4-5-第二講證明不等式的基本方法-二綜合法與分析法“衡水賽”一等獎

不等式·用分析法證明不等式·教案

教學目標知識與技能：通過教學，學生掌握和應用分析法證明不等式．教學重點和難點理解分析法的證題格式并能熟練應用．教學過程設計師：我們已經學習了綜合法證明不等式．綜合法是從已知條件入手去探明解題途徑，概括地說，就是“從已知，看已知，逐步推向未知”．綜合法的思路如下：（從上往下看）（用投影片）師：其中，A表示已知條件，由A可以得到它的許多性質，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1還可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，…，而到達結D的只有C，于是我們便找到了A→B→C→D這條通路．當然，有時也可以有其他的途徑達到D，比如A→B1→C1→D等．但是有許多不等式的證明題，已知條件很隱蔽，使用綜合法證明有一定困難．這一命題若用綜合法證明就不知應從何處下手，今天我們介紹用分析法證明不等式，來解決這個問題．（復習了舊知識，并指出單一用綜合法證明的不足之處，說明了學習分析法的必要性）分析法是從結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到和已知條件溝通為止，從而找出解題途徑．概括地說，就是“從未知，看需知，逐步靠攏已知”．分析法的思路如下：（從下往上看）（用投影片）師：欲使結論D成立，可能有C，C1，C2三條途徑，而欲使C成立，又有B這條途徑，欲使C1成立，又有B1這條途徑，欲使C2成立，又有B2，B3兩條途徑，在B，B1，B2，B3中，只有B可以從A得到，于是便找到了A→B→C→D這條解題途徑．（對比綜合法敘述分析法及其思路，便于學生深刻理解分析法的實質及其與綜合法的關系）師：用分析法論證“若A到B”這個命題的模式是：（用投影片）欲證命題B為真，只需證命題B1為真，只需證命題B2為真，……只需證命題A為真，今已知A真，故B必真．師：在運用分析法時，需積累一些解題經驗，總結一些常規(guī)思路，這樣可以克服無目的的亂碰，從而加強針對性，較快地探明解題途徑．下面舉例說明如何用分析法證明不等式．首先解決剛才提出的問題．（板書）（此題以教師講解，板書為主，主要講清證題格式）師：請看投影，這個題還有一種證法．（投影片）師：這種證法是綜合法．可以看出，綜合法有時正好是分析過程的逆推．證法2雖然用綜合法表述，但若不先用分析法思索，顯然用綜合法時無從入手，有時綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此．師：若此題改為下面的證法是否有錯？（投影片）

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦因為63＜64成立，

⑧

⑨（學生自由討論后，請一位同學回答）生：我認為第②步到⑦步有錯，不等式①兩邊都是負的，不能平方．師：這位同學找到了證明過程中的錯誤，但錯誤原因敘述得不夠準確．這種證法錯在違背了不等式的性質．若a＞b＞0，則a2＞b2；若0＜a＜b，則a2＞b2．（不失時機地聯(lián)系舊知識，在以新代舊的過程中，數(shù)學知識可以不斷得到深化，學生的思維能力可以得到提高）師：下面看第二個例題．（板書）（學生推證，教師巡視，請一學生口答）因為c＞1，即證-1＜0，因為-1＜0顯然成立，師：以上兩個例題充分顯示了分析法的優(yōu)越性．師：這個題目我們曾經用比較法進行過證明，請同學們考慮用分析法如何證明？（學生討論，請一學生回答）生：因為b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化為a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，這個式子就是已知條件，所以求證的不等式成立．（學生理解了分析法的原理，應予以肯定，但這個回答不能作為證明過程，學生往往忽略分析法證明的格式，要及時糾正）師：這位同學“執(zhí)果索因”，逐步逆找結論成立的充分條件，直至找到明顯成立的不等式為止．很明顯，逆找的過程正是把“欲證”由繁化簡的過程，因而分析法對于形式復雜的證明題是一種行之有效的方法．但是作為證明過程，這位同學的回答不符合要求．應該如何證明呢？（請一位同學板書）因為b＞0，b＋1＞0，故只需證a（b＋1）＜b（a＋1），即證ab＋a＜ab＋b，即證a＜b，師：如果將這個題變化為其證明方法與例3相同．此題表明：分子、分母都是正的真分數(shù)，分子、分母同加上正數(shù)m，分數(shù)值變大——但不超過1，這是分數(shù)的何？（講完一個例題后，將例題引伸是教學中常做的一件事，它可以使學生的認識得到“升華”，發(fā)展學生的思維，并起到觸類旁通，舉一反三的效果）例4

已知：a，b∈R＋，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b＋ab2．生甲：我用求差比較法可以證明．（學生口答，教師板書簡單過程）證法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2）=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）=（a＋b）（a2-2ab＋b2）=（a＋b）（a-b）2．由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，則（a-b）2＞0，進而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．生乙：我是用分析法證明的．證法2：欲證a3＋b3＞a2b＋ab2，即證（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因為a＋b＞0，故只需證a2-ab＋b2＞ab，即證a2-2ab＋b2＞0，即證（a-b）2＞0，因為a≠b，所以（a-b）2＞0成立，所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立．生丙：那我可以用綜合法證明．證法3：由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，則a2-ab＋b2＞ab，又a＋b＞0，則（a＋b）·（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），即a3＋b3＞a2b＋ab2．師：以上三位同學熟練地應用學過的證明方法，對同一命題用三種方法進行了證明，開闊了思路．同學們應學會針對具體題目，靈活地選取方法．（分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方法，對同一命題分別用這兩種方法證明，便于對比，在教學中，應著眼于培養(yǎng)學生的能力，使學生能針對具體問題，進行具體分析，靈活地運用各種證法）例5

若a，b，c是不全相等的正數(shù)，（師生共同進行分析）證明：且上述三式中的等號不全成立，所以師：這個證明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是綜合法，意箭頭的方向．課堂練習：（投影片）3．若a，b∈R＋，求證：a5＋b5＞a3b2＋a2b3．（第3題是例4的推廣．所謂推廣，就是把真命題放在更廣的范圍內考查，因而是一種創(chuàng)造性的思維活動．要想做出推廣，認清式子的“結構特征”是突破口．就例4中的a3＋b3＞a2b＋ab2而言，不等號兩邊都是二元的三次齊次式，推廣至少有兩個方向：（i）次數(shù)能否提高？（ii）“元”能否增多？對學有余力的同學不妨試試看）（請同學做以上三個練習，鞏固本節(jié)課所學內容．教師巡視，發(fā)現(xiàn)問題，當堂指正）小結：師：這節(jié)課主要學習了用分析法證明不等式．分析法是證明不等式時一種常用的基本方法，在證題不知從何下手時，有時可以運用分析法而獲得解決．在“執(zhí)果索因”逆推過程中，請同學們小結常用技巧．生：可以通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母、兩邊乘方、開方．師：使用這些技巧變形時，注意遵循不等式性質，還有什么補充？生：還有指數(shù)，對數(shù)性質．師：（再補充）以及三角公式等等，運用同學們總結出的這些技巧，目的是將“求證”由繁化簡，直至逆推出已知或顯然成立的結論．另外，分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面．有時我們可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明過程，或者分析法，綜合法相結合，共同完成證明過程．作業(yè)：根據三角函數(shù)的有界性，sin2α≤1成立，所以原不等式成立）課堂教學設計說明教學過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程．因此，教師應及時提出問題或引導學生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題的解決．一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直至完成本節(jié)課的教學任務