機(jī)械工程控制基礎(chǔ)時間響應(yīng)分析

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)時間響應(yīng)分析第1頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一第三章時間響應(yīng)分析一、時間響應(yīng)及其組成1、時間響應(yīng)定義：在輸入作用下，系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）在時域的表現(xiàn)形式，在數(shù)學(xué)上，就是系統(tǒng)的動力學(xué)方程在一定初始條件下的解。時間響應(yīng)能完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程。2、時域分析的目的第2頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一2、典型示例分析在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡便第3頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一則有：第4頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一其解可分解為：3、一般情況其解可分解為：第5頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論：1)系統(tǒng)的階次n和si取決于系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的初態(tài)無關(guān)。第6頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一4、瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的特征根影響系統(tǒng)自由響應(yīng)的收斂性和振蕩。若所有的ResS<0，則隨著時間的增加，自由響應(yīng)逐漸衰減，當(dāng)t→-∞無窮時，自由響應(yīng)趨于0（也就是系統(tǒng)的極點(diǎn)都在左半平面），系統(tǒng)穩(wěn)定，自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)；反之，若有一個ResS>0，則自由響應(yīng)逐漸增大，當(dāng)t→+∞無窮時,自由響應(yīng)趨于無窮，自由響應(yīng)不稱為瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般就是指強(qiáng)迫響應(yīng)。第7頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一特征根的虛部影響自由響應(yīng)項(xiàng)的振蕩情況，虛部絕對值越大，則自由響應(yīng)項(xiàng)的振蕩越劇烈。二、典型輸入信號1、定義:一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機(jī)的，即使對控制輸入，有時其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在時間域進(jìn)行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。第8頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一2、作用:在實(shí)際中，輸入信號很少是典型輸入信號，但由于在系統(tǒng)對典型輸入信號的時間響應(yīng)和系統(tǒng)對任意輸入信號的時間響應(yīng)之間存在一定的關(guān)系，所以，只要知道系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)，再利用關(guān)系式：就能求出系統(tǒng)對任何輸入的響應(yīng)。3、對典型輸入信號的要求形式簡單，便于解析分析；能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；實(shí)際中可以實(shí)現(xiàn)或近似實(shí)現(xiàn)。第9頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一4、常用的典型輸入信號Asint

正弦信號1(t)，t=0單位脈沖信號

單位加速度信號t，t0單位速度(斜坡)信號1(t)，t0單位階躍信號復(fù)數(shù)域表達(dá)式時域表達(dá)式名稱第10頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實(shí)際情況；5、典型輸入信號的選擇原則如：若實(shí)際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，則可選階躍信號；若實(shí)際系統(tǒng)的輸入隨時間逐漸變化，則可選速度信號。注意：對于同一系統(tǒng)，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會改變。第11頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一三、一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）極點(diǎn)（特征根）：-1/T2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)xo(t)1/T0t0.368

1T斜率xo(t)T第12頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)

瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T)e–

t/T；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0；xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；對于實(shí)際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號。

第13頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一3、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T第14頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)響應(yīng)分為兩部分

瞬態(tài)響應(yīng)：表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程（動態(tài)/過渡過程）

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1表示t時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)

xo(0)=0，隨時間的推移，xo(t)指數(shù)增大，且無振蕩。xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；

xo(T)=1-e-1=0.632，即經(jīng)過時間T，系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以通過實(shí)驗(yàn)測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T；第15頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一

時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。通常工程中當(dāng)響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%

～98%時，認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)過程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間為3T～4T。將一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式改寫為：即ln[1-xo(t)]與時間t成線性關(guān)系。該性質(zhì)可用于判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，以及測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。tln[1-xo(t)]0第16頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一4、一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT第17頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點(diǎn)

瞬態(tài)響應(yīng)：Te–

t/T；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：t

–

T；

經(jīng)過足夠長的時間(穩(wěn)態(tài)時，如t4T)，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：

t

–

T，即輸出相對于輸入滯后時間T；系統(tǒng)響應(yīng)誤差為：第18頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一時間響應(yīng)的概念描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。任一系統(tǒng)的時間響應(yīng)都是由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)組成。瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)(或稱暫態(tài))響應(yīng)，也稱過渡過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。第19頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一下圖表示某系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)。系統(tǒng)的輸出量在ts時刻達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在時間內(nèi)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)；當(dāng)時，系統(tǒng)的即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)．當(dāng)

收斂于某一穩(wěn)態(tài)值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；

若呈等幅振蕩或發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。注意：瞬態(tài)響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，

輸出第20頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一表示性能指標(biāo)的階躍響應(yīng)曲線第21頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一5、線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)系統(tǒng)時域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。注意到：對一階系統(tǒng)：第22頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一即：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。同樣可知，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質(zhì)對任何線性定常系統(tǒng)均成立。第23頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一6、不同時間常數(shù)下的響應(yīng)情況由上圖可知，T越大，慣性越大。一階系統(tǒng)的性能指標(biāo)：Ts,它是一階系統(tǒng)在階躍輸入作用下，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的(1-△)所需的時間(△為容許誤差)。第24頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一△=2%,ts=4T,△=5%,ts=3T，調(diào)整時間反映系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，T越大，系統(tǒng)的慣性越大，調(diào)整時間越長，響應(yīng)越慢。第25頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一四、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、二階系統(tǒng)其中，T為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩周期，為阻尼比；n＝1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。二階系統(tǒng)的特征方程：極點(diǎn)（特征根）：第26頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：0<<1具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：其中，稱為阻尼振蕩頻率。第27頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一臨界阻尼二階系統(tǒng)：＝1具有兩個相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：過阻尼二階系統(tǒng)：>1具有兩個不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：第28頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一零阻尼二階系統(tǒng)：＝0具有一對共軛虛極點(diǎn)：負(fù)阻尼二階系統(tǒng)：<0極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第29頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一2、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

0<<1：第30頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一

=1：

=0：第31頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一

>1：3、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第32頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一欠阻尼（0<<1）狀態(tài)其中，欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t第33頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；瞬態(tài)分量為振幅等于的阻尼正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率；振蕩幅值隨減小而加大。第34頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一10txo(t)特點(diǎn)單調(diào)上升，無振蕩、無超調(diào)；

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。臨界阻尼（=1）狀態(tài)第35頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一過阻尼（>1）狀態(tài)01txo(t)特點(diǎn)單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。第36頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一無阻尼（=0）狀態(tài)210txo(t)特點(diǎn)頻率為n的等幅振蕩。第37頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一負(fù)阻尼（<0）狀態(tài)0txo(t)-1<<0t0xo(t)<-1-1<<0：輸出表達(dá)式與欠阻尼狀態(tài)相同。

<-1：輸出表達(dá)式與過阻尼狀態(tài)相同。特點(diǎn)：振蕩發(fā)散特點(diǎn)：單調(diào)發(fā)散第38頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一幾點(diǎn)結(jié)論二階系統(tǒng)的阻尼比

決定了其振蕩特性：

<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；0<<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快，=0時，出現(xiàn)等幅振蕩。工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4～0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。第39頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一

一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。第40頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一5、例題例1單位脈沖信號輸入時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由題意Xi(s)=1，所以：第41頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例2解：1）單位階躍輸入時已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。從而：

2）單位脈沖輸入時，由于因此：第42頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一6、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評價系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見的性能指標(biāo)有：上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)整時間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N。

第43頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一10tMp允許誤差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)第44頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一評價系統(tǒng)快速性的性能指標(biāo)上升時間tr響應(yīng)曲線從零時刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時間。對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。峰值時間tp響應(yīng)曲線從零上升到第一個峰值所需時間。調(diào)整時間ts響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。第45頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一最大超調(diào)量Mp響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分?jǐn)?shù)表示：評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標(biāo)若xo(tp)

xo()，則響應(yīng)無超調(diào)。振蕩次數(shù)N在調(diào)整時間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。實(shí)測時，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計(jì)數(shù)。第46頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)上升時間tr根據(jù)上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：從而：即：顯然，一定時，n越大，tr越?。籲一定時，

越大，tr越大。第47頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一峰值時間tp，并將t=tp代入可得：令即：根據(jù)tp的定義解上方程可得：可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td＝2/d的一半。且一定，n越大，tp越?。籲一定，越大，tp越大。第48頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一最大超調(diào)量Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。

越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng)

=0.4~0.8時，可以求得相應(yīng)的Mp

=25.4%～1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二階系統(tǒng)Mp—

圖第49頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一調(diào)整時間ts對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對對稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量1的指數(shù)曲線：t01xo(t)T2T3T4T第50頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)包絡(luò)線進(jìn)入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用：可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。當(dāng)一定時，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。當(dāng)0<<0.7時，第51頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一振蕩次數(shù)NN僅與

有關(guān)。與Mp一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。對欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期則第52頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由n和決定。結(jié)論通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定。一般選擇在0.4～0.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。

一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、ts越小。增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；第53頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例題1圖a)所示機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)在質(zhì)量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時間響應(yīng)如圖b)。試求系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性系數(shù)K和粘性阻尼系數(shù)C的值。mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)第54頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一解：根據(jù)牛頓第二定律：其中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：第55頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根據(jù)拉氏變換的終值定理：由圖b)知xo()=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m第56頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一又由圖b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根據(jù)解得M=77.3Kg，C=181.8Nm/s

第57頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例題2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求K=200時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)。若K增大到1500或減小到13.5，試分析動態(tài)性能指標(biāo)的變化情況。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第58頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一1）K=200時n=31.6rad/s，=0.545第59頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一2）K=1500時n=86.2rad/s，=0.2，同樣可計(jì)算得：tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可見，增大K，減小，n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化即系統(tǒng)可以視為由兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5時n=8.22rad/s，=2.1，系統(tǒng)工作于過阻尼狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為：第60頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一對于過阻尼系統(tǒng)，tp，Mp，N已無意義，而調(diào)整時間ts間可以通過其中時間常數(shù)大的一階系統(tǒng)進(jìn)行估算，即：ts=3T1=1.443s(=0.05)顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統(tǒng)無超調(diào)，但過渡過程緩慢。第61頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一五、高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)考慮系統(tǒng)第62頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)系統(tǒng)極點(diǎn)互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點(diǎn)s=0和s=-pj處的留數(shù)；bk、ck是與Xo(s)在極點(diǎn)處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。當(dāng)Xi(s)=1/s時，第63頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一其中，=arctg(bk/ck)。2、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。

如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面的左半平面內(nèi)，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部(pj、

kk大于零)，則隨著時間t，xo()=a。即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第64頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一極點(diǎn)距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠(yuǎn)衰減越快；3、系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對時域響應(yīng)的影響0j-n-8n-5n-10np1p2p3p4p5z10txo(t)p1、p2p3p4、p5通常如果閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的距離比其模值小一個數(shù)量級，則該極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成一對偶極子，可以對消。第65頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一

系統(tǒng)零點(diǎn)影響各極點(diǎn)處的留數(shù)的大?。锤鱾€瞬態(tài)分量的相對強(qiáng)度），如果在某一極點(diǎn)附近存在零點(diǎn)，則其對應(yīng)的瞬態(tài)分量的強(qiáng)度將變小，所以一對靠得很近的零點(diǎn)和極點(diǎn)其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。這對零極點(diǎn)稱為偶極子。

綜上所述，對于高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導(dǎo)極點(diǎn)（通常選為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，即二階系統(tǒng)），就可以忽略其它遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)和偶極子的影響，近似為二階系統(tǒng)進(jìn)行處理。

主導(dǎo)極點(diǎn)（距虛軸最近、實(shí)部的絕對值為其它極點(diǎn)實(shí)部絕對值的1/5或更小，且其附近沒有零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)）對高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用。第66頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一4、例題已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)近似單位階躍響應(yīng)。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式為：-10-20-20.03-6071.4-71.40j第67頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一由系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖可見，零點(diǎn)z1＝-20.03和極點(diǎn)p1＝-20構(gòu)成一對偶極子，可以消去，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3,4＝-10±j71.4與極點(diǎn)p2＝-60相距很遠(yuǎn)，p3,4為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，p2對響應(yīng)的影響可以忽略，從而系統(tǒng)簡化為：系統(tǒng)的近似單位階躍響應(yīng)為：n=72.11rad/s，=0.139第68頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一txo(t)0原系統(tǒng)等效二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)txo(t)0-10±j71.4-60-20瞬態(tài)輸出分量第69頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一六、誤差分析和計(jì)算1、控制系統(tǒng)的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)偏差信號(s)(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號B(s)之差，即：第70頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一誤差信號E(s)誤差信號e(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實(shí)際輸出Xo(s)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s)為偏差信號(s)＝0時的實(shí)際輸出值，即此時控制系統(tǒng)無控制作用，實(shí)際輸出等于期望輸出:Xo(s)＝Xor(s)由：(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)對于單位反饋系統(tǒng)，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)偏差信號(s)與誤差信號E(s)的關(guān)系對單位反饋系統(tǒng)：E(s)＝

(s)第71頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一2、穩(wěn)態(tài)誤差及其計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實(shí)際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t）下的差值，即誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量：當(dāng)sE(s)的極點(diǎn)均位于s平面左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）時，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：第72頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算系統(tǒng)在輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)為：

即：利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：穩(wěn)態(tài)誤差：第73頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一對于單位反饋系統(tǒng)：顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號的特性及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。例題已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

G(s)=1/Ts求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、單位加速度輸入以及正弦信號sint輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。第74頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一解：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為：在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：第75頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一sint輸入時：由于上式在虛軸上有一對共軛極點(diǎn)，不能利用拉氏變換的終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。對上式拉氏變換后得：穩(wěn)態(tài)輸出為：第76頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一而如果采用拉氏變換的終值定理求解，將得到錯誤得結(jié)論：此例表明，輸入信號不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。3、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念

穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)。其中，第77頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)單位速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)。其中，對于單位反饋系統(tǒng)，易知：對于單位反饋系統(tǒng)，易知：第78頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)。其中，結(jié)論當(dāng)輸入信號形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。對于單位反饋系統(tǒng)，易知：第79頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一系統(tǒng)類型將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：

則：即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益、輸入信號以及開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v。第80頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少，當(dāng)v=0,1,2,…時，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、Ⅱ型、……系統(tǒng)。不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)第81頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一I型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)第82頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)偏差00KII型00KI型00K0型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型第83頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一幾點(diǎn)結(jié)論不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關(guān)，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。在階躍輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定值，常稱為有差系統(tǒng)；I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為一階無差系統(tǒng)；在速度輸入作用下，II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為二階無差系統(tǒng)。第84頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一令為輸入信號拉氏變換后s的階次，當(dāng)v時，無穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）；-v=1時，偏差誤差）為常數(shù)；-v=2時，偏差（誤差）為無窮大；系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差誤差）等于多個信號單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。如：總的穩(wěn)態(tài)偏差：如果輸入量非單位量時，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。第85頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一七擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)總誤差擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)N(s)++擾動偏差傳遞函數(shù)為：即：所以，擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差：第86頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一由擾動引起的輸出為：即系統(tǒng)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差：對于單位階躍擾動，若G1(0)G2(0)H(0)>>1，則即擾動作用點(diǎn)前的前向通道傳遞函數(shù)G1(0)越大，由一定的擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差越小。第87頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一系統(tǒng)總誤差當(dāng)系統(tǒng)同時受到輸入信號Xi(s)和擾動信號N(s)作用時，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差：穩(wěn)態(tài)誤差：第88頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例題系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，其中K1、K2、K3、K4、T為常數(shù)，試求當(dāng)輸入xi(t)=1+t以及擾動作用下，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零的K4值和G0(s)。K1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_+_K4N(s)第89頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一解：n(t)=0時K1Xi(s)Xo(s)_+K4系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：第90頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一注：已知輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)誤差也可由其等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通過穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)求解。要使系統(tǒng)對輸入xi(t)=1+t無穩(wěn)態(tài)誤差，Gi(s)需為II型系統(tǒng)，即1－K3

K4

=0?K4=1/K3

。第91頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一只有擾動作用時(xi(t)=0)+G0(s)N(s)Xon(s)__減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法提高系統(tǒng)開環(huán)增益；增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；通過順饋控制或復(fù)合控制進(jìn)行補(bǔ)償；第92頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一第三章例題講解例3.1已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：求：1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；2）系統(tǒng)阻尼比和無阻尼固有頻率n。解：1）第93頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一2）對比二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式：有：第94頁，共108