)1

(2)已知例,N為集合/的非空真子集，且不相等，若Nfld=0,則〃UN=

(A)M(B)N(C)/(D)0

(3)已知F是拋物線外x的焦點(diǎn)，4,B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|4目+忸同=3,則線

段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為

357

(A)—(B)1(C)—(D)一

444

(4)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,asinAsinB+/>cos2A=V2a,

則幺=

a

(A)2G(B)2V2(C)V3(D)V2

(5)從1,2,3,4,5中任取2各不同的數(shù)，事件A="取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事

件B="取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B[4)=

,、1、1、2,、1

(A)—(B)—(C)—(D)一

8452

(6)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的〃是4,則輸出的尸是

(A)8

(B)5

(C)3

(D)2

jl1

(7)設(shè)sin(—+6)=—,則sin28=

43

7、1、17

(A)——(B)--(C)一(D)

9999

(8)如圖，四棱錐S—ABC。的底面為正方形，S￡>_L底面A8C。，則下列結(jié)論中不jp為

的是

(A)AC1SB

(B)AB〃平面SCD

(C)SA與平面S3。所成的角等于SC與平面S3力所成的角

(D)AB與SC所成的角等于DC與S4所成的角

2r<1

(9)設(shè)函數(shù)f(x)=1',則滿足了*”2的K的取值范圍是

1-log2x,x>1

(A)[-1,2](B)[0,2](C)[1,+oo)(D)[0,+oo)

(10)若a,b,c均為單位向量，且ab=0,(a-c)-(b-c)<0,則|a+b-c|的最

大值為

(A)V2-1(B)1(C)V2(D)2

(11)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,<(-1)=2,對(duì)任意xwR,八幻>2,則/(x)>2x+4

的解集為

(A)(—1,1)(B)(—1,+00)(C)(—oo,—1)(D)(—oo,4-00)

(12)已知球的直徑SC=4,A,8是該球球面上的兩點(diǎn)，ABm,ZASC=ZBSC=30\

則棱錐S—ABC的體積為

(A)343(B)273(C)V3(D)1

第n卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題-第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必

須做答.第22題-第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二、填空題.：本大題共4小題，:每小題5分.

r2V2

(13)已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C：—+^-=1(?>0,/?>0)±,C的焦距為4,則它的

a'b

離心率為.

(14)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入無(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，

調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x

的回歸直線方程：9=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1

萬元，年飲食支出平均增加萬元.A

(15)一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為2方，它的/\

三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩/\

形的面積是.

rr

(16)已知函數(shù)f(x)=4lan(cox^cp)(>0,|^)|<—),y=/(x)的部分圖像如下圖,

則/(—)=_____________

24

三、解答題：解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟.

(17)(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列｛念｝滿足。2=0，恁+。8=-1。

(I)求數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列的前”項(xiàng)和.

(18)(本小題滿分12分)

如圖，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD,

1

PD//QA,QA=AB=-PD.

(I)證明：平面PQC_L平面。CQ；

(II)求二面角Q—BP—C的余弦值.

(19)(本小題滿分12分)

某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種家和品種

乙)進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分成〃小塊地，在總共2"小塊地中，隨

機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外〃小塊地種植品種乙.

(I)假設(shè)〃=4,在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

(II)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即〃=8,試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)

小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位：kg/hm2)如下表：

品種甲403397390404388400412406

品種乙419403412418408423400413

分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為

應(yīng)該種植哪一品種？

1———

2222

附：樣本數(shù)據(jù)X,,的的樣本方差5=-[(%,-X)+(X2-X)+---+(Xn-X)1＞其中

n

亍為樣本平均數(shù).

(20)(本小題滿分12分)

如圖，已知橢圓G的中心在原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)

M,N在x軸上，橢圓C2的短軸為且Ci，C2的離心

率都為e,直線/_LMN,/與G交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，

這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.

⑴設(shè)e=；,求怛C|與的比值；

(II)當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線/,使得BO〃AM并

說明理由.

(21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=lnx-a￥2+(2—a)x.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(H)設(shè)a>0,證明：當(dāng)0<x<，時(shí)，/(-+x)>/(--x)；

aaa

(IH)若函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo,

證明：f'(x0)<0.

請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一

題記分.做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑.

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上，的延長(zhǎng)線與BC

的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC=ED

(I)證明：CD//AB,

(II)延長(zhǎng)CD到F,延長(zhǎng)DC到G,使得EF=EG,證明：

4,B,G,尸四點(diǎn)共圓.

(23)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系統(tǒng)與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為x=c°s*(夕為參數(shù))，曲線C2

y=sine

的參數(shù)方程為“=(〃>〃>(),0為參數(shù))，在以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極

[y=bsin(p

軸的極坐標(biāo)系中，射線/：e=a與Ci，C2各有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)。=0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的

距離為2,當(dāng)￡=工時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合.

2

(I)分別說明C1,C2是什么曲線，并求出。與人的值；

jrjr

(ID設(shè)當(dāng)a=—時(shí)，/與C”C2的交點(diǎn)分別為A“場(chǎng),當(dāng)々=一一時(shí)，/與Ci，C2

44

的交點(diǎn)為4,B2,求四邊形402民81的面積.

(24)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|x-2|-|x-5|.

(I)證明：-3</(x)<3；

(II)求不等式/(x)ix2-8x+15的解集.

參考答案

評(píng)分說明：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)

試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)?/p>

題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正

確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題不給中間分.

一、選擇題

1—5BACDB6—10CADDB11—12BC

二、填空題

13.2

14.0.254

15.2G

16.V3

三、解答題

17.解：

4+d=0,

⑴設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由已知條件可得+W—10

4=1,

解得

d=—l

故數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式為an=2-n..................................5分

(ID設(shè)數(shù)列｛含｝的前〃項(xiàng)和為即S“=q+^++券，故￡=1,

Sn,a,,a

-r2rJn.

2----2-----4-----------2"

所以，當(dāng)〃>1時(shí),

2%-Q1

22

12-〃

ZT---)

1-(1一*)一2—n

~r~

n

F-

所以S.=產(chǎn).

綜上，數(shù)列｛缶｝的前〃項(xiàng)和S“...............12分

18.解:

如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空

間直角坐標(biāo)系D—xyz.

(I)依題意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),工

則DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).

所以PQDQ=0,PQDC=0.

xZQ

即PQ1DQ,PQ±DC.

故PQ_L平面DCQ.

又PQu平面PQC,所以平面PQC_L平面DCQ.........6分

(II)依題意有B(1,0,1),(B闡=一一

".8=0,即，x=0,

設(shè)”=(x,y,z)是平面PBC的法向量，則＜

人BP=0,—X+2y—z=0.

因此可取〃=(0,-

m-BP=0,

設(shè)m是平面PBQ的法向量，則《

m?PQ=0.

可取加=(1』,1),所以cos<m,n>=-

故二面角Q-BP-C的余弦值為-半

...........12分

19.解：

(I)X可能的取值為0,1,2,3,4,且

J__J_

P(X=0)

G一而

C\Cl_8

P(X=1)=

c；一皆

C：C：=18

P(X=2)

Cs-35'

C；C：=8

P(X=3)

C；一亞

P(X=4)J__J_

cf-70'

即X的分布列為

X01234

181881

p

7035353570

............4分

X的數(shù)學(xué)期望為

181881

E（X）=0x---F1x---F2x---F3x---F4x—=2..6分

7035353570

（II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:

—1

兀1=-(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

8

%=1(32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62)=57.25.

8

............8分

品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

—1

x乙=-(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

8

S]=-(72+(—9)2+。262+(-4)2+112+(—12)2+12)=56.

8+

............10分

由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的

樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙.

20.解：(I)因?yàn)镃”C2的離心率相同，故依題意可設(shè)

221222

xVbyx」,

C]:—+——t1,C:---F—=1,(。＞/?＞。)

ab2aa

設(shè)直線/：%=「（|r|＜。），分別與Ci，C2的方程聯(lián)立，求得

-F),B(t,—y/a2-r).............................4分

ba

當(dāng)e=；時(shí))=亭。,分別用力,為表示A,B的縱坐標(biāo)，可知

\BC\:\AD\=^^-=^-=-................6分

2|%|/4

(II)t=0時(shí)的/不符合題意.fH0時(shí)，BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)B0的斜率屈°與AN的斜

率ZAN相等，即

a_b

解得"一』"一下

1一/、歷

因?yàn)閨“<a,又0<e<l,所以——<1,WW—<e<l.

e22

所以當(dāng)0<e?J時(shí)，不存在直線/,使得BO〃AN；

2

當(dāng)」一<e<l時(shí)，存在直線/使得BO//AN...............12分

2

21.解：

(I)/(x)的定義域?yàn)?0,”)，/(％)=,—2如+(2-a)=—(2x+D(以一D

XX

(i)若a<0,貝夕(x)>0,所以/(x)在(0,400)單調(diào)增加.

(ii)若。>0,則由/'(x)=0得x=L,

且當(dāng)xw(0-)時(shí)，/(x)>0,當(dāng)x>工時(shí)，/(幻<0.

aa

所以/(x)在(0,工)單調(diào)增加，在(』,+8)單調(diào)減少..............4分

aa

(II)設(shè)函數(shù)g(x)=/'(L+x)—/(L—x),則

aa

g(x)=ln(l+ax)-ln(l-ax)-lax,

，/、aa八2a3/

g(")=mb2a

l-a2x2'

當(dāng)0cxe一時(shí),g[x)>0,而g(0)=0,所以g(x)>0.

故當(dāng)0<x<，時(shí)，/(I+X)>/(--%)................................8分

aaa

(III)由(I)可得，當(dāng)寸，函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn),

故?！?,從而/(%)的最大值為/(-),K/(-)>0.

aa

不妨設(shè)4>”0),802,0),0<%<入2，則°<玉

a

由(II)得/(—芭)=/(—I------=

aaa

?一2丁日x.+x1

從而%>---X,,J'zEX=---------9->一.

a02a

由(I)知，/Vo)<0.................................12分

22.解:

(I)因?yàn)镋C=ED,所以NEDC=NECD.

因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上，所以/EDC=/EBA.

故/ECD=NEBA,

所以CD//AB.....................5分

(II)由(I)知，AE=BE,因?yàn)镋F=FG,故NEFD=/E